Theorem xrlemininf 11439

Description: Two ways of saying a number is less than or equal to the minimum of two others. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 4-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xrlemininf	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ inf ( { B , C } , RR* , < ) <-> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) )

Proof of Theorem xrlemininf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrminmax 11433	. . . 4 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> inf ( { B , C } , RR* , < ) = -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) )
2	1	breq2d 4046	. . 3 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ inf ( { B , C } , RR* , < ) <-> A <_ -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) ) )
3	2	3adant1 1017	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ inf ( { B , C } , RR* , < ) <-> A <_ -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) ) )
4		xnegcl 9910	. . . . . 6 |- ( B e. RR* -> -e B e. RR* )
5	4	3ad2ant2 1021	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> -e B e. RR* )
6		xnegcl 9910	. . . . . 6 |- ( C e. RR* -> -e C e. RR* )
7	6	3ad2ant3 1022	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> -e C e. RR* )
8		xrmaxcl 11420	. . . . 5 |- ( ( -e B e. RR* /\ -e C e. RR* ) -> sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) e. RR* )
9	5, 7, 8	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) e. RR* )
10		xnegcl 9910	. . . . 5 |- ( A e. RR* -> -e A e. RR* )
11	10	3ad2ant1 1020	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> -e A e. RR* )
12		xleneg 9915	. . . 4 |- ( ( sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) e. RR* /\ -e A e. RR* ) -> ( sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) <_ -e A <-> -e -e A <_ -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) ) )
13	9, 11, 12	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) <_ -e A <-> -e -e A <_ -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) ) )
14		xnegneg 9911	. . . . 5 |- ( A e. RR* -> -e -e A = A )
15	14	3ad2ant1 1020	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> -e -e A = A )
16	15	breq1d 4044	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( -e -e A <_ -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) <-> A <_ -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) ) )
17	13, 16	bitrd 188	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) <_ -e A <-> A <_ -e sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) ) )
18		xrmaxlesup 11427	. . . 4 |- ( ( -e B e. RR* /\ -e C e. RR* /\ -e A e. RR* ) -> ( sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) <_ -e A <-> ( -e B <_ -e A /\ -e C <_ -e A ) ) )
19	5, 7, 11, 18	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) <_ -e A <-> ( -e B <_ -e A /\ -e C <_ -e A ) ) )
20		xleneg 9915	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -e B <_ -e A ) )
21	20	3adant3 1019	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -e B <_ -e A ) )
22		xleneg 9915	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ C <-> -e C <_ -e A ) )
23	22	3adant2 1018	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ C <-> -e C <_ -e A ) )
24	21, 23	anbi12d 473	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ B /\ A <_ C ) <-> ( -e B <_ -e A /\ -e C <_ -e A ) ) )
25	19, 24	bitr4d 191	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( sup ( { -e B , -e C } , RR* , < ) <_ -e A <-> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) )
26	3, 17, 25	3bitr2d 216	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ inf ( { B , C } , RR* , < ) <-> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   {cpr 3624   class class class wbr 4034   supcsup 7050  infcinf 7051   RR*cxr 8063   < clt 8064   <_ cle 8065   -ecxne 9847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-mulrcl 7981  ax-addcom 7982  ax-mulcom 7983  ax-addass 7984  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-1rid 7989  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-precex 7992  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-apti 7997  ax-pre-ltadd 7998  ax-pre-mulgt0 7999  ax-pre-mulext 8000  ax-arch 8001  ax-caucvg 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6200  df-2nd 6201  df-recs 6365  df-frec 6451  df-sup 7052  df-inf 7053  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-reap 8605  df-ap 8612  df-div 8703  df-inn 8994  df-2 9052  df-3 9053  df-4 9054  df-n0 9253  df-z 9330  df-uz 9605  df-rp 9732  df-xneg 9850  df-seqfrec 10543  df-exp 10634  df-cj 11010  df-re 11011  df-im 11012  df-rsqrt 11166  df-abs 11167

This theorem is referenced by:  xrbdtri  11444  bdxmet  14763  bdmet  14764