Theorem mulextsr1lem 7779

Description: Lemma for mulextsr1 7780. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mulextsr1lem	⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑈)))<P (((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑉))) → ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑌 +P 𝑍) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑊 +P 𝑋))))

Proof of Theorem mulextsr1lem

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcomprg 7577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P) → (𝑓 +P 𝑔) = (𝑔 +P 𝑓))
2	1	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P)) → (𝑓 +P 𝑔) = (𝑔 +P 𝑓))
3		addclpr 7536	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P) → (𝑓 +P 𝑔) ∈ P)
4	3	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P)) → (𝑓 +P 𝑔) ∈ P)
5		simp2l 1023	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → 𝑍 ∈ P)
6		simp3r 1026	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → 𝑉 ∈ P)
7		mulclpr 7571	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → (𝑍 ·P 𝑉) ∈ P)
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑍 ·P 𝑉) ∈ P)
9		simp1r 1022	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → 𝑌 ∈ P)
10		mulclpr 7571	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → (𝑌 ·P 𝑉) ∈ P)
11	9, 6, 10	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑌 ·P 𝑉) ∈ P)
12	4, 8, 11	caovcld 6028	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑉)) ∈ P)
13		simp1l 1021	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → 𝑋 ∈ P)
14		simp3l 1025	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → 𝑈 ∈ P)
15		mulclpr 7571	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → (𝑋 ·P 𝑈) ∈ P)
16	13, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑋 ·P 𝑈) ∈ P)
17		simp2r 1024	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → 𝑊 ∈ P)
18		mulclpr 7571	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → (𝑊 ·P 𝑈) ∈ P)
19	17, 14, 18	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑊 ·P 𝑈) ∈ P)
20	4, 16, 19	caovcld 6028	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑈)) ∈ P)
21	2, 12, 20	caovcomd 6031	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑈))) = (((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑉))))
22		addassprg 7578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P) → ((𝑓 +P 𝑔) +P ℎ) = (𝑓 +P (𝑔 +P ℎ)))
23	22	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P)) → ((𝑓 +P 𝑔) +P ℎ) = (𝑓 +P (𝑔 +P ℎ)))
24	16, 11, 8, 2, 23, 19, 4	caov411d 6060	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑈))) = (((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑈))))
25		distrprg 7587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P) → (𝑓 ·P (𝑔 +P ℎ)) = ((𝑓 ·P 𝑔) +P (𝑓 ·P ℎ)))
26	25	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P)) → (𝑓 ·P (𝑔 +P ℎ)) = ((𝑓 ·P 𝑔) +P (𝑓 ·P ℎ)))
27		mulcomprg 7579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P) → (𝑓 ·P 𝑔) = (𝑔 ·P 𝑓))
28	27	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P)) → (𝑓 ·P 𝑔) = (𝑔 ·P 𝑓))
29	26, 13, 17, 14, 4, 28	caovdir2d 6051	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) = ((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑈)))
30	26, 5, 9, 6, 4, 28	caovdir2d 6051	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉) = ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑉)))
31	29, 30	oveq12d 5893	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) +P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)) = (((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑉))))
32	21, 24, 31	3eqtr4d 2220	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑈))) = (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) +P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)))
33		mulclpr 7571	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → (𝑋 ·P 𝑉) ∈ P)
34	13, 6, 33	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑋 ·P 𝑉) ∈ P)
35		mulclpr 7571	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → (𝑌 ·P 𝑈) ∈ P)
36	9, 14, 35	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑌 ·P 𝑈) ∈ P)
37		mulclpr 7571	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → (𝑍 ·P 𝑈) ∈ P)
38	5, 14, 37	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑍 ·P 𝑈) ∈ P)
39		mulclpr 7571	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → (𝑊 ·P 𝑉) ∈ P)
40	17, 6, 39	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑊 ·P 𝑉) ∈ P)
41	34, 36, 38, 2, 23, 40, 4	caov411d 6060	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑉))) = (((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑉))))
42	26, 5, 9, 14, 4, 28	caovdir2d 6051	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) = ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑈)))
43	26, 13, 17, 6, 4, 28	caovdir2d 6051	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) = ((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑉)))
44	42, 43	oveq12d 5893	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) +P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉)) = (((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑉))))
45	41, 44	eqtr4d 2213	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑉))) = (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) +P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉)))
46	32, 45	breq12d 4017	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑈)))<P (((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑉))) ↔ (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) +P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉))<P (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) +P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉))))
47	29, 20	eqeltrd 2254	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) ∈ P)
48	30, 12	eqeltrd 2254	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉) ∈ P)
49		addclpr 7536	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) → (𝑍 +P 𝑌) ∈ P)
50	5, 9, 49	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑍 +P 𝑌) ∈ P)
51		mulclpr 7571	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ∈ P)
52	50, 14, 51	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ∈ P)
53		addclpr 7536	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) → (𝑋 +P 𝑊) ∈ P)
54	13, 17, 53	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑋 +P 𝑊) ∈ P)
55		mulclpr 7571	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) ∈ P)
