ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recexprlem1ssu GIF version

Theorem recexprlem1ssu 7632
Description: The upper cut of one is a subset of the upper cut of ๐ด ยทP ๐ต. Lemma for recexpr 7636. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
recexpr.1 ๐ต = โŸจ{๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))}, {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ <Q ๐‘ฅ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (1st โ€˜๐ด))}โŸฉ
Assertion
Ref Expression
recexprlem1ssu (๐ด โˆˆ P โ†’ (2nd โ€˜1P) โŠ† (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ

Proof of Theorem recexprlem1ssu
Dummy variables ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘“ ๐‘” โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1pru 7554 . . . 4 (2nd โ€˜1P) = {๐‘ค โˆฃ 1Q <Q ๐‘ค}
21abeq2i 2288 . . 3 (๐‘ค โˆˆ (2nd โ€˜1P) โ†” 1Q <Q ๐‘ค)
3 prop 7473 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ P โ†’ โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P)
4 prmuloc2 7565 . . . . . 6 ((โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))
53, 4sylan 283 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))
6 prnminu 7487 . . . . . . . 8 ((โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค))
73, 6sylan 283 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ P โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค))
87ad2ant2rl 511 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค))
9 simp3 999 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค))
10 simp2l 1023 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด))
11 elprnql 7479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ Q)
123, 11sylan 283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ Q)
1312ad2ant2r 509 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ Q)
14133adant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ Q)
15 simp1r 1022 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ 1Q <Q ๐‘ค)
16 ltrelnq 7363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 <Q โŠ† (Q ร— Q)
1716brel 4678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1Q <Q ๐‘ค โ†’ (1Q โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q))
1817simprd 114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1Q <Q ๐‘ค โ†’ ๐‘ค โˆˆ Q)
1915, 18syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ Q)
20 recclnq 7390 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ค โˆˆ Q โ†’ (*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ Q)
2119, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ (*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ Q)
22 mulassnqg 7382 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q โˆง (*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) = (๐‘ฃ ยทQ (๐‘ค ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค))))
2314, 19, 21, 22syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ ((๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) = (๐‘ฃ ยทQ (๐‘ค ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค))))
24 recidnq 7391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ค โˆˆ Q โ†’ (๐‘ค ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) = 1Q)
2519, 24syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ค ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) = 1Q)
2625oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ฃ ยทQ (๐‘ค ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค))) = (๐‘ฃ ยทQ 1Q))
27 mulidnq 7387 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฃ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฃ ยทQ 1Q) = ๐‘ฃ)
2814, 27syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ฃ ยทQ 1Q) = ๐‘ฃ)
2923, 26, 283eqtrd 2214 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ ((๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) = ๐‘ฃ)
3029eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ (((๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โ†” ๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)))
3110, 30mpbird 167 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ ((๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (1st โ€˜๐ด))
32 ltrnqi 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โ†’ (*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) <Q (*Qโ€˜๐‘ง))
33 ltmnqg 7399 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘” โ†” (โ„Ž ยทQ ๐‘“) <Q (โ„Ž ยทQ ๐‘”)))
3433adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โˆง (๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q)) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘” โ†” (โ„Ž ยทQ ๐‘“) <Q (โ„Ž ยทQ ๐‘”)))
35 mulclnq 7374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ Q)
3614, 19, 35syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ Q)
37 recclnq 7390 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ Q โ†’ (*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โˆˆ Q)
3836, 37syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ (*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โˆˆ Q)
3916brel 4678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โ†’ (๐‘ง โˆˆ Q โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ Q))
4039simpld 112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Q)
419, 40syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Q)
42 recclnq 7390 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง โˆˆ Q โ†’ (*Qโ€˜๐‘ง) โˆˆ Q)
4341, 42syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ (*Qโ€˜๐‘ง) โˆˆ Q)
44 mulcomnqg 7381 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘” โˆˆ Q) โ†’ (๐‘“ ยทQ ๐‘”) = (๐‘” ยทQ ๐‘“))
4544adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โˆง (๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘” โˆˆ Q)) โ†’ (๐‘“ ยทQ ๐‘”) = (๐‘” ยทQ ๐‘“))
4634, 38, 43, 19, 45caovord2d 6043 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ ((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) <Q (*Qโ€˜๐‘ง) โ†” ((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ ๐‘ค) <Q ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค)))
4732, 46imbitrid 154 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โ†’ ((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ ๐‘ค) <Q ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค)))
