Theorem declt 9631

Description: Comparing two decimal integers (equal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declt.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
declt.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
declt.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ
declt.l	⊢ 𝐵 < 𝐶

Assertion

Ref	Expression
declt	⊢ ;𝐴𝐵 < ;𝐴𝐶

Proof of Theorem declt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 9619	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		declt.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		declt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		declt.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ
5		declt.l	. . 3 ⊢ 𝐵 < 𝐶
6	1, 2, 3, 4, 5	numlt 9628	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) < ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
7		dfdec10 9607	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8		dfdec10 9607	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
9	6, 7, 8	3brtr4i 4116	1 ⊢ ;𝐴𝐵 < ;𝐴𝐶

Syntax hints:   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013  0cc0 8025  1c1 8026   + caddc 8028   · cmul 8030   < clt 8207  ℕcn 9136  ℕ₀cn0 9395  ;cdc 9604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-ltxr 8212  df-sub 8345  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-dec 9605

This theorem is referenced by:  plendxnocndx  13290  slotsdifdsndx  13301  slotsdifunifndx  13308  imasvalstrd  13346  prdsvalstrd  13347  cnfldstr  14565