Theorem xpsfrnel2 13293

Description: Elementhood in the target space of the function 𝐹 appearing in xpsval 13299. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpsfrnel2	⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌

Proof of Theorem xpsfrnel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsfrnel 13291	. 2 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵))
2		fnpr2ob 13287	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ↔ {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o)
3	2	biimpri 133	. . . 4 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
4	3	3ad2ant1 1021	. . 3 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
5		elex 2788	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ V)
6		elex 2788	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ V)
7	5, 6	anim12i 338	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
8		3anass 985	. . . 4 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵) ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵)))
9		fnpr2o 13286	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o)
10	9	biantrurd 305	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → ((({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵) ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵))))
11		fvpr0o 13288	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ V → ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) = 𝑋)
12	11	eleq1d 2276	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))
13		fvpr1o 13289	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ V → ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) = 𝑌)
14	13	eleq1d 2276	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ V → (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵 ↔ 𝑌 ∈ 𝐵))
15	12, 14	bi2anan9 606	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → ((({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
16	10, 15	bitr3d 190	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
17	8, 16	bitrid 192	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
18	4, 7, 17	pm5.21nii 706	. 2 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
19	1, 18	bitri 184	1 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  Vcvv 2776  ∅c0 3468  ifcif 3579  {cpr 3644  ⟨cop 3646   Fn wfn 5285  ‘cfv 5290  1_oc1o 6518  2_oc2o 6519  Xcixp 6808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-1o 6525  df-2o 6526  df-er 6643  df-ixp 6809  df-en 6851  df-fin 6853

This theorem is referenced by:  xpscf  13294  xpsff1o  13296