Theorem zaddcllemneg 9294

Description: Lemma for zaddcl 9295. Special case in which -u N is a positive integer. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zaddcllemneg	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR /\ -u N e. NN ) -> ( M + N ) e. ZZ )

Proof of Theorem zaddcllemneg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 998	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR /\ -u N e. NN ) -> N e. RR )
2	1	recnd 7988	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR /\ -u N e. NN ) -> N e. CC )
3	2	negnegd 8261	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR /\ -u N e. NN ) -> -u -u N = N )
4	3	oveq2d 5893	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR /\ -u N e. NN ) -> ( M + -u -u N ) = ( M + N ) )
5		negeq 8152	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> -u x = -u 1 )
6	5	oveq2d 5893	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( M + -u x ) = ( M + -u 1 ) )
7	6	eleq1d 2246	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( M + -u x ) e. ZZ <-> ( M + -u 1 ) e. ZZ ) )
8	7	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u x ) e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u 1 ) e. ZZ ) ) )
9		negeq 8152	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> -u x = -u y )
10	9	oveq2d 5893	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( M + -u x ) = ( M + -u y ) )
11	10	eleq1d 2246	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( M + -u x ) e. ZZ <-> ( M + -u y ) e. ZZ ) )
12	11	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u x ) e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u y ) e. ZZ ) ) )
13		negeq 8152	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y + 1 ) -> -u x = -u ( y + 1 ) )
14	13	oveq2d 5893	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( M + -u x ) = ( M + -u ( y + 1 ) ) )
15	14	eleq1d 2246	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( M + -u x ) e. ZZ <-> ( M + -u ( y + 1 ) ) e. ZZ ) )
16	15	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u x ) e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u ( y + 1 ) ) e. ZZ ) ) )
17		negeq 8152	. . . . . . . 8 |- ( x = -u N -> -u x = -u -u N )
18	17	oveq2d 5893	. . . . . . 7 |- ( x = -u N -> ( M + -u x ) = ( M + -u -u N ) )
19	18	eleq1d 2246	. . . . . 6 |- ( x = -u N -> ( ( M + -u x ) e. ZZ <-> ( M + -u -u N ) e. ZZ ) )
20	19	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( x = -u N -> ( ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u x ) e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u -u N ) e. ZZ ) ) )
21		zcn 9260	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
22	21	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> M e. CC )
23		1cnd 7975	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> 1 e. CC )
24	22, 23	negsubd 8276	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u 1 ) = ( M - 1 ) )
25		peano2zm 9293	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( M - 1 ) e. ZZ )
26	25	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M - 1 ) e. ZZ )
27	24, 26	eqeltrd 2254	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u 1 ) e. ZZ )
28		nncn 8929	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> y e. CC )
29	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. NN /\ ( M e. ZZ /\ N e. RR ) ) /\ ( M + -u y ) e. ZZ ) -> y e. CC )
30		1cnd 7975	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. NN /\ ( M e. ZZ /\ N e. RR ) ) /\ ( M + -u y ) e. ZZ ) -> 1 e. CC )
31	29, 30	negdi2d 8284	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. NN /\ ( M e. ZZ /\ N e. RR ) ) /\ ( M + -u y ) e. ZZ ) -> -u ( y + 1 ) = ( -u y - 1 ) )
32	31	oveq2d 5893	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. NN /\ ( M e. ZZ /\ N e. RR ) ) /\ ( M + -u y ) e. ZZ ) -> ( M + -u ( y + 1 ) ) = ( M + ( -u y - 1 ) ) )
33	22	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. NN /\ ( M e. ZZ /\ N e. RR ) ) /\ ( M + -u y ) e. ZZ ) -> M e. CC )
34	29	negcld 8257	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. NN /\ ( M e. ZZ /\ N e. RR ) ) /\ ( M + -u y ) e. ZZ ) -> -u y e. CC )
35	33, 34, 30	addsubassd 8290	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. NN /\ ( M e. ZZ /\ N e. RR ) ) /\ ( M + -u y ) e. ZZ ) -> ( ( M + -u y ) - 1 ) = ( M + ( -u y - 1 ) ) )
36		peano2zm 9293	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M + -u y ) e. ZZ -> ( ( M + -u y ) - 1 ) e. ZZ )
37	36	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. NN /\ ( M e. ZZ /\ N e. RR ) ) /\ ( M + -u y ) e. ZZ ) -> ( ( M + -u y ) - 1 ) e. ZZ )
38	35, 37	eqeltrrd 2255	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. NN /\ ( M e. ZZ /\ N e. RR ) ) /\ ( M + -u y ) e. ZZ ) -> ( M + ( -u y - 1 ) ) e. ZZ )
39	32, 38	eqeltrd 2254	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. NN /\ ( M e. ZZ /\ N e. RR ) ) /\ ( M + -u y ) e. ZZ ) -> ( M + -u ( y + 1 ) ) e. ZZ )
40	39	exp31 364	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( ( M + -u y ) e. ZZ -> ( M + -u ( y + 1 ) ) e. ZZ ) ) )
41	40	a2d 26	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u y ) e. ZZ ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u ( y + 1 ) ) e. ZZ ) ) )
42	8, 12, 16, 20, 27, 41	nnind 8937	. . . 4 |- ( -u N e. NN -> ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( M + -u -u N ) e. ZZ ) )
43	42	impcom 125	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) /\ -u N e. NN ) -> ( M + -u -u N ) e. ZZ )
44	43	3impa 1194	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR /\ -u N e. NN ) -> ( M + -u -u N ) e. ZZ )
45	4, 44	eqeltrrd 2255	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR /\ -u N e. NN ) -> ( M + N ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148  (class class class)co 5877   CCcc 7811   RRcr 7812   1c1 7814   + caddc 7816   - cmin 8130   -ucneg 8131   NNcn 8921   ZZcz 9255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256

This theorem is referenced by:  zaddcl  9295