Theorem xpsfrnel2 12784

Description: Elementhood in the target space of the function 𝐹 appearing in xpsval 12790. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpsfrnel2	⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌

Proof of Theorem xpsfrnel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsfrnel 12782	. 2 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵))
2		fnpr2ob 12778	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ↔ {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o)
3	2	biimpri 133	. . . 4 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
4	3	3ad2ant1 1019	. . 3 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
5		elex 2760	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ V)
6		elex 2760	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ V)
7	5, 6	anim12i 338	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
8		3anass 983	. . . 4 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵) ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵)))
9		fnpr2o 12777	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o)
10	9	biantrurd 305	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → ((({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵) ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵))))
11		fvpr0o 12779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ V → ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) = 𝑋)
12	11	eleq1d 2256	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))
13		fvpr1o 12780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ V → ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) = 𝑌)
14	13	eleq1d 2256	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ V → (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵 ↔ 𝑌 ∈ 𝐵))
15	12, 14	bi2anan9 606	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → ((({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
16	10, 15	bitr3d 190	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
17	8, 16	bitrid 192	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
18	4, 7, 17	pm5.21nii 705	. 2 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
19	1, 18	bitri 184	1 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  Vcvv 2749  ∅c0 3434  ifcif 3546  {cpr 3605  ⟨cop 3607   Fn wfn 5223  ‘cfv 5228  1_oc1o 6424  2_oc2o 6425  Xcixp 6712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-1o 6431  df-2o 6432  df-er 6549  df-ixp 6713  df-en 6755  df-fin 6757

This theorem is referenced by:  xpscf  12785  xpsff1o  12787