Theorem zmodid2 10423

Description: Identity law for modulo restricted to integers. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
zmodid2	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( M mod N ) = M <-> M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) )

Proof of Theorem zmodid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zq 9691	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. QQ )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> M e. QQ )
3		nnq 9698	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. QQ )
5		nngt0 9007	. . . 4 |- ( N e. NN -> 0 < N )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> 0 < N )
7		modqid2 10422	. . 3 |- ( ( M e. QQ /\ N e. QQ /\ 0 < N ) -> ( ( M mod N ) = M <-> ( 0 <_ M /\ M < N ) ) )
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( M mod N ) = M <-> ( 0 <_ M /\ M < N ) ) )
9		nnz 9336	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
10		0z 9328	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
11		elfzm11 10157	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) <-> ( M e. ZZ /\ 0 <_ M /\ M < N ) ) )
12	10, 11	mpan 424	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) <-> ( M e. ZZ /\ 0 <_ M /\ M < N ) ) )
13		3anass 984	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 <_ M /\ M < N ) <-> ( M e. ZZ /\ ( 0 <_ M /\ M < N ) ) )
14	12, 13	bitrdi 196	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) <-> ( M e. ZZ /\ ( 0 <_ M /\ M < N ) ) ) )
15	9, 14	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN -> ( M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) <-> ( M e. ZZ /\ ( 0 <_ M /\ M < N ) ) ) )
16		ibar 301	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( 0 <_ M /\ M < N ) <-> ( M e. ZZ /\ ( 0 <_ M /\ M < N ) ) ) )
17	16	bicomd 141	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( M e. ZZ /\ ( 0 <_ M /\ M < N ) ) <-> ( 0 <_ M /\ M < N ) ) )
18	15, 17	sylan9bbr 463	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) <-> ( 0 <_ M /\ M < N ) ) )
19	8, 18	bitr4d 191	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( M mod N ) = M <-> M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   0cc0 7872   1c1 7873   < clt 8054   <_ cle 8055   - cmin 8190   NNcn 8982   ZZcz 9317   QQcq 9684   ...cfz 10074   mod cmo 10393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fl 10339  df-mod 10394

This theorem is referenced by:  zmodidfzo  10424