ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xltneg Unicode version

Theorem xltneg 9296
Description: Extended real version of ltneg 7938. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xltneg  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  <->  -e B  <  -e A ) )

Proof of Theorem xltneg
StepHypRef Expression
1 xltnegi 9295 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  -e
B  <  -e A )
213expia 1145 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  ->  -e
B  <  -e A ) )
3 xnegcl 9292 . . . 4  |-  ( B  e.  RR*  ->  -e
B  e.  RR* )
4 xnegcl 9292 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  -e
A  e.  RR* )
5 xltnegi 9295 . . . . 5  |-  ( ( 
-e B  e. 
RR*  /\  -e A  e.  RR*  /\  -e
B  <  -e A )  ->  -e  -e A  <  -e  -e B )
653expia 1145 . . . 4  |-  ( ( 
-e B  e. 
RR*  /\  -e A  e.  RR* )  ->  (  -e B  <  -e
A  ->  -e  -e A  <  -e  -e B ) )
73, 4, 6syl2anr 284 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (  -e B  <  -e
A  ->  -e  -e A  <  -e  -e B ) )
8 xnegneg 9293 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  -e  -e A  =  A )
9 xnegneg 9293 . . . 4  |-  ( B  e.  RR*  ->  -e  -e B  =  B )
108, 9breqan12d 3860 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (  -e  -e A  <  -e  -e
B  <->  A  <  B ) )
117, 10sylibd 147 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (  -e B  <  -e
A  ->  A  <  B ) )
122, 11impbid 127 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  <->  -e B  <  -e A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1438   class class class wbr 3845   RR*cxr 7519    < clt 7520    -ecxne 9238
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454  ax-pre-ltadd 7459
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-sub 7653  df-neg 7654  df-xneg 9241
This theorem is referenced by:  xleneg  9297  xlt0neg1  9298  xlt0neg2  9299
  Copyright terms: Public domain W3C validator