ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordpipqqs GIF version

Theorem ordpipqqs 7373
Description: Ordering of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ordpipqqs (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ] ~Q โ†” (๐ด ยทN ๐ท) <N (๐ต ยทN ๐ถ)))

Proof of Theorem ordpipqqs
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘“ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enqex 7359 . 2 ~Q โˆˆ V
2 enqer 7357 . 2 ~Q Er (N ร— N)
3 df-nqqs 7347 . 2 Q = ((N ร— N) / ~Q )
4 df-ltnqqs 7352 . 2 <Q = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โˆง โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘ฅ = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โˆง ๐‘ฆ = [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ) โˆง (๐‘ง ยทN ๐‘ข) <N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)))}
5 enqeceq 7358 . . . . 5 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = [โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ] ~Q โ†” (๐‘ง ยทN ๐ต) = (๐‘ค ยทN ๐ด)))
6 enqeceq 7358 . . . . . 6 (((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q = [โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ] ~Q โ†” (๐‘ฃ ยทN ๐ท) = (๐‘ข ยทN ๐ถ)))
7 eqcom 2179 . . . . . 6 ((๐‘ฃ ยทN ๐ท) = (๐‘ข ยทN ๐ถ) โ†” (๐‘ข ยทN ๐ถ) = (๐‘ฃ ยทN ๐ท))
86, 7bitrdi 196 . . . . 5 (((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q = [โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ] ~Q โ†” (๐‘ข ยทN ๐ถ) = (๐‘ฃ ยทN ๐ท)))
95, 8bi2anan9 606 . . . 4 ((((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N))) โ†’ (([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = [โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ] ~Q โˆง [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q = [โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ] ~Q ) โ†” ((๐‘ง ยทN ๐ต) = (๐‘ค ยทN ๐ด) โˆง (๐‘ข ยทN ๐ถ) = (๐‘ฃ ยทN ๐ท))))
10 oveq12 5884 . . . . 5 (((๐‘ง ยทN ๐ต) = (๐‘ค ยทN ๐ด) โˆง (๐‘ข ยทN ๐ถ) = (๐‘ฃ ยทN ๐ท)) โ†’ ((๐‘ง ยทN ๐ต) ยทN (๐‘ข ยทN ๐ถ)) = ((๐‘ค ยทN ๐ด) ยทN (๐‘ฃ ยทN ๐ท)))
11 simplll 533 . . . . . . 7 ((((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ N)
12 simprlr 538 . . . . . . 7 ((((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N))) โ†’ ๐‘ข โˆˆ N)
13 simplrr 536 . . . . . . 7 ((((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N))) โ†’ ๐ต โˆˆ N)
14 mulcompig 7330 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ))
1514adantl 277 . . . . . . 7 (((((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ))
16 mulasspig 7331 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘“ โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) ยทN ๐‘“) = (๐‘ฅ ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘“)))
1716adantl 277 . . . . . . 7 (((((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘“ โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) ยทN ๐‘“) = (๐‘ฅ ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘“)))
18 simprrl 539 . . . . . . 7 ((((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N))) โ†’ ๐ถ โˆˆ N)
19 mulclpi 7327 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) โˆˆ N)
2019adantl 277 . . . . . . 7 (((((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) โˆˆ N)
2111, 12, 13, 15, 17, 18, 20caov4d 6059 . . . . . 6 ((((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N))) โ†’ ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) ยทN (๐ต ยทN ๐ถ)) = ((๐‘ง ยทN ๐ต) ยทN (๐‘ข ยทN ๐ถ)))
22 simpllr 534 . . . . . . 7 ((((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ N)
23 simprll 537 . . . . . . 7 ((((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N))) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ N)
24 simplrl 535 . . . . . . 7 ((((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N))) โ†’ ๐ด โˆˆ N)
25 simprrr 540 . . . . . . 7 ((((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N))) โ†’ ๐ท โˆˆ N)
