Theorem xrlemininf 11822

Description: Two ways of saying a number is less than or equal to the minimum of two others. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 4-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xrlemininf	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ inf ( { B , C } , RR* , < ) <-> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) )

Proof of Theorem xrlemininf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrminmax 11816	. . . 4 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> inf ( { B , C } , RR* , < ) = -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) )
2	1	breq2d 4098	. . 3 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ inf ( { B , C } , RR* , < ) <-> A <_ -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) ) )
3	2	3adant1 1039	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ inf ( { B , C } , RR* , < ) <-> A <_ -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) ) )
4		xnegcl 10057	. . . . . 6 |- ( B e. RR* -> -e B e. RR* )
5	4	3ad2ant2 1043	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> -e B e. RR* )
6		xnegcl 10057	. . . . . 6 |- ( C e. RR* -> -e C e. RR* )
7	6	3ad2ant3 1044	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> -e C e. RR* )
8		xrmaxcl 11803	. . . . 5 |- ( ( -e B e. RR* /\ -e C e. RR* ) -> sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) e. RR* )
9	5, 7, 8	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) e. RR* )
10		xnegcl 10057	. . . . 5 |- ( A e. RR* -> -e A e. RR* )
11	10	3ad2ant1 1042	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> -e A e. RR* )
12		xleneg 10062	. . . 4 |- ( ( sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) e. RR* /\ -e A e. RR* ) -> ( sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) <_ -e A <-> -e -e A <_ -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) ) )
13	9, 11, 12	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) <_ -e A <-> -e -e A <_ -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) ) )
14		xnegneg 10058	. . . . 5 |- ( A e. RR* -> -e -e A = A )
15	14	3ad2ant1 1042	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> -e -e A = A )
16	15	breq1d 4096	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( -e -e A <_ -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) <-> A <_ -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) ) )
17	13, 16	bitrd 188	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) <_ -e A <-> A <_ -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) ) )
18		xrmaxlesup 11810	. . . 4 |- ( ( -e B e. RR* /\ -e C e. RR* /\ -e A e. RR* ) -> ( sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) <_ -e A <-> ( -e B <_ -e A /\ -e C <_ -e A ) ) )
19	5, 7, 11, 18	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) <_ -e A <-> ( -e B <_ -e A /\ -e C <_ -e A ) ) )
20		xleneg 10062	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -e B <_ -e A ) )
21	20	3adant3 1041	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -e B <_ -e A ) )
22		xleneg 10062	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ C <-> -e C <_ -e A ) )
23	22	3adant2 1040	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ C <-> -e C <_ -e A ) )
24	21, 23	anbi12d 473	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ B /\ A <_ C ) <-> ( -e B <_ -e A /\ -e C <_ -e A ) ) )
25	19, 24	bitr4d 191	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) <_ -e A <-> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) )
26	3, 17, 25	3bitr2d 216	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ inf ( { B , C } , RR* , < ) <-> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cpr 3668   class class class wbr 4086   supcsup 7172  infcinf 7173   RR*cxr 8203   < clt 8204   <_ cle 8205   -ecxne 9994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-rp 9879  df-xneg 9997  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550

This theorem is referenced by:  xrbdtri  11827  bdxmet  15215  bdmet  15216