48 mulcomnqg 7381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ Q โˆง (*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) ยทQ (*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค))) = ((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)))
4937, 48mpdan 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ Q โ†’ ((๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) ยทQ (*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค))) = ((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)))
50 recidnq 7391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ Q โ†’ ((๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) ยทQ (*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค))) = 1Q)
5149, 50eqtr3d 2212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ Q โ†’ ((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) = 1Q)
5251, 24oveqan12d 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โ†’ (((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ (๐‘ค ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค))) = (1Q ยทQ 1Q))
5336, 19, 52syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ (((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ (๐‘ค ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค))) = (1Q ยทQ 1Q))
54 mulassnqg 7382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘“ ยทQ ๐‘”) ยทQ โ„Ž) = (๐‘“ ยทQ (๐‘” ยทQ โ„Ž)))
5554adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โˆง (๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q)) โ†’ ((๐‘“ ยทQ ๐‘”) ยทQ โ„Ž) = (๐‘“ ยทQ (๐‘” ยทQ โ„Ž)))
56 mulclnq 7374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘” โˆˆ Q) โ†’ (๐‘“ ยทQ ๐‘”) โˆˆ Q)
5756adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โˆง (๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘” โˆˆ Q)) โ†’ (๐‘“ ยทQ ๐‘”) โˆˆ Q)
5838, 36, 19, 45, 55, 21, 57caov4d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ (((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ (๐‘ค ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค))) = (((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ ๐‘ค) ยทQ ((๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค))))
5953, 58eqtr3d 2212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ (1Q ยทQ 1Q) = (((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ ๐‘ค) ยทQ ((๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค))))
60 1nq 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1Q โˆˆ Q
61 mulidnq 7387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1Q โˆˆ Q โ†’ (1Q ยทQ 1Q) = 1Q)
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1Q ยทQ 1Q) = 1Q
6359, 62eqtr3di 2225 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ (((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ ๐‘ค) ยทQ ((๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค))) = 1Q)
6457, 38, 19caovcld 6027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ ((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ ๐‘ค) โˆˆ Q)
6557, 36, 21caovcld 6027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ ((๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ Q)
66 recmulnqg 7389 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ ๐‘ค) โˆˆ Q โˆง ((๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ Q) โ†’ ((*Qโ€˜((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ ๐‘ค)) = ((๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โ†” (((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ ๐‘ค) ยทQ ((๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค))) = 1Q))
6764, 65, 66syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ ((*Qโ€˜((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ ๐‘ค)) = ((๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โ†” (((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ ๐‘ค) ยทQ ((๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค))) = 1Q))
6863, 67mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ (*Qโ€˜((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ ๐‘ค)) = ((๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)))
6968eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ ((*Qโ€˜((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ ๐‘ค)) โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โ†” ((๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (1st โ€˜๐ด)))
7069biimprd 158 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ (((๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โ†’ (*Qโ€˜((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ ๐‘ค)) โˆˆ (1st โ€˜๐ด)))
71 breq1 4006 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ = ((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ ๐‘ค) โ†’ (๐‘ฆ <Q ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) โ†” ((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ ๐‘ค) <Q ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค)))
72 fveq2 5515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ = ((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ ๐‘ค) โ†’ (*Qโ€˜๐‘ฆ) = (*Qโ€˜((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ ๐‘ค)))
7372eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ = ((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ ๐‘ค) โ†’ ((*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โ†” (*Qโ€˜((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ ๐‘ค)) โˆˆ (1st โ€˜๐ด)))
7471, 73anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ = ((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ฆ <Q ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†” (((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ ๐‘ค) <Q ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) โˆง (*Qโ€˜((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ ๐‘ค)) โˆˆ (1st โ€˜๐ด))))
7574spcegv 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 (((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ ๐‘ค) โˆˆ Q โ†’ ((((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ ๐‘ค) <Q ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) โˆง (*Qโ€˜((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ ๐‘ค)) โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ <Q ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (1st โ€˜๐ด))))
