Theorem xrlemininf 11212

Description: Two ways of saying a number is less than or equal to the minimum of two others. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 4-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xrlemininf	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ inf ( { B , C } , RR* , < ) <-> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) )

Proof of Theorem xrlemininf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrminmax 11206	. . . 4 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> inf ( { B , C } , RR* , < ) = -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) )
2	1	breq2d 3994	. . 3 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ inf ( { B , C } , RR* , < ) <-> A <_ -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) ) )
3	2	3adant1 1005	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ inf ( { B , C } , RR* , < ) <-> A <_ -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) ) )
4		xnegcl 9768	. . . . . 6 |- ( B e. RR* -> -e B e. RR* )
5	4	3ad2ant2 1009	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> -e B e. RR* )
6		xnegcl 9768	. . . . . 6 |- ( C e. RR* -> -e C e. RR* )
7	6	3ad2ant3 1010	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> -e C e. RR* )
8		xrmaxcl 11193	. . . . 5 |- ( ( -e B e. RR* /\ -e C e. RR* ) -> sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) e. RR* )
9	5, 7, 8	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) e. RR* )
10		xnegcl 9768	. . . . 5 |- ( A e. RR* -> -e A e. RR* )
11	10	3ad2ant1 1008	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> -e A e. RR* )
12		xleneg 9773	. . . 4 |- ( ( sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) e. RR* /\ -e A e. RR* ) -> ( sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) <_ -e A <-> -e -e A <_ -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) ) )
13	9, 11, 12	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) <_ -e A <-> -e -e A <_ -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) ) )
14		xnegneg 9769	. . . . 5 |- ( A e. RR* -> -e -e A = A )
15	14	3ad2ant1 1008	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> -e -e A = A )
16	15	breq1d 3992	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( -e -e A <_ -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) <-> A <_ -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) ) )
17	13, 16	bitrd 187	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) <_ -e A <-> A <_ -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) ) )
18		xrmaxlesup 11200	. . . 4 |- ( ( -e B e. RR* /\ -e C e. RR* /\ -e A e. RR* ) -> ( sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) <_ -e A <-> ( -e B <_ -e A /\ -e C <_ -e A ) ) )
19	5, 7, 11, 18	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) <_ -e A <-> ( -e B <_ -e A /\ -e C <_ -e A ) ) )
20		xleneg 9773	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -e B <_ -e A ) )
21	20	3adant3 1007	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -e B <_ -e A ) )
22		xleneg 9773	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ C <-> -e C <_ -e A ) )
23	22	3adant2 1006	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ C <-> -e C <_ -e A ) )
24	21, 23	anbi12d 465	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ B /\ A <_ C ) <-> ( -e B <_ -e A /\ -e C <_ -e A ) ) )
25	19, 24	bitr4d 190	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) <_ -e A <-> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) )
26	3, 17, 25	3bitr2d 215	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ inf ( { B , C } , RR* , < ) <-> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   {cpr 3577   class class class wbr 3982   supcsup 6947  infcinf 6948   RR*cxr 7932   < clt 7933   <_ cle 7934   -ecxne 9705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-rp 9590  df-xneg 9708  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941

This theorem is referenced by:  xrbdtri  11217  bdxmet  13141  bdmet  13142