Theorem xltneg 10192

Description: Extended real version of ltneg 8755. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xltneg	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A < B <-> -e B < -e A ) )

Proof of Theorem xltneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xltnegi 10191	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) -> -e B < -e A )
2	1	3expia 1232	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A < B -> -e B < -e A ) )
3		xnegcl 10188	. . . 4 |- ( B e. RR* -> -e B e. RR* )
4		xnegcl 10188	. . . 4 |- ( A e. RR* -> -e A e. RR* )
5		xltnegi 10191	. . . . 5 |- ( ( -e B e. RR* /\ -e A e. RR* /\ -e B < -e A ) -> -e -e A < -e -e B )
6	5	3expia 1232	. . . 4 |- ( ( -e B e. RR* /\ -e A e. RR* ) -> ( -e B < -e A -> -e -e A < -e -e B ) )
7	3, 4, 6	syl2anr 290	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -e B < -e A -> -e -e A < -e -e B ) )
8		xnegneg 10189	. . . 4 |- ( A e. RR* -> -e -e A = A )
9		xnegneg 10189	. . . 4 |- ( B e. RR* -> -e -e B = B )
10	8, 9	breqan12d 4131	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -e -e A < -e -e B <-> A < B ) )
11	7, 10	sylibd 149	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -e B < -e A -> A < B ) )
12	2, 11	impbid 129	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A < B <-> -e B < -e A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2205   class class class wbr 4115   RR*cxr 8324   < clt 8325   -ecxne 10125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-addcom 8244  ax-addass 8246  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-cnre 8255  ax-pre-ltadd 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-br 4116  df-opab 4178  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-sub 8464  df-neg 8465  df-xneg 10128

This theorem is referenced by:  xleneg  10193  xlt0neg1  10194  xlt0neg2  10195  xrnegiso  11977  xrminmax  11980  xrltmininf  11985  xrminltinf  11987