Theorem mulextsr1lem 7742

Description: Lemma for mulextsr1 7743. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mulextsr1lem	⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑈)))<P (((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑉))) → ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑌 +P 𝑍) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑊 +P 𝑋))))

Proof of Theorem mulextsr1lem

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcomprg 7540	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P) → (𝑓 +P 𝑔) = (𝑔 +P 𝑓))
2	1	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P)) → (𝑓 +P 𝑔) = (𝑔 +P 𝑓))
3		addclpr 7499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P) → (𝑓 +P 𝑔) ∈ P)
4	3	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P)) → (𝑓 +P 𝑔) ∈ P)
5		simp2l 1018	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → 𝑍 ∈ P)
6		simp3r 1021	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → 𝑉 ∈ P)
7		mulclpr 7534	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → (𝑍 ·P 𝑉) ∈ P)
8	5, 6, 7	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑍 ·P 𝑉) ∈ P)
9		simp1r 1017	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → 𝑌 ∈ P)
10		mulclpr 7534	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → (𝑌 ·P 𝑉) ∈ P)
11	9, 6, 10	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑌 ·P 𝑉) ∈ P)
12	4, 8, 11	caovcld 6006	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑉)) ∈ P)
13		simp1l 1016	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → 𝑋 ∈ P)
14		simp3l 1020	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → 𝑈 ∈ P)
15		mulclpr 7534	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → (𝑋 ·P 𝑈) ∈ P)
16	13, 14, 15	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑋 ·P 𝑈) ∈ P)
17		simp2r 1019	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → 𝑊 ∈ P)
18		mulclpr 7534	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → (𝑊 ·P 𝑈) ∈ P)
19	17, 14, 18	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑊 ·P 𝑈) ∈ P)
20	4, 16, 19	caovcld 6006	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑈)) ∈ P)
21	2, 12, 20	caovcomd 6009	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑈))) = (((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑉))))
22		addassprg 7541	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P) → ((𝑓 +P 𝑔) +P ℎ) = (𝑓 +P (𝑔 +P ℎ)))
23	22	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P)) → ((𝑓 +P 𝑔) +P ℎ) = (𝑓 +P (𝑔 +P ℎ)))
24	16, 11, 8, 2, 23, 19, 4	caov411d 6038	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑈))) = (((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑈))))
25		distrprg 7550	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P) → (𝑓 ·P (𝑔 +P ℎ)) = ((𝑓 ·P 𝑔) +P (𝑓 ·P ℎ)))
26	25	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P)) → (𝑓 ·P (𝑔 +P ℎ)) = ((𝑓 ·P 𝑔) +P (𝑓 ·P ℎ)))
27		mulcomprg 7542	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P) → (𝑓 ·P 𝑔) = (𝑔 ·P 𝑓))
28	27	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P)) → (𝑓 ·P 𝑔) = (𝑔 ·P 𝑓))
29	26, 13, 17, 14, 4, 28	caovdir2d 6029	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) = ((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑈)))
30	26, 5, 9, 6, 4, 28	caovdir2d 6029	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉) = ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑉)))
31	29, 30	oveq12d 5871	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) +P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)) = (((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑉))))
32	21, 24, 31	3eqtr4d 2213	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑈))) = (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) +P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)))
33		mulclpr 7534	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → (𝑋 ·P 𝑉) ∈ P)
34	13, 6, 33	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑋 ·P 𝑉) ∈ P)
35		mulclpr 7534	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → (𝑌 ·P 𝑈) ∈ P)
36	9, 14, 35	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑌 ·P 𝑈) ∈ P)
37		mulclpr 7534	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → (𝑍 ·P 𝑈) ∈ P)
38	5, 14, 37	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑍 ·P 𝑈) ∈ P)
39		mulclpr 7534	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → (𝑊 ·P 𝑉) ∈ P)
40	17, 6, 39	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑊 ·P 𝑉) ∈ P)
41	34, 36, 38, 2, 23, 40, 4	caov411d 6038	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑉))) = (((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑉))))
42	26, 5, 9, 14, 4, 28	caovdir2d 6029	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) = ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑈)))
43	26, 13, 17, 6, 4, 28	caovdir2d 6029	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) = ((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑉)))
44	42, 43	oveq12d 5871	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) +P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉)) = (((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑉))))
45	41, 44	eqtr4d 2206	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑉))) = (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) +P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉)))
46	32, 45	breq12d 4002	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑈)))<P (((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑉))) ↔ (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) +P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉))<P (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) +P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉))))
47	29, 20	eqeltrd 2247	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) ∈ P)
48	30, 12	eqeltrd 2247	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉) ∈ P)
49		addclpr 7499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) → (𝑍 +P 𝑌) ∈ P)
50	5, 9, 49	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑍 +P 𝑌) ∈ P)
51		mulclpr 7534	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ∈ P)
52	50, 14, 51	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ∈ P)
53		addclpr 7499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) → (𝑋 +P 𝑊) ∈ P)
