Theorem zaddcllemneg 9238

Description: Lemma for zaddcl 9239. Special case in which -u N is a positive integer. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zaddcllemneg	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR /\ -u N e. NN ) -> ( M + N ) e. ZZ )

Proof of Theorem zaddcllemneg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 993	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR /\ -u N e. NN ) -> N e. RR )
2	1	recnd 7935	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR /\ -u N e. NN ) -> N e. CC )
3	2	negnegd 8208	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR /\ -u N e. NN ) -> -u -u N = N )
4	3	oveq2d 5866	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR /\ -u N e. NN ) -> ( M + -u -u N ) = ( M + N ) )
5		negeq 8099	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> -u x = -u 1 )
6	5	oveq2d 5866	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( M + -u x ) = ( M + -u 1 ) )
7	6	eleq1d 2239	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( M + -u x ) e. ZZ <-> ( M + -u 1 ) e. ZZ ) )
8	7	imbi2d 229	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u x ) e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u 1 ) e. ZZ ) ) )
9		negeq 8099	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> -u x = -u y )
10	9	oveq2d 5866	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( M + -u x ) = ( M + -u y ) )
11	10	eleq1d 2239	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( M + -u x ) e. ZZ <-> ( M + -u y ) e. ZZ ) )
12	11	imbi2d 229	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u x ) e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u y ) e. ZZ ) ) )
13		negeq 8099	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y + 1 ) -> -u x = -u ( y + 1 ) )
14	13	oveq2d 5866	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( M + -u x ) = ( M + -u ( y + 1 ) ) )
15	14	eleq1d 2239	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( M + -u x ) e. ZZ <-> ( M + -u ( y + 1 ) ) e. ZZ ) )
16	15	imbi2d 229	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u x ) e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u ( y + 1 ) ) e. ZZ ) ) )
17		negeq 8099	. . . . . . . 8 |- ( x = -u N -> -u x = -u -u N )
18	17	oveq2d 5866	. . . . . . 7 |- ( x = -u N -> ( M + -u x ) = ( M + -u -u N ) )
19	18	eleq1d 2239	. . . . . 6 |- ( x = -u N -> ( ( M + -u x ) e. ZZ <-> ( M + -u -u N ) e. ZZ ) )
20	19	imbi2d 229	. . . . 5 |- ( x = -u N -> ( ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u x ) e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u -u N ) e. ZZ ) ) )
21		zcn 9204	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
22	21	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> M e. CC )
23		1cnd 7923	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> 1 e. CC )
24	22, 23	negsubd 8223	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u 1 ) = ( M - 1 ) )
25		peano2zm 9237	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( M - 1 ) e. ZZ )
26	25	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M - 1 ) e. ZZ )
27	24, 26	eqeltrd 2247	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u 1 ) e. ZZ )
28		nncn 8873	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> y e. CC )
29	28	ad2antrr 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. NN /\ ( M e. ZZ /\ N e. RR ) ) /\ ( M + -u y ) e. ZZ ) -> y e. CC )
30		1cnd 7923	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. NN /\ ( M e. ZZ /\ N e. RR ) ) /\ ( M + -u y ) e. ZZ ) -> 1 e. CC )
31	29, 30	negdi2d 8231	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. NN /\ ( M e. ZZ /\ N e. RR ) ) /\ ( M + -u y ) e. ZZ ) -> -u ( y + 1 ) = ( -u y - 1 ) )
32	31	oveq2d 5866	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. NN /\ ( M e. ZZ /\ N e. RR ) ) /\ ( M + -u y ) e. ZZ ) -> ( M + -u ( y + 1 ) ) = ( M + ( -u y - 1 ) ) )
33	22	ad2antlr 486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. NN /\ ( M e. ZZ /\ N e. RR ) ) /\ ( M + -u y ) e. ZZ ) -> M e. CC )
34	29	negcld 8204	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. NN /\ ( M e. ZZ /\ N e. RR ) ) /\ ( M + -u y ) e. ZZ ) -> -u y e. CC )
35	33, 34, 30	addsubassd 8237	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. NN /\ ( M e. ZZ /\ N e. RR ) ) /\ ( M + -u y ) e. ZZ ) -> ( ( M + -u y ) - 1 ) = ( M + ( -u y - 1 ) ) )
36		peano2zm 9237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M + -u y ) e. ZZ -> ( ( M + -u y ) - 1 ) e. ZZ )
37	36	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. NN /\ ( M e. ZZ /\ N e. RR ) ) /\ ( M + -u y ) e. ZZ ) -> ( ( M + -u y ) - 1 ) e. ZZ )
38	35, 37	eqeltrrd 2248	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. NN /\ ( M e. ZZ /\ N e. RR ) ) /\ ( M + -u y ) e. ZZ ) -> ( M + ( -u y - 1 ) ) e. ZZ )
39	32, 38	eqeltrd 2247	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. NN /\ ( M e. ZZ /\ N e. RR ) ) /\ ( M + -u y ) e. ZZ ) -> ( M + -u ( y + 1 ) ) e. ZZ )
40	39	exp31 362	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( ( M + -u y ) e. ZZ -> ( M + -u ( y + 1 ) ) e. ZZ ) ) )
41	40	a2d 26	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u y ) e. ZZ ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u ( y + 1 ) ) e. ZZ ) ) )
42	8, 12, 16, 20, 27, 41	nnind 8881	. . . 4 |- ( -u N e. NN -> ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u -u N ) e. ZZ ) )
43	42	impcom 124	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) /\ -u N e. NN ) -> ( M + -u -u N ) e. ZZ )
44	43	3impa 1189	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR /\ -u N e. NN ) -> ( M + -u -u N ) e. ZZ )
45	4, 44	eqeltrrd 2248	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR /\ -u N e. NN ) -> ( M + N ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141  (class class class)co 5850   CCcc 7759   RRcr 7760   1c1 7762   + caddc 7764   - cmin 8077   -ucneg 8078   NNcn 8865   ZZcz 9199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-ltadd 7877

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200

This theorem is referenced by:  zaddcl  9239