Theorem xleneg 9835

Description: Extended real version of leneg 8420. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xleneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 ≤ -𝑒𝐴))

Proof of Theorem xleneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xltneg 9834	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 ↔ -𝑒𝐴 < -𝑒𝐵))
2	1	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 ↔ -𝑒𝐴 < -𝑒𝐵))
3	2	notbid 667	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ -𝑒𝐴 < -𝑒𝐵))
4		xrlenlt 8020	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5		xnegcl 9830	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
6		xnegcl 9830	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
7		xrlenlt 8020	. . 3 ⊢ ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 ≤ -𝑒𝐴 ↔ ¬ -𝑒𝐴 < -𝑒𝐵))
8	5, 6, 7	syl2anr 290	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 ≤ -𝑒𝐴 ↔ ¬ -𝑒𝐴 < -𝑒𝐵))
9	3, 4, 8	3bitr4d 220	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 ≤ -𝑒𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4003  ℝ^*cxr 7989   < clt 7990   ≤ cle 7991  -_𝑒cxne 9767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-xneg 9770

This theorem is referenced by:  xle0neg1  9838  xle0neg2  9839  xrminmax  11268  xrmin1inf  11270  xrmin2inf  11271  xrmineqinf  11272  xrlemininf  11274