Theorem xleneg 10239

Description: Extended real version of leneg 8793. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xleneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 ≤ -𝑒𝐴))

Proof of Theorem xleneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xltneg 10238	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 ↔ -𝑒𝐴 < -𝑒𝐵))
2	1	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 ↔ -𝑒𝐴 < -𝑒𝐵))
3	2	notbid 677	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ -𝑒𝐴 < -𝑒𝐵))
4		xrlenlt 8390	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5		xnegcl 10234	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
6		xnegcl 10234	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
7		xrlenlt 8390	. . 3 ⊢ ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 ≤ -𝑒𝐴 ↔ ¬ -𝑒𝐴 < -𝑒𝐵))
8	5, 6, 7	syl2anr 290	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 ≤ -𝑒𝐴 ↔ ¬ -𝑒𝐴 < -𝑒𝐵))
9	3, 4, 8	3bitr4d 220	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 ≤ -𝑒𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝ^*cxr 8359   < clt 8360   ≤ cle 8361  -_𝑒cxne 10171

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-xneg 10174

This theorem is used by:  xle0neg1  10242  xle0neg2  10243  xrminmax  12031  xrmin1inf  12033  xrmin2inf  12034  xrmineqinf  12035  xrlemininf  12037