ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrmin2inf Unicode version
Theorem xrmin2inf 11765
Description: The minimum of two extended reals is less than or equal to the second. (Contributed by Jim Kingdon, 3-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
xrmin2inf |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> inf ( { A , B } , RR* , < ) <_ B )
Proof of Theorem xrmin2inf
StepHypRef Expression
1 xrminmax 11762 . 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> inf ( { A , B } , RR* , < ) = -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
2 xnegcl 10016 . . . 4 |- ( A e. RR* -> -e A e. RR* )
3 xnegcl 10016 . . . 4 |- ( B e. RR* -> -e B e. RR* )
4 xrmax2sup 11751 . . . 4 |- ( ( -e A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> -e B <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
52, 3, 4syl2an 289 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> -e B <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
6 xrmaxcl 11749 . . . . . 6 |- ( ( -e A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* )
72, 3, 6syl2an 289 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* )
8 xleneg 10021 . . . . 5 |- ( ( -e B e. RR* /\ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* ) -> ( -e B <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <-> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ -e -e B ) )
93, 7, 8syl2an2 596 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -e B <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <-> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ -e -e B ) )
10 xnegneg 10017 . . . . . 6 |- ( B e. RR* -> -e -e B = B )
1110adantl 277 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> -e -e B = B )
1211breq2d 4094 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ -e -e B <-> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ B ) )
139, 12bitrd 188 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -e B <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <-> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ B ) )
145, 13mpbid 147 . 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ B )
151, 14eqbrtrd 4104 1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> inf ( { A , B } , RR* , < ) <_ B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cpr 3667   class class class wbr 4082   supcsup 7137  infcinf 7138   RR*cxr 8168   < clt 8169   <_ cle 8170   -ecxne 9953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-isom 5323  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-sup 7139  df-inf 7140  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-rp 9838  df-xneg 9956  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496
This theorem is referenced by:  bdxmet  15160  bdmet  15161  bdmopn  15163  xmettx  15169  tgioo  15213
  Copyright terms: Public domain W3C validator