7664, 75syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ ((((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ ๐‘ค) <Q ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) โˆง (*Qโ€˜((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ ๐‘ค)) โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ <Q ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (1st โ€˜๐ด))))
77 recexpr.1 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ต = โŸจ{๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))}, {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ <Q ๐‘ฅ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (1st โ€˜๐ด))}โŸฉ
7877recexprlemelu 7621 . . . . . . . . . . . . 13 (((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ <Q ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (1st โ€˜๐ด)))
7976, 78imbitrrdi 162 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ ((((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ ๐‘ค) <Q ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) โˆง (*Qโ€˜((*Qโ€˜(๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) ยทQ ๐‘ค)) โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)))
8047, 70, 79syl2and 295 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ ((๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆง ((๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)))
819, 31, 80mp2and 433 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ต))
82 mulidnq 7387 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ค โˆˆ Q โ†’ (๐‘ค ยทQ 1Q) = ๐‘ค)
83 mulcomnqg 7381 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ค โˆˆ Q โˆง 1Q โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ค ยทQ 1Q) = (1Q ยทQ ๐‘ค))
8460, 83mpan2 425 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ค โˆˆ Q โ†’ (๐‘ค ยทQ 1Q) = (1Q ยทQ ๐‘ค))
8582, 84eqtr3d 2212 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ค โˆˆ Q โ†’ ๐‘ค = (1Q ยทQ ๐‘ค))
8685adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โ†’ ๐‘ค = (1Q ยทQ ๐‘ค))
87 recidnq 7391 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ง โˆˆ Q โ†’ (๐‘ง ยทQ (*Qโ€˜๐‘ง)) = 1Q)
8887oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง โˆˆ Q โ†’ ((๐‘ง ยทQ (*Qโ€˜๐‘ง)) ยทQ ๐‘ค) = (1Q ยทQ ๐‘ค))
8988adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ง ยทQ (*Qโ€˜๐‘ง)) ยทQ ๐‘ค) = (1Q ยทQ ๐‘ค))
90 mulassnqg 7382 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ง โˆˆ Q โˆง (*Qโ€˜๐‘ง) โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ง ยทQ (*Qโ€˜๐‘ง)) ยทQ ๐‘ค) = (๐‘ง ยทQ ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค)))
9142, 90syl3an2 1272 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ง ยทQ (*Qโ€˜๐‘ง)) ยทQ ๐‘ค) = (๐‘ง ยทQ ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค)))
92913anidm12 1295 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ง ยทQ (*Qโ€˜๐‘ง)) ยทQ ๐‘ค) = (๐‘ง ยทQ ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค)))
9386, 89, 923eqtr2d 2216 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โ†’ ๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค)))
9441, 19, 93syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ ๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค)))
95 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) = (๐‘ง ยทQ ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค)))
9695eqeq2d 2189 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) โ†” ๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค))))
9796rspcev 2841 . . . . . . . . . 10 ((((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ต) โˆง ๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ))
9881, 94, 97syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ))
99983expia 1205 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ)))
10099reximdv 2578 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ)))
10177recexprlempr 7630 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ P โ†’ ๐ต โˆˆ P)
102 df-imp 7467 . . . . . . . . . 10 ยทP = (๐‘ฆ โˆˆ P, ๐‘ค โˆˆ P โ†ฆ โŸจ{๐‘ข โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘“ โˆˆ Q โˆƒ๐‘” โˆˆ Q (๐‘“ โˆˆ (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜๐‘ค) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))}, {๐‘ข โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘“ โˆˆ Q โˆƒ๐‘” โˆˆ Q (๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (2nd โ€˜๐‘ค) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))}โŸฉ)
103102, 56genpelvu 7511 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ)))
104101, 103mpdan 421 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ค โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ)))
105104ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ)))
106100, 105sylibrd 169 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)๐‘ง <Q (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต))))
1078, 106mpd 13 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)))
1085, 107rexlimddv 2599 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐‘ค) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)))
109108ex 115 . . 3 (๐ด โˆˆ P โ†’ (1Q <Q ๐‘ค โ†’ ๐‘ค โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต))))
1102, 109biimtrid 152 . 2 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ค โˆˆ (2nd โ€˜1P) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต))))
111110ssrdv 3161 1 (๐ด โˆˆ P โ†’ (2nd โ€˜1P) โŠ† (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353  โˆƒwex 1492   โˆˆ wcel 2148  {cab 2163  โˆƒwrex 2456   โŠ† wss 3129  โŸจcop 3595   class class class wbr 4003  โ€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  1st c1st 6138  2nd c2nd 6139  Qcnq 7278  1Qc1q 7279   ยทQ cmq 7281  *Qcrq 7282   <Q cltq 7283  Pcnp 7289  1Pc1p 7290   ยทP cmp 7292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-eprel 4289  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-1o 6416  df-2o 6417  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-pli 7303  df-mi 7304  df-lti 7305  df-plpq 7342  df-mpq 7343  df-enq 7345  df-nqqs 7346  df-plqqs 7347  df-mqqs 7348  df-1nqqs 7349  df-rq 7350  df-ltnqqs 7351  df-enq0 7422  df-nq0 7423  df-0nq0 7424  df-plq0 7425  df-mq0 7426  df-inp 7464  df-i1p 7465  df-imp 7467
This theorem is referenced by:  recexprlemex  7635
  Copyright terms: Public domain W3C validator