Theorem zaddcllemneg 9562

Description: Lemma for zaddcl 9563. Special case in which -𝑁 is a positive integer. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zaddcllemneg	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcllemneg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1025	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	recnd 8250	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
3	2	negnegd 8523	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → --𝑁 = 𝑁)
4	3	oveq2d 6044	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + --𝑁) = (𝑀 + 𝑁))
5		negeq 8414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → -𝑥 = -1)
6	5	oveq2d 6044	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑀 + -𝑥) = (𝑀 + -1))
7	6	eleq1d 2300	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑀 + -𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + -1) ∈ ℤ))
8	7	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -𝑥) ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -1) ∈ ℤ)))
9		negeq 8414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → -𝑥 = -𝑦)
10	9	oveq2d 6044	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 + -𝑥) = (𝑀 + -𝑦))
11	10	eleq1d 2300	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀 + -𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ))
12	11	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -𝑥) ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ)))
13		negeq 8414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → -𝑥 = -(𝑦 + 1))
14	13	oveq2d 6044	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑀 + -𝑥) = (𝑀 + -(𝑦 + 1)))
15	14	eleq1d 2300	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑀 + -𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + -(𝑦 + 1)) ∈ ℤ))
16	15	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -𝑥) ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -(𝑦 + 1)) ∈ ℤ)))
17		negeq 8414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -𝑁 → -𝑥 = --𝑁)
18	17	oveq2d 6044	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -𝑁 → (𝑀 + -𝑥) = (𝑀 + --𝑁))
19	18	eleq1d 2300	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑁 → ((𝑀 + -𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + --𝑁) ∈ ℤ))
20	19	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑁 → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -𝑥) ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + --𝑁) ∈ ℤ)))
21		zcn 9528	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
22	21	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℂ)
23		1cnd 8238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
24	22, 23	negsubd 8538	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -1) = (𝑀 − 1))
25		peano2zm 9561	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
26	25	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
27	24, 26	eqeltrd 2308	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -1) ∈ ℤ)
28		nncn 9193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
29	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℂ)
30		1cnd 8238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
31	29, 30	negdi2d 8546	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → -(𝑦 + 1) = (-𝑦 − 1))
32	31	oveq2d 6044	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → (𝑀 + -(𝑦 + 1)) = (𝑀 + (-𝑦 − 1)))
33	22	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
34	29	negcld 8519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → -𝑦 ∈ ℂ)
35	33, 34, 30	addsubassd 8552	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → ((𝑀 + -𝑦) − 1) = (𝑀 + (-𝑦 − 1)))
36		peano2zm 9561	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ → ((𝑀 + -𝑦) − 1) ∈ ℤ)
37	36	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → ((𝑀 + -𝑦) − 1) ∈ ℤ)
38	35, 37	eqeltrrd 2309	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → (𝑀 + (-𝑦 − 1)) ∈ ℤ)
39	32, 38	eqeltrd 2308	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → (𝑀 + -(𝑦 + 1)) ∈ ℤ)
40	39	exp31 364	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ → (𝑀 + -(𝑦 + 1)) ∈ ℤ)))
41	40	a2d 26	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -(𝑦 + 1)) ∈ ℤ)))
42	8, 12, 16, 20, 27, 41	nnind 9201	. . . 4 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + --𝑁) ∈ ℤ))
43	42	impcom 125	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + --𝑁) ∈ ℤ)
44	43	3impa 1221	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + --𝑁) ∈ ℤ)
45	4, 44	eqeltrrd 2309	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  ℝcr 8074  1c1 8076   + caddc 8078   − cmin 8392  -cneg 8393  ℕcn 9185  ℤcz 9523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524

This theorem is referenced by:  zaddcl  9563