Theorem zaddcllemneg 9481

Description: Lemma for zaddcl 9482. Special case in which -𝑁 is a positive integer. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zaddcllemneg	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcllemneg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1022	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	recnd 8171	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
3	2	negnegd 8444	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → --𝑁 = 𝑁)
4	3	oveq2d 6016	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + --𝑁) = (𝑀 + 𝑁))
5		negeq 8335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → -𝑥 = -1)
6	5	oveq2d 6016	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑀 + -𝑥) = (𝑀 + -1))
7	6	eleq1d 2298	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑀 + -𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + -1) ∈ ℤ))
8	7	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -𝑥) ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -1) ∈ ℤ)))
9		negeq 8335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → -𝑥 = -𝑦)
10	9	oveq2d 6016	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 + -𝑥) = (𝑀 + -𝑦))
11	10	eleq1d 2298	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀 + -𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ))
12	11	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -𝑥) ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ)))
13		negeq 8335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → -𝑥 = -(𝑦 + 1))
14	13	oveq2d 6016	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑀 + -𝑥) = (𝑀 + -(𝑦 + 1)))
15	14	eleq1d 2298	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑀 + -𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + -(𝑦 + 1)) ∈ ℤ))
16	15	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -𝑥) ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -(𝑦 + 1)) ∈ ℤ)))
17		negeq 8335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -𝑁 → -𝑥 = --𝑁)
18	17	oveq2d 6016	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -𝑁 → (𝑀 + -𝑥) = (𝑀 + --𝑁))
19	18	eleq1d 2298	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑁 → ((𝑀 + -𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + --𝑁) ∈ ℤ))
20	19	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑁 → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -𝑥) ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + --𝑁) ∈ ℤ)))
21		zcn 9447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
22	21	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℂ)
23		1cnd 8158	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
24	22, 23	negsubd 8459	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -1) = (𝑀 − 1))
25		peano2zm 9480	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
26	25	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
27	24, 26	eqeltrd 2306	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -1) ∈ ℤ)
28		nncn 9114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
29	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℂ)
30		1cnd 8158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
31	29, 30	negdi2d 8467	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → -(𝑦 + 1) = (-𝑦 − 1))
32	31	oveq2d 6016	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → (𝑀 + -(𝑦 + 1)) = (𝑀 + (-𝑦 − 1)))
33	22	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
34	29	negcld 8440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → -𝑦 ∈ ℂ)
35	33, 34, 30	addsubassd 8473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → ((𝑀 + -𝑦) − 1) = (𝑀 + (-𝑦 − 1)))
36		peano2zm 9480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ → ((𝑀 + -𝑦) − 1) ∈ ℤ)
37	36	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → ((𝑀 + -𝑦) − 1) ∈ ℤ)
38	35, 37	eqeltrrd 2307	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → (𝑀 + (-𝑦 − 1)) ∈ ℤ)
39	32, 38	eqeltrd 2306	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → (𝑀 + -(𝑦 + 1)) ∈ ℤ)
40	39	exp31 364	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ → (𝑀 + -(𝑦 + 1)) ∈ ℤ)))
41	40	a2d 26	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -𝑦) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + -(𝑦 + 1)) ∈ ℤ)))
42	8, 12, 16, 20, 27, 41	nnind 9122	. . . 4 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + --𝑁) ∈ ℤ))
43	42	impcom 125	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + --𝑁) ∈ ℤ)
44	43	3impa 1218	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + --𝑁) ∈ ℤ)
45	4, 44	eqeltrrd 2307	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6000  ℂcc 7993  ℝcr 7994  1c1 7996   + caddc 7998   − cmin 8313  -cneg 8314  ℕcn 9106  ℤcz 9442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443

This theorem is referenced by:  zaddcl  9482