Theorem ordpipqqs 7386

Description: Ordering of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ordpipqqs	⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q <Q [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·N 𝐷) <N (𝐵 ·N 𝐶)))

Proof of Theorem ordpipqqs

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enqex 7372	. 2 ⊢ ~Q ∈ V
2		enqer 7370	. 2 ⊢ ~Q Er (N × N)
3		df-nqqs 7360	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
4		df-ltnqqs 7365	. 2 ⊢ <Q = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ∧ 𝑦 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) ∧ (𝑧 ·N 𝑢) <N (𝑤 ·N 𝑣)))}
5		enqeceq 7371	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 𝐵) = (𝑤 ·N 𝐴)))
6		enqeceq 7371	. . . . . 6 ⊢ (((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ↔ (𝑣 ·N 𝐷) = (𝑢 ·N 𝐶)))
7		eqcom 2189	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 ·N 𝐷) = (𝑢 ·N 𝐶) ↔ (𝑢 ·N 𝐶) = (𝑣 ·N 𝐷))
8	6, 7	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ↔ (𝑢 ·N 𝐶) = (𝑣 ·N 𝐷)))
9	5, 8	bi2anan9 606	. . . 4 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q ∧ [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ) ↔ ((𝑧 ·N 𝐵) = (𝑤 ·N 𝐴) ∧ (𝑢 ·N 𝐶) = (𝑣 ·N 𝐷))))
10		oveq12 5897	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ·N 𝐵) = (𝑤 ·N 𝐴) ∧ (𝑢 ·N 𝐶) = (𝑣 ·N 𝐷)) → ((𝑧 ·N 𝐵) ·N (𝑢 ·N 𝐶)) = ((𝑤 ·N 𝐴) ·N (𝑣 ·N 𝐷)))
11		simplll 533	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝑧 ∈ N)
12		simprlr 538	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝑢 ∈ N)
13		simplrr 536	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝐵 ∈ N)
14		mulcompig 7343	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
16		mulasspig 7344	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑓) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑓)))
17	16	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑓) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑓)))
18		simprrl 539	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝐶 ∈ N)
19		mulclpi 7340	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
20	19	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
21	11, 12, 13, 15, 17, 18, 20	caov4d 6072	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → ((𝑧 ·N 𝑢) ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = ((𝑧 ·N 𝐵) ·N (𝑢 ·N 𝐶)))
22		simpllr 534	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝑤 ∈ N)
23		simprll 537	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝑣 ∈ N)
24		simplrl 535	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝐴 ∈ N)
25		simprrr 540	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝐷 ∈ N)
26	22, 23, 24, 15, 17, 25, 20	caov4d 6072	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → ((𝑤 ·N 𝑣) ·N (𝐴 ·N 𝐷)) = ((𝑤 ·N 𝐴) ·N (𝑣 ·N 𝐷)))
27	21, 26	eqeq12d 2202	. . . . 5 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (((𝑧 ·N 𝑢) ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = ((𝑤 ·N 𝑣) ·N (𝐴 ·N 𝐷)) ↔ ((𝑧 ·N 𝐵) ·N (𝑢 ·N 𝐶)) = ((𝑤 ·N 𝐴) ·N (𝑣 ·N 𝐷))))
28	10, 27	imbitrrid 156	. . . 4 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (((𝑧 ·N 𝐵) = (𝑤 ·N 𝐴) ∧ (𝑢 ·N 𝐶) = (𝑣 ·N 𝐷)) → ((𝑧 ·N 𝑢) ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = ((𝑤 ·N 𝑣) ·N (𝐴 ·N 𝐷))))
29	9, 28	sylbid 150	. . 3 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q ∧ [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ) → ((𝑧 ·N 𝑢) ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = ((𝑤 ·N 𝑣) ·N (𝐴 ·N 𝐷))))
30		ltmpig 7351	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑦 ↔ (𝑓 ·N 𝑥) <N (𝑓 ·N 𝑦)))
31	30	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (𝑥 <N 𝑦 ↔ (𝑓 ·N 𝑥) <N (𝑓 ·N 𝑦)))
32	20, 11, 12	caovcld 6041	. . . 4 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
33	20, 13, 18	caovcld 6041	. . . 4 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (𝐵 ·N 𝐶) ∈ N)
34	20, 22, 23	caovcld 6041	. . . 4 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
35	20, 24, 25	caovcld 6041	. . . 4 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (𝐴 ·N 𝐷) ∈ N)
36	31, 32, 33, 34, 15, 35	caovord3d 6058	. . 3 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (((𝑧 ·N 𝑢) ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = ((𝑤 ·N 𝑣) ·N (𝐴 ·N 𝐷)) → ((𝑧 ·N 𝑢) <N (𝑤 ·N 𝑣) ↔ (𝐴 ·N 𝐷) <N (𝐵 ·N 𝐶))))
37	29, 36	syld 45	. 2 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q ∧ [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ) → ((𝑧 ·N 𝑢) <N (𝑤 ·N 𝑣) ↔ (𝐴 ·N 𝐷) <N (𝐵 ·N 𝐶))))
38	1, 2, 3, 4, 37	brecop 6638	1 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q <Q [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·N 𝐷) <N (𝐵 ·N 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  ⟨cop 3607   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  [cec 6546  Ncnpi 7284   ·_N cmi 7286   <_N clti 7287   ~_Q ceq 7291  Qcnq 7292   <_Q cltq 7297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-oadd 6434  df-omul 6435  df-er 6548  df-ec 6550  df-qs 6554  df-ni 7316  df-mi 7318  df-lti 7319  df-enq 7359  df-nqqs 7360  df-ltnqqs 7365

This theorem is referenced by:  nqtri3or  7408  ltdcnq  7409  ltsonq  7410  ltanqg  7412  ltmnqg  7413  1lt2nq  7418  ltexnqq  7420  archnqq  7429  prarloclemarch2  7431  ltnnnq  7435  prarloclemlt  7505