ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  declti GIF version

Theorem declti 9238
Description: Comparing a digit to a decimal integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
declti.a 𝐴 ∈ ℕ
declti.b 𝐵 ∈ ℕ0
declti.c 𝐶 ∈ ℕ0
declti.l 𝐶 < 10
Assertion
Ref Expression
declti 𝐶 < 𝐴𝐵

Proof of Theorem declti
StepHypRef Expression
1 10nn 9216 . . 3 10 ∈ ℕ
2 declti.a . . 3 𝐴 ∈ ℕ
3 declti.b . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
4 declti.c . . 3 𝐶 ∈ ℕ0
5 declti.l . . 3 𝐶 < 10
61, 2, 3, 4, 5numlti 9237 . 2 𝐶 < ((10 · 𝐴) + 𝐵)
7 dfdec10 9204 . 2 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
86, 7breqtrri 3958 1 𝐶 < 𝐴𝐵
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 1480   class class class wbr 3932  (class class class)co 5777  0cc0 7639  1c1 7640   + caddc 7642   · cmul 7644   < clt 7819  cn 8739  0cn0 8996  cdc 9201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4049  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-1re 7733  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-mulrcl 7738  ax-addcom 7739  ax-mulcom 7740  ax-addass 7741  ax-mulass 7742  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0lt1 7745  ax-1rid 7746  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-precex 7749  ax-cnre 7750  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-ltwlin 7752  ax-pre-lttrn 7753  ax-pre-ltadd 7755  ax-pre-mulgt0 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-br 3933  df-opab 3993  df-id 4218  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fv 5134  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-sub 7954  df-neg 7955  df-inn 8740  df-2 8798  df-3 8799  df-4 8800  df-5 8801  df-6 8802  df-7 8803  df-8 8804  df-9 8805  df-n0 8997  df-z 9074  df-dec 9202
This theorem is referenced by:  decltdi  9239  setsmsdsg  12675
  Copyright terms: Public domain W3C validator