Theorem pleslid 13078

Description: Slot property of le. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pleslid	⊢ (le = Slot (le‘ndx) ∧ (le‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem pleslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ple 12973	. 2 ⊢ le = Slot ;10
2		10nn 9526	. 2 ⊢ ;10 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 12901	1 ⊢ (le = Slot (le‘ndx) ∧ (le‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5276  0cc0 7932  1c1 7933  ℕcn 9043  ;cdc 9511  ndxcnx 12873  Slot cslot 12875  lecple 12960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-cnre 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fv 5284  df-ov 5954  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-9 9109  df-dec 9512  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-ple 12973

This theorem is referenced by:  cnfldle  14373  znle  14443  znbaslemnn  14445