Theorem declti 9350

Description: Comparing a digit to a decimal integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declti.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
declti.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
declti.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
declti.l	⊢ 𝐶 < ;10

Assertion

Ref	Expression
declti	⊢ 𝐶 < ;𝐴𝐵

Proof of Theorem declti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 9328	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		declti.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
3		declti.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		declti.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5		declti.l	. . 3 ⊢ 𝐶 < ;10
6	1, 2, 3, 4, 5	numlti 9349	. 2 ⊢ 𝐶 < ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
7		dfdec10 9316	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8	6, 7	breqtrri 4003	1 ⊢ 𝐶 < ;𝐴𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2135   class class class wbr 3976  (class class class)co 5836  0cc0 7744  1c1 7745   + caddc 7747   · cmul 7749   < clt 7924  ℕcn 8848  ℕ₀cn0 9105  ;cdc 9313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-inn 8849  df-2 8907  df-3 8908  df-4 8909  df-5 8910  df-6 8911  df-7 8912  df-8 8913  df-9 8914  df-n0 9106  df-z 9183  df-dec 9314

This theorem is referenced by:  decltdi  9351  setsmsdsg  13021