ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrlemininf Unicode version

Theorem xrlemininf 11163
Description: Two ways of saying a number is less than or equal to the minimum of two others. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 4-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
xrlemininf  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <_ inf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )  <->  ( A  <_  B  /\  A  <_  C ) ) )

Proof of Theorem xrlemininf
StepHypRef Expression
1 xrminmax 11157 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  -> inf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )  =  -e sup ( {  -e B ,  -e C } ,  RR* ,  <  ) )
21breq2d 3977 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A  <_ inf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )  <->  A  <_  -e sup ( {  -e
B ,  -e
C } ,  RR* ,  <  ) ) )
323adant1 1000 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <_ inf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )  <->  A  <_  -e sup ( {  -e
B ,  -e
C } ,  RR* ,  <  ) ) )
4 xnegcl 9731 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR*  ->  -e
B  e.  RR* )
543ad2ant2 1004 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  -e
B  e.  RR* )
6 xnegcl 9731 . . . . . 6  |-  ( C  e.  RR*  ->  -e
C  e.  RR* )
763ad2ant3 1005 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  -e
C  e.  RR* )
8 xrmaxcl 11144 . . . . 5  |-  ( ( 
-e B  e. 
RR*  /\  -e C  e.  RR* )  ->  sup ( {  -e B ,  -e C } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
95, 7, 8syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  sup ( {  -e B ,  -e C } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
10 xnegcl 9731 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR*  ->  -e
A  e.  RR* )
11103ad2ant1 1003 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  -e
A  e.  RR* )
12 xleneg 9736 . . . 4  |-  ( ( sup ( {  -e
B ,  -e
C } ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  -e A  e. 
RR* )  ->  ( sup ( {  -e
B ,  -e
C } ,  RR* ,  <  )  <_  -e
A  <->  -e  -e
A  <_  -e sup ( {  -e
B ,  -e
C } ,  RR* ,  <  ) ) )
139, 11, 12syl2anc 409 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( sup ( {  -e
B ,  -e
C } ,  RR* ,  <  )  <_  -e
A  <->  -e  -e
A  <_  -e sup ( {  -e
B ,  -e
C } ,  RR* ,  <  ) ) )
14 xnegneg 9732 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR*  ->  -e  -e A  =  A )
15143ad2ant1 1003 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  -e  -e A  =  A )
1615breq1d 3975 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (  -e  -e A  <_  -e sup ( {  -e B ,  -e C } ,  RR* ,  <  )  <->  A  <_  -e sup ( {  -e
B ,  -e
C } ,  RR* ,  <  ) ) )
1713, 16bitrd 187 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( sup ( {  -e
B ,  -e
C } ,  RR* ,  <  )  <_  -e
A  <->  A  <_  -e sup ( {  -e
B ,  -e
C } ,  RR* ,  <  ) ) )
18 xrmaxlesup 11151 . . . 4  |-  ( ( 
-e B  e. 
RR*  /\  -e C  e.  RR*  /\  -e
A  e.  RR* )  ->  ( sup ( { 
-e B ,  -e C } ,  RR* ,  <  )  <_  -e A  <->  (  -e
B  <_  -e A  /\  -e C  <_  -e A ) ) )
195, 7, 11, 18syl3anc 1220 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( sup ( {  -e
B ,  -e
C } ,  RR* ,  <  )  <_  -e
A  <->  (  -e
B  <_  -e A  /\  -e C  <_  -e A ) ) )
20 xleneg 9736 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -e B  <_  -e A ) )
21203adant3 1002 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -e B  <_  -e A ) )
22 xleneg 9736 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A  <_  C  <->  -e C  <_  -e A ) )
23223adant2 1001 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <_  C  <->  -e C  <_  -e A ) )
2421, 23anbi12d 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  B  /\  A  <_  C )  <-> 
(  -e B  <_  -e A  /\  -e
C  <_  -e A ) ) )
2519, 24bitr4d 190 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( sup ( {  -e
B ,  -e
C } ,  RR* ,  <  )  <_  -e
A  <->  ( A  <_  B  /\  A  <_  C
) ) )
263, 17, 253bitr2d 215 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <_ inf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )  <->  ( A  <_  B  /\  A  <_  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    = wceq 1335    e. wcel 2128   {cpr 3561   class class class wbr 3965   supcsup 6923  infcinf 6924   RR*cxr 7906    < clt 7907    <_ cle 7908    -ecxne 9671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7818  ax-resscn 7819  ax-1cn 7820  ax-1re 7821  ax-icn 7822  ax-addcl 7823  ax-addrcl 7824  ax-mulcl 7825  ax-mulrcl 7826  ax-addcom 7827  ax-mulcom 7828  ax-addass 7829  ax-mulass 7830  ax-distr 7831  ax-i2m1 7832  ax-0lt1 7833  ax-1rid 7834  ax-0id 7835  ax-rnegex 7836  ax-precex 7837  ax-cnre 7838  ax-pre-ltirr 7839  ax-pre-ltwlin 7840  ax-pre-lttrn 7841  ax-pre-apti 7842  ax-pre-ltadd 7843  ax-pre-mulgt0 7844  ax-pre-mulext 7845  ax-arch 7846  ax-caucvg 7847
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-frec 6335  df-sup 6925  df-inf 6926  df-pnf 7909  df-mnf 7910  df-xr 7911  df-ltxr 7912  df-le 7913  df-sub 8043  df-neg 8044  df-reap 8445  df-ap 8452  df-div 8541  df-inn 8829  df-2 8887  df-3 8888  df-4 8889  df-n0 9086  df-z 9163  df-uz 9435  df-rp 9556  df-xneg 9674  df-seqfrec 10340  df-exp 10414  df-cj 10737  df-re 10738  df-im 10739  df-rsqrt 10893  df-abs 10894
This theorem is referenced by:  xrbdtri  11168  bdxmet  12888  bdmet  12889
  Copyright terms: Public domain W3C validator