Theorem xleneg 9613

Description: Extended real version of leneg 8220. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xleneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 ≤ -𝑒𝐴))

Proof of Theorem xleneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xltneg 9612	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 ↔ -𝑒𝐴 < -𝑒𝐵))
2	1	ancoms 266	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 ↔ -𝑒𝐴 < -𝑒𝐵))
3	2	notbid 656	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ -𝑒𝐴 < -𝑒𝐵))
4		xrlenlt 7822	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5		xnegcl 9608	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
6		xnegcl 9608	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
7		xrlenlt 7822	. . 3 ⊢ ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 ≤ -𝑒𝐴 ↔ ¬ -𝑒𝐴 < -𝑒𝐵))
8	5, 6, 7	syl2anr 288	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 ≤ -𝑒𝐴 ↔ ¬ -𝑒𝐴 < -𝑒𝐵))
9	3, 4, 8	3bitr4d 219	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 ≤ -𝑒𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3924  ℝ^*cxr 7792   < clt 7793   ≤ cle 7794  -_𝑒cxne 9549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-xneg 9552

This theorem is referenced by:  xle0neg1  9616  xle0neg2  9617  xrminmax  11027  xrmin1inf  11029  xrmin2inf  11030  xrmineqinf  11031  xrlemininf  11033