Theorem zaddcllemneg 9365

Description: Lemma for zaddcl 9366. Special case in which -u N is a positive integer. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zaddcllemneg	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR /\ -u N e. NN ) -> ( M + N ) e. ZZ )

Proof of Theorem zaddcllemneg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1000	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR /\ -u N e. NN ) -> N e. RR )
2	1	recnd 8055	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR /\ -u N e. NN ) -> N e. CC )
3	2	negnegd 8328	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR /\ -u N e. NN ) -> -u -u N = N )
4	3	oveq2d 5938	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR /\ -u N e. NN ) -> ( M + -u -u N ) = ( M + N ) )
5		negeq 8219	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> -u x = -u 1 )
6	5	oveq2d 5938	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( M + -u x ) = ( M + -u 1 ) )
7	6	eleq1d 2265	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( M + -u x ) e. ZZ <-> ( M + -u 1 ) e. ZZ ) )
8	7	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u x ) e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u 1 ) e. ZZ ) ) )
9		negeq 8219	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> -u x = -u y )
10	9	oveq2d 5938	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( M + -u x ) = ( M + -u y ) )
11	10	eleq1d 2265	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( M + -u x ) e. ZZ <-> ( M + -u y ) e. ZZ ) )
12	11	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u x ) e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u y ) e. ZZ ) ) )
13		negeq 8219	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y + 1 ) -> -u x = -u ( y + 1 ) )
14	13	oveq2d 5938	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( M + -u x ) = ( M + -u ( y + 1 ) ) )
15	14	eleq1d 2265	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( M + -u x ) e. ZZ <-> ( M + -u ( y + 1 ) ) e. ZZ ) )
16	15	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u x ) e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u ( y + 1 ) ) e. ZZ ) ) )
17		negeq 8219	. . . . . . . 8 |- ( x = -u N -> -u x = -u -u N )
18	17	oveq2d 5938	. . . . . . 7 |- ( x = -u N -> ( M + -u x ) = ( M + -u -u N ) )
19	18	eleq1d 2265	. . . . . 6 |- ( x = -u N -> ( ( M + -u x ) e. ZZ <-> ( M + -u -u N ) e. ZZ ) )
20	19	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( x = -u N -> ( ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u x ) e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u -u N ) e. ZZ ) ) )
21		zcn 9331	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
22	21	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> M e. CC )
23		1cnd 8042	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> 1 e. CC )
24	22, 23	negsubd 8343	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u 1 ) = ( M - 1 ) )
25		peano2zm 9364	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( M - 1 ) e. ZZ )
26	25	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M - 1 ) e. ZZ )
27	24, 26	eqeltrd 2273	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u 1 ) e. ZZ )
28		nncn 8998	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> y e. CC )
29	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. NN /\ ( M e. ZZ /\ N e. RR ) ) /\ ( M + -u y ) e. ZZ ) -> y e. CC )
30		1cnd 8042	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. NN /\ ( M e. ZZ /\ N e. RR ) ) /\ ( M + -u y ) e. ZZ ) -> 1 e. CC )
31	29, 30	negdi2d 8351	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. NN /\ ( M e. ZZ /\ N e. RR ) ) /\ ( M + -u y ) e. ZZ ) -> -u ( y + 1 ) = ( -u y - 1 ) )
32	31	oveq2d 5938	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. NN /\ ( M e. ZZ /\ N e. RR ) ) /\ ( M + -u y ) e. ZZ ) -> ( M + -u ( y + 1 ) ) = ( M + ( -u y - 1 ) ) )
33	22	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. NN /\ ( M e. ZZ /\ N e. RR ) ) /\ ( M + -u y ) e. ZZ ) -> M e. CC )
34	29	negcld 8324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. NN /\ ( M e. ZZ /\ N e. RR ) ) /\ ( M + -u y ) e. ZZ ) -> -u y e. CC )
35	33, 34, 30	addsubassd 8357	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. NN /\ ( M e. ZZ /\ N e. RR ) ) /\ ( M + -u y ) e. ZZ ) -> ( ( M + -u y ) - 1 ) = ( M + ( -u y - 1 ) ) )
36		peano2zm 9364	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M + -u y ) e. ZZ -> ( ( M + -u y ) - 1 ) e. ZZ )
37	36	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. NN /\ ( M e. ZZ /\ N e. RR ) ) /\ ( M + -u y ) e. ZZ ) -> ( ( M + -u y ) - 1 ) e. ZZ )
38	35, 37	eqeltrrd 2274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. NN /\ ( M e. ZZ /\ N e. RR ) ) /\ ( M + -u y ) e. ZZ ) -> ( M + ( -u y - 1 ) ) e. ZZ )
39	32, 38	eqeltrd 2273	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. NN /\ ( M e. ZZ /\ N e. RR ) ) /\ ( M + -u y ) e. ZZ ) -> ( M + -u ( y + 1 ) ) e. ZZ )
40	39	exp31 364	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( ( M + -u y ) e. ZZ -> ( M + -u ( y + 1 ) ) e. ZZ ) ) )
41	40	a2d 26	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u y ) e. ZZ ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u ( y + 1 ) ) e. ZZ ) ) )
42	8, 12, 16, 20, 27, 41	nnind 9006	. . . 4 |- ( -u N e. NN -> ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u -u N ) e. ZZ ) )
43	42	impcom 125	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) /\ -u N e. NN ) -> ( M + -u -u N ) e. ZZ )
44	43	3impa 1196	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR /\ -u N e. NN ) -> ( M + -u -u N ) e. ZZ )
45	4, 44	eqeltrrd 2274	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR /\ -u N e. NN ) -> ( M + N ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167  (class class class)co 5922   CCcc 7877   RRcr 7878   1c1 7880   + caddc 7882   - cmin 8197   -ucneg 8198   NNcn 8990   ZZcz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327

This theorem is referenced by:  zaddcl  9366