Theorem caovcld 6072

Description: Convert an operation closure law to class notation. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caovclg.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐸)
caovcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
caovcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
caovcld	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem caovcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
2		caovcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
3		caovcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
4		caovclg.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐸)
5	4	caovclg 6071	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐸)
6	1, 2, 3, 5	syl12anc 1247	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-iota 5215  df-fv 5262  df-ov 5921

This theorem is referenced by:  caovdir2d  6095  caov4d  6103  caovdilemd  6110  caovlem2d  6111  ecopovtrn  6686  ecopovtrng  6689  ordpipqqs  7434  ltanqg  7460  ltmnqg  7461  recexprlem1ssu  7694  mulgt0sr  7838  mulextsr1lem  7840  axmulass  7933  frec2uzrdg  10480  frecuzrdgsuc  10485  frecuzrdgsuctlem  10494  iseqovex  10529  seq3val  10531  seqf  10535  seq3p1  10536  seqp1cd  10541  seq3clss  10542  seq3distr  10603  climcn2  11452  qusaddvallemg  12916  grpinva  12969