2622, 23, 24, 15, 17, 25, 20caov4d 6059 . . . . . 6 ((((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N))) โ†’ ((๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) ยทN (๐ด ยทN ๐ท)) = ((๐‘ค ยทN ๐ด) ยทN (๐‘ฃ ยทN ๐ท)))
2721, 26eqeq12d 2192 . . . . 5 ((((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N))) โ†’ (((๐‘ง ยทN ๐‘ข) ยทN (๐ต ยทN ๐ถ)) = ((๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) ยทN (๐ด ยทN ๐ท)) โ†” ((๐‘ง ยทN ๐ต) ยทN (๐‘ข ยทN ๐ถ)) = ((๐‘ค ยทN ๐ด) ยทN (๐‘ฃ ยทN ๐ท))))
2810, 27imbitrrid 156 . . . 4 ((((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N))) โ†’ (((๐‘ง ยทN ๐ต) = (๐‘ค ยทN ๐ด) โˆง (๐‘ข ยทN ๐ถ) = (๐‘ฃ ยทN ๐ท)) โ†’ ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) ยทN (๐ต ยทN ๐ถ)) = ((๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) ยทN (๐ด ยทN ๐ท))))
299, 28sylbid 150 . . 3 ((((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N))) โ†’ (([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = [โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ] ~Q โˆง [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q = [โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ] ~Q ) โ†’ ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) ยทN (๐ต ยทN ๐ถ)) = ((๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) ยทN (๐ด ยทN ๐ท))))
30 ltmpig 7338 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘“ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฅ <N ๐‘ฆ โ†” (๐‘“ ยทN ๐‘ฅ) <N (๐‘“ ยทN ๐‘ฆ)))
3130adantl 277 . . . 4 (((((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘“ โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฅ <N ๐‘ฆ โ†” (๐‘“ ยทN ๐‘ฅ) <N (๐‘“ ยทN ๐‘ฆ)))
3220, 11, 12caovcld 6028 . . . 4 ((((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N))) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)
3320, 13, 18caovcld 6028 . . . 4 ((((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N))) โ†’ (๐ต ยทN ๐ถ) โˆˆ N)
3420, 22, 23caovcld 6028 . . . 4 ((((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N))) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N)
3520, 24, 25caovcld 6028 . . . 4 ((((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N))) โ†’ (๐ด ยทN ๐ท) โˆˆ N)
3631, 32, 33, 34, 15, 35caovord3d 6045 . . 3 ((((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N))) โ†’ (((๐‘ง ยทN ๐‘ข) ยทN (๐ต ยทN ๐ถ)) = ((๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) ยทN (๐ด ยทN ๐ท)) โ†’ ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) <N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) โ†” (๐ด ยทN ๐ท) <N (๐ต ยทN ๐ถ))))
3729, 36syld 45 . 2 ((((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N))) โ†’ (([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = [โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ] ~Q โˆง [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q = [โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ] ~Q ) โ†’ ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) <N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) โ†” (๐ด ยทN ๐ท) <N (๐ต ยทN ๐ถ))))
381, 2, 3, 4, 37brecop 6625 1 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ] ~Q โ†” (๐ด ยทN ๐ท) <N (๐ต ยทN ๐ถ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โŸจcop 3596   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  [cec 6533  Ncnpi 7271   ยทN cmi 7273   <N clti 7274   ~Q ceq 7278  Qcnq 7279   <Q cltq 7284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-eprel 4290  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-mi 7305  df-lti 7306  df-enq 7346  df-nqqs 7347  df-ltnqqs 7352
This theorem is referenced by:  nqtri3or  7395  ltdcnq  7396  ltsonq  7397  ltanqg  7399  ltmnqg  7400  1lt2nq  7405  ltexnqq  7407  archnqq  7416  prarloclemarch2  7418  ltnnnq  7422  prarloclemlt  7492
  Copyright terms: Public domain W3C validator