Theorem caovcld 6246

Description: Convert an operation closure law to class notation. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caovclg.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐸)
caovcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
caovcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
caovcld	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem caovcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
2		caovcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
3		caovcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
4		caovclg.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐸)
5	4	caovclg 6245	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐸)
6	1, 2, 3, 5	syl12anc 1276	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091

This theorem is used by:  caovdir2d  6269  caov4d  6277  caovdilemd  6284  caovlem2d  6285  ecopovtrn  6910  ecopovtrng  6913  ordpipqqs  7748  ltanqg  7774  ltmnqg  7775  recexprlem1ssu  8008  mulgt0sr  8152  mulextsr1lem  8154  axmulass  8247  frec2uzrdg  10868  frecuzrdgsuc  10873  frecuzrdgsuctlem  10882  iseqovex  10917  seq3val  10919  seqf  10923  seq3p1  10924  seqp1cd  10929  seq3clss  10930  seq3distr  10991  climcn2  12101  qusaddvallemg  13714  grpinva  13766