Theorem ordpipqqs 7735

Description: Ordering of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ordpipqqs	⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q <Q [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·N 𝐷) <N (𝐵 ·N 𝐶)))

Proof of Theorem ordpipqqs

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enqex 7721	. 2 ⊢ ~Q ∈ V
2		enqer 7719	. 2 ⊢ ~Q Er (N × N)
3		df-nqqs 7709	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
4		df-ltnqqs 7714	. 2 ⊢ <Q = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ∧ 𝑦 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) ∧ (𝑧 ·N 𝑢) <N (𝑤 ·N 𝑣)))}
5		enqeceq 7720	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 𝐵) = (𝑤 ·N 𝐴)))
6		enqeceq 7720	. . . . . 6 ⊢ (((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ↔ (𝑣 ·N 𝐷) = (𝑢 ·N 𝐶)))
7		eqcom 2240	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 ·N 𝐷) = (𝑢 ·N 𝐶) ↔ (𝑢 ·N 𝐶) = (𝑣 ·N 𝐷))
8	6, 7	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ↔ (𝑢 ·N 𝐶) = (𝑣 ·N 𝐷)))
9	5, 8	bi2anan9 614	. . . 4 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q ∧ [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ) ↔ ((𝑧 ·N 𝐵) = (𝑤 ·N 𝐴) ∧ (𝑢 ·N 𝐶) = (𝑣 ·N 𝐷))))
10		oveq12 6088	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ·N 𝐵) = (𝑤 ·N 𝐴) ∧ (𝑢 ·N 𝐶) = (𝑣 ·N 𝐷)) → ((𝑧 ·N 𝐵) ·N (𝑢 ·N 𝐶)) = ((𝑤 ·N 𝐴) ·N (𝑣 ·N 𝐷)))
11		simplll 539	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝑧 ∈ N)
12		simprlr 544	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝑢 ∈ N)
13		simplrr 542	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝐵 ∈ N)
14		mulcompig 7692	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
16		mulasspig 7693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑓) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑓)))
17	16	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑓) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑓)))
18		simprrl 545	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝐶 ∈ N)
19		mulclpi 7689	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
20	19	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
21	11, 12, 13, 15, 17, 18, 20	caov4d 6268	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → ((𝑧 ·N 𝑢) ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = ((𝑧 ·N 𝐵) ·N (𝑢 ·N 𝐶)))
22		simpllr 540	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝑤 ∈ N)
23		simprll 543	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝑣 ∈ N)
24		simplrl 541	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝐴 ∈ N)
25		simprrr 546	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝐷 ∈ N)
26	22, 23, 24, 15, 17, 25, 20	caov4d 6268	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → ((𝑤 ·N 𝑣) ·N (𝐴 ·N 𝐷)) = ((𝑤 ·N 𝐴) ·N (𝑣 ·N 𝐷)))
27	21, 26	eqeq12d 2253	. . . . 5 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (((𝑧 ·N 𝑢) ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = ((𝑤 ·N 𝑣) ·N (𝐴 ·N 𝐷)) ↔ ((𝑧 ·N 𝐵) ·N (𝑢 ·N 𝐶)) = ((𝑤 ·N 𝐴) ·N (𝑣 ·N 𝐷))))
28	10, 27	imbitrrid 156	. . . 4 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (((𝑧 ·N 𝐵) = (𝑤 ·N 𝐴) ∧ (𝑢 ·N 𝐶) = (𝑣 ·N 𝐷)) → ((𝑧 ·N 𝑢) ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = ((𝑤 ·N 𝑣) ·N (𝐴 ·N 𝐷))))
29	9, 28	sylbid 150	. . 3 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q ∧ [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ) → ((𝑧 ·N 𝑢) ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = ((𝑤 ·N 𝑣) ·N (𝐴 ·N 𝐷))))
30		ltmpig 7700	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑦 ↔ (𝑓 ·N 𝑥) <N (𝑓 ·N 𝑦)))
31	30	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (𝑥 <N 𝑦 ↔ (𝑓 ·N 𝑥) <N (𝑓 ·N 𝑦)))
32	20, 11, 12	caovcld 6237	. . . 4 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
33	20, 13, 18	caovcld 6237	. . . 4 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (𝐵 ·N 𝐶) ∈ N)
34	20, 22, 23	caovcld 6237	. . . 4 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
35	20, 24, 25	caovcld 6237	. . . 4 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (𝐴 ·N 𝐷) ∈ N)
36	31, 32, 33, 34, 15, 35	caovord3d 6254	. . 3 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (((𝑧 ·N 𝑢) ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = ((𝑤 ·N 𝑣) ·N (𝐴 ·N 𝐷)) → ((𝑧 ·N 𝑢) <N (𝑤 ·N 𝑣) ↔ (𝐴 ·N 𝐷) <N (𝐵 ·N 𝐶))))
37	29, 36	syld 45	. 2 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q ∧ [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ) → ((𝑧 ·N 𝑢) <N (𝑤 ·N 𝑣) ↔ (𝐴 ·N 𝐷) <N (𝐵 ·N 𝐶))))
38	1, 2, 3, 4, 37	brecop 6893	1 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q <Q [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·N 𝐷) <N (𝐵 ·N 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ⟨cop 3711   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079  [cec 6799  Ncnpi 7633   ·_N cmi 7635   <_N clti 7636   ~_Q ceq 7640  Qcnq 7641   <_Q cltq 7646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-eprel 4432  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-oadd 6685  df-omul 6686  df-er 6801  df-ec 6803  df-qs 6807  df-ni 7665  df-mi 7667  df-lti 7668  df-enq 7708  df-nqqs 7709  df-ltnqqs 7714

This theorem is referenced by:  nqtri3or  7757  ltdcnq  7758  ltsonq  7759  ltanqg  7761  ltmnqg  7762  1lt2nq  7767  ltexnqq  7769  archnqq  7778  prarloclemarch2  7780  ltnnnq  7784  prarloclemlt  7854