Theorem pleslid 12809

Description: Slot property of le. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pleslid	⊢ (le = Slot (le‘ndx) ∧ (le‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem pleslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ple 12705	. 2 ⊢ le = Slot ;10
2		10nn 9453	. 2 ⊢ ;10 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 12633	1 ⊢ (le = Slot (le‘ndx) ∧ (le‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5246  0cc0 7862  1c1 7863  ℕcn 8972  ;cdc 9438  ndxcnx 12605  Slot cslot 12607  lecple 12692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-mulcom 7963  ax-addass 7964  ax-mulass 7965  ax-distr 7966  ax-1rid 7969  ax-0id 7970  ax-cnre 7973

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fv 5254  df-ov 5913  df-inn 8973  df-2 9031  df-3 9032  df-4 9033  df-5 9034  df-6 9035  df-7 9036  df-8 9037  df-9 9038  df-dec 9439  df-ndx 12611  df-slot 12612  df-ple 12705

This theorem is referenced by:  znle  14102  znbaslemnn  14104