Theorem zmodidfzo 10619

Description: Identity law for modulo restricted to integers. (Contributed by AV, 27-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
zmodidfzo	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( M mod N ) = M <-> M e. ( 0..^ N ) ) )

Proof of Theorem zmodidfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmodid2 10618	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( M mod N ) = M <-> M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) )
2		nnz 9501	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3		fzoval 10386	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( 0..^ N ) = ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) = ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
5	4	adantl 277	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 0..^ N ) = ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
6	5	eqcomd 2237	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) = ( 0..^ N ) )
7	6	eleq2d 2301	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) <-> M e. ( 0..^ N ) ) )
8	1, 7	bitrd 188	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( M mod N ) = M <-> M e. ( 0..^ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202  (class class class)co 6021   0cc0 8035   1c1 8036   - cmin 8353   NNcn 9146   ZZcz 9482   ...cfz 10246  ..^cfzo 10380   mod cmo 10588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-mulrcl 8134  ax-addcom 8135  ax-mulcom 8136  ax-addass 8137  ax-mulass 8138  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-1rid 8142  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-precex 8145  ax-cnre 8146  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-ltwlin 8148  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-apti 8150  ax-pre-ltadd 8151  ax-pre-mulgt0 8152  ax-pre-mulext 8153  ax-arch 8154

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-1st 6306  df-2nd 6307  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223  df-sub 8355  df-neg 8356  df-reap 8758  df-ap 8765  df-div 8856  df-inn 9147  df-n0 9406  df-z 9483  df-uz 9759  df-q 9857  df-rp 9892  df-fz 10247  df-fzo 10381  df-fl 10534  df-mod 10589

This theorem is referenced by:  zmodidfzoimp  10620