54	13, 17, 53	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑋 +P 𝑊) ∈ P)
55		mulclpr 7534	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) ∈ P)
56	54, 6, 55	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) ∈ P)
57		addextpr 7583	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) ∈ P ∧ ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉) ∈ P) ∧ (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ∈ P ∧ ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) ∈ P)) → ((((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) +P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉))<P (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) +P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉)) → (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈)<P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ∨ ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)<P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉))))
58	47, 48, 52, 56, 57	syl22anc 1234	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) +P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉))<P (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) +P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉)) → (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈)<P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ∨ ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)<P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉))))
59		mulcomprg 7542	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) = (𝑈 ·P (𝑋 +P 𝑊)))
60	59	3adant2 1011	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ (𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) = (𝑈 ·P (𝑋 +P 𝑊)))
61		mulcomprg 7542	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) = (𝑈 ·P (𝑍 +P 𝑌)))
62	61	3adant1 1010	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ (𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) = (𝑈 ·P (𝑍 +P 𝑌)))
63	60, 62	breq12d 4002	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ (𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈)<P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ↔ (𝑈 ·P (𝑋 +P 𝑊))<P (𝑈 ·P (𝑍 +P 𝑌))))
64		ltmprr 7604	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ (𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → ((𝑈 ·P (𝑋 +P 𝑊))<P (𝑈 ·P (𝑍 +P 𝑌)) → (𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌)))
65	63, 64	sylbid 149	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ (𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈)<P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) → (𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌)))
66	54, 50, 14, 65	syl3anc 1233	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈)<P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) → (𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌)))
67		mulcomprg 7542	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉) = (𝑉 ·P (𝑍 +P 𝑌)))
68	50, 6, 67	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉) = (𝑉 ·P (𝑍 +P 𝑌)))
69		mulcomprg 7542	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) = (𝑉 ·P (𝑋 +P 𝑊)))
70	54, 6, 69	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) = (𝑉 ·P (𝑋 +P 𝑊)))
71	68, 70	breq12d 4002	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)<P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) ↔ (𝑉 ·P (𝑍 +P 𝑌))<P (𝑉 ·P (𝑋 +P 𝑊))))
72		ltmprr 7604	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ (𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → ((𝑉 ·P (𝑍 +P 𝑌))<P (𝑉 ·P (𝑋 +P 𝑊)) → (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊)))
73	50, 54, 6, 72	syl3anc 1233	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑉 ·P (𝑍 +P 𝑌))<P (𝑉 ·P (𝑋 +P 𝑊)) → (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊)))
74	71, 73	sylbid 149	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)<P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) → (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊)))
75	66, 74	orim12d 781	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈)<P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ∨ ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)<P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉)) → ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊))))
76	58, 75	syld 45	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) +P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉))<P (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) +P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉)) → ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊))))
77	46, 76	sylbid 149	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑈)))<P (((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑉))) → ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊))))
78		addcomprg 7540	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) → (𝑍 +P 𝑌) = (𝑌 +P 𝑍))
79	5, 9, 78	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑍 +P 𝑌) = (𝑌 +P 𝑍))
80	79	breq2d 4001	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌) ↔ (𝑋 +P 𝑊)<P (𝑌 +P 𝑍)))
81		addcomprg 7540	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) → (𝑋 +P 𝑊) = (𝑊 +P 𝑋))
82	13, 17, 81	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑋 +P 𝑊) = (𝑊 +P 𝑋))
83	82	breq2d 4001	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊) ↔ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑊 +P 𝑋)))
84	80, 83	orbi12d 788	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊)) ↔ ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑌 +P 𝑍) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑊 +P 𝑋))))
85	77, 84	sylibd 148	1 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑈)))<P (((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑉))) → ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑌 +P 𝑍) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑊 +P 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 703   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  Pcnp 7253   +_P cpp 7255   ·_P cmp 7256  <_P cltp 7257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-0nq0 7388  df-plq0 7389  df-mq0 7390  df-inp 7428  df-i1p 7429  df-iplp 7430  df-imp 7431  df-iltp 7432

This theorem is referenced by:  mulextsr1  7743