56	54, 6, 55	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) ∈ P)
57		addextpr 7620	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) ∈ P ∧ ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉) ∈ P) ∧ (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ∈ P ∧ ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) ∈ P)) → ((((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) +P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉))<P (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) +P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉)) → (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈)<P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ∨ ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)<P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉))))
58	47, 48, 52, 56, 57	syl22anc 1239	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) +P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉))<P (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) +P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉)) → (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈)<P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ∨ ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)<P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉))))
59		mulcomprg 7579	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) = (𝑈 ·P (𝑋 +P 𝑊)))
60	59	3adant2 1016	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ (𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) = (𝑈 ·P (𝑋 +P 𝑊)))
61		mulcomprg 7579	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) = (𝑈 ·P (𝑍 +P 𝑌)))
62	61	3adant1 1015	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ (𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) = (𝑈 ·P (𝑍 +P 𝑌)))
63	60, 62	breq12d 4017	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ (𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈)<P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ↔ (𝑈 ·P (𝑋 +P 𝑊))<P (𝑈 ·P (𝑍 +P 𝑌))))
64		ltmprr 7641	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ (𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → ((𝑈 ·P (𝑋 +P 𝑊))<P (𝑈 ·P (𝑍 +P 𝑌)) → (𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌)))
65	63, 64	sylbid 150	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ (𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈)<P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) → (𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌)))
66	54, 50, 14, 65	syl3anc 1238	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈)<P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) → (𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌)))
67		mulcomprg 7579	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉) = (𝑉 ·P (𝑍 +P 𝑌)))
68	50, 6, 67	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉) = (𝑉 ·P (𝑍 +P 𝑌)))
69		mulcomprg 7579	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) = (𝑉 ·P (𝑋 +P 𝑊)))
70	54, 6, 69	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) = (𝑉 ·P (𝑋 +P 𝑊)))
71	68, 70	breq12d 4017	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)<P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) ↔ (𝑉 ·P (𝑍 +P 𝑌))<P (𝑉 ·P (𝑋 +P 𝑊))))
72		ltmprr 7641	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ (𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → ((𝑉 ·P (𝑍 +P 𝑌))<P (𝑉 ·P (𝑋 +P 𝑊)) → (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊)))
73	50, 54, 6, 72	syl3anc 1238	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑉 ·P (𝑍 +P 𝑌))<P (𝑉 ·P (𝑋 +P 𝑊)) → (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊)))
74	71, 73	sylbid 150	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)<P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) → (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊)))
75	66, 74	orim12d 786	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈)<P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ∨ ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)<P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉)) → ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊))))
76	58, 75	syld 45	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) +P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉))<P (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) +P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉)) → ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊))))
77	46, 76	sylbid 150	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑈)))<P (((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑉))) → ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊))))
78		addcomprg 7577	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) → (𝑍 +P 𝑌) = (𝑌 +P 𝑍))
79	5, 9, 78	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑍 +P 𝑌) = (𝑌 +P 𝑍))
80	79	breq2d 4016	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌) ↔ (𝑋 +P 𝑊)<P (𝑌 +P 𝑍)))
81		addcomprg 7577	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) → (𝑋 +P 𝑊) = (𝑊 +P 𝑋))
82	13, 17, 81	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑋 +P 𝑊) = (𝑊 +P 𝑋))
83	82	breq2d 4016	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊) ↔ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑊 +P 𝑋)))
84	80, 83	orbi12d 793	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊)) ↔ ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑌 +P 𝑍) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑊 +P 𝑋))))
85	77, 84	sylibd 149	1 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑈)))<P (((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑉))) → ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑌 +P 𝑍) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑊 +P 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  Pcnp 7290   +_P cpp 7292   ·_P cmp 7293  <_P cltp 7294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-eprel 4290  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-1o 6417  df-2o 6418  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-pli 7304  df-mi 7305  df-lti 7306  df-plpq 7343  df-mpq 7344  df-enq 7346  df-nqqs 7347  df-plqqs 7348  df-mqqs 7349  df-1nqqs 7350  df-rq 7351  df-ltnqqs 7352  df-enq0 7423  df-nq0 7424  df-0nq0 7425  df-plq0 7426  df-mq0 7427  df-inp 7465  df-i1p 7466  df-iplp 7467  df-imp 7468  df-iltp 7469

This theorem is referenced by:  mulextsr1  7780