Theorem xltneg 9793

Description: Extended real version of ltneg 8381. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xltneg	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A < B <-> -e B < -e A ) )

Proof of Theorem xltneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xltnegi 9792	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) -> -e B < -e A )
2	1	3expia 1200	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A < B -> -e B < -e A ) )
3		xnegcl 9789	. . . 4 |- ( B e. RR* -> -e B e. RR* )
4		xnegcl 9789	. . . 4 |- ( A e. RR* -> -e A e. RR* )
5		xltnegi 9792	. . . . 5 |- ( ( -e B e. RR* /\ -e A e. RR* /\ -e B < -e A ) -> -e -e A < -e -e B )
6	5	3expia 1200	. . . 4 |- ( ( -e B e. RR* /\ -e A e. RR* ) -> ( -e B < -e A -> -e -e A < -e -e B ) )
7	3, 4, 6	syl2anr 288	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -e B < -e A -> -e -e A < -e -e B ) )
8		xnegneg 9790	. . . 4 |- ( A e. RR* -> -e -e A = A )
9		xnegneg 9790	. . . 4 |- ( B e. RR* -> -e -e B = B )
10	8, 9	breqan12d 4005	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -e -e A < -e -e B <-> A < B ) )
11	7, 10	sylibd 148	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -e B < -e A -> A < B ) )
12	2, 11	impbid 128	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A < B <-> -e B < -e A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2141   class class class wbr 3989   RR*cxr 7953   < clt 7954   -ecxne 9726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-sub 8092  df-neg 8093  df-xneg 9729

This theorem is referenced by:  xleneg  9794  xlt0neg1  9795  xlt0neg2  9796  xrnegiso  11225  xrminmax  11228  xrltmininf  11233  xrminltinf  11235