Theorem xrlemininf 11501

Description: Two ways of saying a number is less than or equal to the minimum of two others. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 4-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xrlemininf	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ inf ( { B , C } , RR* , < ) <-> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) )

Proof of Theorem xrlemininf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrminmax 11495	. . . 4 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> inf ( { B , C } , RR* , < ) = -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) )
2	1	breq2d 4055	. . 3 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ inf ( { B , C } , RR* , < ) <-> A <_ -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) ) )
3	2	3adant1 1017	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ inf ( { B , C } , RR* , < ) <-> A <_ -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) ) )
4		xnegcl 9936	. . . . . 6 |- ( B e. RR* -> -e B e. RR* )
5	4	3ad2ant2 1021	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> -e B e. RR* )
6		xnegcl 9936	. . . . . 6 |- ( C e. RR* -> -e C e. RR* )
7	6	3ad2ant3 1022	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> -e C e. RR* )
8		xrmaxcl 11482	. . . . 5 |- ( ( -e B e. RR* /\ -e C e. RR* ) -> sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) e. RR* )
9	5, 7, 8	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) e. RR* )
10		xnegcl 9936	. . . . 5 |- ( A e. RR* -> -e A e. RR* )
11	10	3ad2ant1 1020	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> -e A e. RR* )
12		xleneg 9941	. . . 4 |- ( ( sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) e. RR* /\ -e A e. RR* ) -> ( sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) <_ -e A <-> -e -e A <_ -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) ) )
13	9, 11, 12	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) <_ -e A <-> -e -e A <_ -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) ) )
14		xnegneg 9937	. . . . 5 |- ( A e. RR* -> -e -e A = A )
15	14	3ad2ant1 1020	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> -e -e A = A )
16	15	breq1d 4053	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( -e -e A <_ -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) <-> A <_ -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) ) )
17	13, 16	bitrd 188	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) <_ -e A <-> A <_ -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) ) )
18		xrmaxlesup 11489	. . . 4 |- ( ( -e B e. RR* /\ -e C e. RR* /\ -e A e. RR* ) -> ( sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) <_ -e A <-> ( -e B <_ -e A /\ -e C <_ -e A ) ) )
19	5, 7, 11, 18	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) <_ -e A <-> ( -e B <_ -e A /\ -e C <_ -e A ) ) )
20		xleneg 9941	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -e B <_ -e A ) )
21	20	3adant3 1019	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -e B <_ -e A ) )
22		xleneg 9941	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ C <-> -e C <_ -e A ) )
23	22	3adant2 1018	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ C <-> -e C <_ -e A ) )
24	21, 23	anbi12d 473	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ B /\ A <_ C ) <-> ( -e B <_ -e A /\ -e C <_ -e A ) ) )
25	19, 24	bitr4d 191	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) <_ -e A <-> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) )
26	3, 17, 25	3bitr2d 216	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ inf ( { B , C } , RR* , < ) <-> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175   {cpr 3633   class class class wbr 4043   supcsup 7066  infcinf 7067   RR*cxr 8088   < clt 8089   <_ cle 8090   -ecxne 9873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024  ax-pre-mulext 8025  ax-arch 8026  ax-caucvg 8027

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-po 4341  df-iso 4342  df-iord 4411  df-on 4413  df-ilim 4414  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-isom 5277  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-frec 6467  df-sup 7068  df-inf 7069  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637  df-div 8728  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-rp 9758  df-xneg 9876  df-seqfrec 10574  df-exp 10665  df-cj 11072  df-re 11073  df-im 11074  df-rsqrt 11228  df-abs 11229

This theorem is referenced by:  xrbdtri  11506  bdxmet  14891  bdmet  14892