ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zaddcllemneg Unicode version

Theorem zaddcllemneg 9117
Description: Lemma for zaddcl 9118. Special case in which  -u N is a positive integer. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
zaddcllemneg  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )

Proof of Theorem zaddcllemneg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 983 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
21recnd 7818 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
32negnegd 8088 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  -u -u N  =  N )
43oveq2d 5798 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( M  +  -u -u N
)  =  ( M  +  N ) )
5 negeq 7979 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  -u x  =  -u 1 )
65oveq2d 5798 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  ( M  +  -u x )  =  ( M  +  -u 1 ) )
76eleq1d 2209 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( M  +  -u x )  e.  ZZ  <->  ( M  +  -u 1
)  e.  ZZ ) )
87imbi2d 229 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  +  -u x )  e.  ZZ )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  +  -u 1 )  e.  ZZ ) ) )
9 negeq 7979 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  -u x  =  -u y )
109oveq2d 5798 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( M  +  -u x )  =  ( M  +  -u y ) )
1110eleq1d 2209 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( M  +  -u x )  e.  ZZ  <->  ( M  +  -u y
)  e.  ZZ ) )
1211imbi2d 229 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  +  -u x )  e.  ZZ )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  +  -u y )  e.  ZZ ) ) )
13 negeq 7979 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  -u x  =  -u ( y  +  1 ) )
1413oveq2d 5798 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( M  +  -u x )  =  ( M  +  -u ( y  +  1 ) ) )
1514eleq1d 2209 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( M  +  -u x )  e.  ZZ  <->  ( M  +  -u (
y  +  1 ) )  e.  ZZ ) )
1615imbi2d 229 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  +  -u x )  e.  ZZ )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  +  -u ( y  +  1 ) )  e.  ZZ ) ) )
17 negeq 7979 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u N  ->  -u x  =  -u -u N )
1817oveq2d 5798 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u N  ->  ( M  +  -u x )  =  ( M  +  -u -u N ) )
1918eleq1d 2209 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u N  ->  (
( M  +  -u x )  e.  ZZ  <->  ( M  +  -u -u N
)  e.  ZZ ) )
2019imbi2d 229 . . . . 5  |-  ( x  =  -u N  ->  (
( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  +  -u x )  e.  ZZ )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  +  -u -u N
)  e.  ZZ ) ) )
21 zcn 9083 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
2221adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR )  ->  M  e.  CC )
23 1cnd 7806 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
2422, 23negsubd 8103 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  +  -u
1 )  =  ( M  -  1 ) )
25 peano2zm 9116 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
2625adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
2724, 26eqeltrd 2217 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  +  -u
1 )  e.  ZZ )
28 nncn 8752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
2928ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR ) )  /\  ( M  +  -u y )  e.  ZZ )  ->  y  e.  CC )
30 1cnd 7806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR ) )  /\  ( M  +  -u y )  e.  ZZ )  ->  1  e.  CC )
3129, 30negdi2d 8111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR ) )  /\  ( M  +  -u y )  e.  ZZ )  ->  -u (
y  +  1 )  =  ( -u y  -  1 ) )
3231oveq2d 5798 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR ) )  /\  ( M  +  -u y )  e.  ZZ )  ->  ( M  +  -u ( y  +  1 ) )  =  ( M  +  ( -u y  -  1 ) ) )
3322ad2antlr 481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR ) )  /\  ( M  +  -u y )  e.  ZZ )  ->  M  e.  CC )
3429negcld 8084 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR ) )  /\  ( M  +  -u y )  e.  ZZ )  ->  -u y  e.  CC )
3533, 34, 30addsubassd 8117 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR ) )  /\  ( M  +  -u y )  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  -u y )  -  1 )  =  ( M  +  ( -u y  -  1 ) ) )
36 peano2zm 9116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  +  -u y
)  e.  ZZ  ->  ( ( M  +  -u y )  -  1 )  e.  ZZ )
3736adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR ) )  /\  ( M  +  -u y )  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  -u y )  -  1 )  e.  ZZ )
3835, 37eqeltrrd 2218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR ) )  /\  ( M  +  -u y )  e.  ZZ )  ->  ( M  +  ( -u y  -  1 ) )  e.  ZZ )
3932, 38eqeltrd 2217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR ) )  /\  ( M  +  -u y )  e.  ZZ )  ->  ( M  +  -u ( y  +  1 ) )  e.  ZZ )
4039exp31 362 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( M  +  -u y )  e.  ZZ  ->  ( M  +  -u ( y  +  1 ) )  e.  ZZ ) ) )
4140a2d 26 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  +  -u y )  e.  ZZ )  -> 
( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  +  -u ( y  +  1 ) )  e.  ZZ ) ) )
428, 12, 16, 20, 27, 41nnind 8760 . . . 4  |-  ( -u N  e.  NN  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  +  -u -u N )  e.  ZZ ) )
4342impcom 124 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( M  +  -u -u N )  e.  ZZ )
44433impa 1177 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( M  +  -u -u N
)  e.  ZZ )
454, 44eqeltrrd 2218 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 963    = wceq 1332    e. wcel 1481  (class class class)co 5782   CCcc 7642   RRcr 7643   1c1 7645    + caddc 7647    - cmin 7957   -ucneg 7958   NNcn 8744   ZZcz 9078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079
This theorem is referenced by:  zaddcl  9118
  Copyright terms: Public domain W3C validator