Theorem ordpipqqs 7685

Description: Ordering of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ordpipqqs	⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q <Q [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·N 𝐷) <N (𝐵 ·N 𝐶)))

Proof of Theorem ordpipqqs

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enqex 7671	. 2 ⊢ ~Q ∈ V
2		enqer 7669	. 2 ⊢ ~Q Er (N × N)
3		df-nqqs 7659	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
4		df-ltnqqs 7664	. 2 ⊢ <Q = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ∧ 𝑦 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) ∧ (𝑧 ·N 𝑢) <N (𝑤 ·N 𝑣)))}
5		enqeceq 7670	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 𝐵) = (𝑤 ·N 𝐴)))
6		enqeceq 7670	. . . . . 6 ⊢ (((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ↔ (𝑣 ·N 𝐷) = (𝑢 ·N 𝐶)))
7		eqcom 2234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 ·N 𝐷) = (𝑢 ·N 𝐶) ↔ (𝑢 ·N 𝐶) = (𝑣 ·N 𝐷))
8	6, 7	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ↔ (𝑢 ·N 𝐶) = (𝑣 ·N 𝐷)))
9	5, 8	bi2anan9 610	. . . 4 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q ∧ [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ) ↔ ((𝑧 ·N 𝐵) = (𝑤 ·N 𝐴) ∧ (𝑢 ·N 𝐶) = (𝑣 ·N 𝐷))))
10		oveq12 6058	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ·N 𝐵) = (𝑤 ·N 𝐴) ∧ (𝑢 ·N 𝐶) = (𝑣 ·N 𝐷)) → ((𝑧 ·N 𝐵) ·N (𝑢 ·N 𝐶)) = ((𝑤 ·N 𝐴) ·N (𝑣 ·N 𝐷)))
11		simplll 535	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝑧 ∈ N)
12		simprlr 540	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝑢 ∈ N)
13		simplrr 538	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝐵 ∈ N)
14		mulcompig 7642	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
16		mulasspig 7643	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑓) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑓)))
17	16	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑓) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑓)))
18		simprrl 541	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝐶 ∈ N)
19		mulclpi 7639	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
20	19	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
21	11, 12, 13, 15, 17, 18, 20	caov4d 6238	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → ((𝑧 ·N 𝑢) ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = ((𝑧 ·N 𝐵) ·N (𝑢 ·N 𝐶)))
22		simpllr 536	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝑤 ∈ N)
23		simprll 539	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝑣 ∈ N)
24		simplrl 537	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝐴 ∈ N)
25		simprrr 542	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝐷 ∈ N)
26	22, 23, 24, 15, 17, 25, 20	caov4d 6238	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → ((𝑤 ·N 𝑣) ·N (𝐴 ·N 𝐷)) = ((𝑤 ·N 𝐴) ·N (𝑣 ·N 𝐷)))
27	21, 26	eqeq12d 2247	. . . . 5 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (((𝑧 ·N 𝑢) ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = ((𝑤 ·N 𝑣) ·N (𝐴 ·N 𝐷)) ↔ ((𝑧 ·N 𝐵) ·N (𝑢 ·N 𝐶)) = ((𝑤 ·N 𝐴) ·N (𝑣 ·N 𝐷))))
28	10, 27	imbitrrid 156	. . . 4 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (((𝑧 ·N 𝐵) = (𝑤 ·N 𝐴) ∧ (𝑢 ·N 𝐶) = (𝑣 ·N 𝐷)) → ((𝑧 ·N 𝑢) ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = ((𝑤 ·N 𝑣) ·N (𝐴 ·N 𝐷))))
29	9, 28	sylbid 150	. . 3 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q ∧ [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ) → ((𝑧 ·N 𝑢) ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = ((𝑤 ·N 𝑣) ·N (𝐴 ·N 𝐷))))
30		ltmpig 7650	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑦 ↔ (𝑓 ·N 𝑥) <N (𝑓 ·N 𝑦)))
31	30	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (𝑥 <N 𝑦 ↔ (𝑓 ·N 𝑥) <N (𝑓 ·N 𝑦)))
32	20, 11, 12	caovcld 6207	. . . 4 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
33	20, 13, 18	caovcld 6207	. . . 4 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (𝐵 ·N 𝐶) ∈ N)
34	20, 22, 23	caovcld 6207	. . . 4 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
35	20, 24, 25	caovcld 6207	. . . 4 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (𝐴 ·N 𝐷) ∈ N)
36	31, 32, 33, 34, 15, 35	caovord3d 6224	. . 3 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (((𝑧 ·N 𝑢) ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = ((𝑤 ·N 𝑣) ·N (𝐴 ·N 𝐷)) → ((𝑧 ·N 𝑢) <N (𝑤 ·N 𝑣) ↔ (𝐴 ·N 𝐷) <N (𝐵 ·N 𝐶))))
37	29, 36	syld 45	. 2 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q ∧ [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ) → ((𝑧 ·N 𝑢) <N (𝑤 ·N 𝑣) ↔ (𝐴 ·N 𝐷) <N (𝐵 ·N 𝐶))))
38	1, 2, 3, 4, 37	brecop 6858	1 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q <Q [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·N 𝐷) <N (𝐵 ·N 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ⟨cop 3691   class class class wbr 4108  (class class class)co 6049  [cec 6764  Ncnpi 7583   ·_N cmi 7585   <_N clti 7586   ~_Q ceq 7590  Qcnq 7591   <_Q cltq 7596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-eprel 4409  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-oadd 6650  df-omul 6651  df-er 6766  df-ec 6768  df-qs 6772  df-ni 7615  df-mi 7617  df-lti 7618  df-enq 7658  df-nqqs 7659  df-ltnqqs 7664

This theorem is referenced by:  nqtri3or  7707  ltdcnq  7708  ltsonq  7709  ltanqg  7711  ltmnqg  7712  1lt2nq  7717  ltexnqq  7719  archnqq  7728  prarloclemarch2  7730  ltnnnq  7734  prarloclemlt  7804