Theorem zaddcllemneg 9292

Description: Lemma for zaddcl 9293. Special case in which -𝑁 is a positive integer. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zaddcllemneg	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcllemneg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 998	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	recnd 7986	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
3	2	negnegd 8259	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → --𝑁 = 𝑁)
4	3	oveq2d 5891	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + --𝑁) = (𝑀 + 𝑁))
5		negeq 8150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → -𝑥 = -1)
6	5	oveq2d 5891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑀 + -𝑥) = (𝑀 + -1))
7	6	eleq1d 2246	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑀 + -𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + -1) ∈ ℤ))
8	7	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -𝑥) ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -1) ∈ ℤ)))
9		negeq 8150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → -𝑥 = -𝑦)
10	9	oveq2d 5891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 + -𝑥) = (𝑀 + -𝑦))
11	10	eleq1d 2246	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀 + -𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ))
12	11	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -𝑥) ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ)))
13		negeq 8150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → -𝑥 = -(𝑦 + 1))
14	13	oveq2d 5891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑀 + -𝑥) = (𝑀 + -(𝑦 + 1)))
15	14	eleq1d 2246	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑀 + -𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + -(𝑦 + 1)) ∈ ℤ))
16	15	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -𝑥) ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -(𝑦 + 1)) ∈ ℤ)))
17		negeq 8150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -𝑁 → -𝑥 = --𝑁)
18	17	oveq2d 5891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -𝑁 → (𝑀 + -𝑥) = (𝑀 + --𝑁))
19	18	eleq1d 2246	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑁 → ((𝑀 + -𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + --𝑁) ∈ ℤ))
20	19	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑁 → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -𝑥) ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + --𝑁) ∈ ℤ)))
21		zcn 9258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
22	21	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℂ)
23		1cnd 7973	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
24	22, 23	negsubd 8274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -1) = (𝑀 − 1))
25		peano2zm 9291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
26	25	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
27	24, 26	eqeltrd 2254	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -1) ∈ ℤ)
28		nncn 8927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
29	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℂ)
30		1cnd 7973	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
31	29, 30	negdi2d 8282	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → -(𝑦 + 1) = (-𝑦 − 1))
32	31	oveq2d 5891	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → (𝑀 + -(𝑦 + 1)) = (𝑀 + (-𝑦 − 1)))
33	22	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
34	29	negcld 8255	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → -𝑦 ∈ ℂ)
35	33, 34, 30	addsubassd 8288	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → ((𝑀 + -𝑦) − 1) = (𝑀 + (-𝑦 − 1)))
36		peano2zm 9291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ → ((𝑀 + -𝑦) − 1) ∈ ℤ)
37	36	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → ((𝑀 + -𝑦) − 1) ∈ ℤ)
38	35, 37	eqeltrrd 2255	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → (𝑀 + (-𝑦 − 1)) ∈ ℤ)
39	32, 38	eqeltrd 2254	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → (𝑀 + -(𝑦 + 1)) ∈ ℤ)
40	39	exp31 364	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ → (𝑀 + -(𝑦 + 1)) ∈ ℤ)))
41	40	a2d 26	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -(𝑦 + 1)) ∈ ℤ)))
42	8, 12, 16, 20, 27, 41	nnind 8935	. . . 4 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + --𝑁) ∈ ℤ))
43	42	impcom 125	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + --𝑁) ∈ ℤ)
44	43	3impa 1194	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + --𝑁) ∈ ℤ)
45	4, 44	eqeltrrd 2255	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5875  ℂcc 7809  ℝcr 7810  1c1 7812   + caddc 7814   − cmin 8128  -cneg 8129  ℕcn 8919  ℤcz 9253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254

This theorem is referenced by:  zaddcl  9293