Theorem xrmin2inf 12052

Description: The minimum of two extended reals is less than or equal to the second. (Contributed by Jim Kingdon, 3-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xrmin2inf	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> inf ( { A , B } , RR* , < ) <_ B )

Proof of Theorem xrmin2inf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrminmax 12049	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> inf ( { A , B } , RR* , < ) = -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
2		xnegcl 10245	. . . 4 |- ( A e. RR* -> -e A e. RR* )
3		xnegcl 10245	. . . 4 |- ( B e. RR* -> -e B e. RR* )
4		xrmax2sup 12038	. . . 4 |- ( ( -e A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> -e B <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
5	2, 3, 4	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> -e B <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
6		xrmaxcl 12036	. . . . . 6 |- ( ( -e A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* )
7	2, 3, 6	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* )
8		xleneg 10250	. . . . 5 |- ( ( -e B e. RR* /\ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* ) -> ( -e B <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <-> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ -e -e B ) )
9	3, 7, 8	syl2an2 602	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -e B <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <-> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ -e -e B ) )
10		xnegneg 10246	. . . . . 6 |- ( B e. RR* -> -e -e B = B )
11	10	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> -e -e B = B )
12	11	breq2d 4142	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ -e -e B <-> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ B ) )
13	9, 12	bitrd 188	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -e B <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <-> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ B ) )
14	5, 13	mpbid 147	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ B )
15	1, 14	eqbrtrd 4152	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> inf ( { A , B } , RR* , < ) <_ B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cpr 3710   class class class wbr 4130   supcsup 7323  infcinf 7324   RR*cxr 8360   < clt 8361   <_ cle 8362   -ecxne 10182

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-sup 7325  df-inf 7326  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-rp 10066  df-xneg 10185  df-seqfrec 10899  df-exp 10990  df-cj 11622  df-re 11623  df-im 11624  df-rsqrt 11779  df-abs 11780

This theorem is used by:  bdxmet  15654  bdmet  15655  bdmopn  15657  xmettx  15663  tgioo  15707