Theorem declti 9742

Description: Comparing a digit to a decimal integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declti.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
declti.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
declti.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
declti.l	⊢ 𝐶 < ;10

Assertion

Ref	Expression
declti	⊢ 𝐶 < ;𝐴𝐵

Proof of Theorem declti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 9720	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		declti.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
3		declti.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		declti.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5		declti.l	. . 3 ⊢ 𝐶 < ;10
6	1, 2, 3, 4, 5	numlti 9741	. 2 ⊢ 𝐶 < ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
7		dfdec10 9708	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8	6, 7	breqtrri 4135	1 ⊢ 𝐶 < ;𝐴𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  (class class class)co 6049  0cc0 8123  1c1 8124   + caddc 8126   · cmul 8128   < clt 8304  ℕcn 9233  ℕ₀cn0 9492  ;cdc 9705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-z 9574  df-dec 9706

This theorem is referenced by:  decltdi  9743  basendxnocndx  13415  basendxltdsndx  13421  dsndxnplusgndx  13423  dsndxnmulrndx  13424  slotsdnscsi  13425  dsndxntsetndx  13426  slotsdifdsndx  13427  basendxltunifndx  13431  unifndxntsetndx  13433  slotsdifunifndx  13434  setsmsdsg  15332  basendxltedgfndx  15992