Theorem mulextsr1lem 8000

Description: Lemma for mulextsr1 8001. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mulextsr1lem	⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑈)))<P (((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑉))) → ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑌 +P 𝑍) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑊 +P 𝑋))))

Proof of Theorem mulextsr1lem

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcomprg 7798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P) → (𝑓 +P 𝑔) = (𝑔 +P 𝑓))
2	1	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P)) → (𝑓 +P 𝑔) = (𝑔 +P 𝑓))
3		addclpr 7757	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P) → (𝑓 +P 𝑔) ∈ P)
4	3	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P)) → (𝑓 +P 𝑔) ∈ P)
5		simp2l 1049	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → 𝑍 ∈ P)
6		simp3r 1052	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → 𝑉 ∈ P)
7		mulclpr 7792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → (𝑍 ·P 𝑉) ∈ P)
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑍 ·P 𝑉) ∈ P)
9		simp1r 1048	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → 𝑌 ∈ P)
10		mulclpr 7792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → (𝑌 ·P 𝑉) ∈ P)
11	9, 6, 10	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑌 ·P 𝑉) ∈ P)
12	4, 8, 11	caovcld 6176	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑉)) ∈ P)
13		simp1l 1047	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → 𝑋 ∈ P)
14		simp3l 1051	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → 𝑈 ∈ P)
15		mulclpr 7792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → (𝑋 ·P 𝑈) ∈ P)
16	13, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑋 ·P 𝑈) ∈ P)
17		simp2r 1050	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → 𝑊 ∈ P)
18		mulclpr 7792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → (𝑊 ·P 𝑈) ∈ P)
19	17, 14, 18	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑊 ·P 𝑈) ∈ P)
20	4, 16, 19	caovcld 6176	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑈)) ∈ P)
21	2, 12, 20	caovcomd 6179	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑈))) = (((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑉))))
22		addassprg 7799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P) → ((𝑓 +P 𝑔) +P ℎ) = (𝑓 +P (𝑔 +P ℎ)))
23	22	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P)) → ((𝑓 +P 𝑔) +P ℎ) = (𝑓 +P (𝑔 +P ℎ)))
24	16, 11, 8, 2, 23, 19, 4	caov411d 6208	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑈))) = (((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑈))))
25		distrprg 7808	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P) → (𝑓 ·P (𝑔 +P ℎ)) = ((𝑓 ·P 𝑔) +P (𝑓 ·P ℎ)))
26	25	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P)) → (𝑓 ·P (𝑔 +P ℎ)) = ((𝑓 ·P 𝑔) +P (𝑓 ·P ℎ)))
27		mulcomprg 7800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P) → (𝑓 ·P 𝑔) = (𝑔 ·P 𝑓))
28	27	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P)) → (𝑓 ·P 𝑔) = (𝑔 ·P 𝑓))
29	26, 13, 17, 14, 4, 28	caovdir2d 6199	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) = ((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑈)))
30	26, 5, 9, 6, 4, 28	caovdir2d 6199	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉) = ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑉)))
31	29, 30	oveq12d 6036	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) +P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)) = (((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑉))))
32	21, 24, 31	3eqtr4d 2274	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑈))) = (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) +P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)))
33		mulclpr 7792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → (𝑋 ·P 𝑉) ∈ P)
34	13, 6, 33	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑋 ·P 𝑉) ∈ P)
35		mulclpr 7792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → (𝑌 ·P 𝑈) ∈ P)
36	9, 14, 35	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑌 ·P 𝑈) ∈ P)
37		mulclpr 7792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → (𝑍 ·P 𝑈) ∈ P)
38	5, 14, 37	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑍 ·P 𝑈) ∈ P)
39		mulclpr 7792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → (𝑊 ·P 𝑉) ∈ P)
40	17, 6, 39	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑊 ·P 𝑉) ∈ P)
41	34, 36, 38, 2, 23, 40, 4	caov411d 6208	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑉))) = (((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑉))))
42	26, 5, 9, 14, 4, 28	caovdir2d 6199	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) = ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑈)))
43	26, 13, 17, 6, 4, 28	caovdir2d 6199	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) = ((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑉)))
44	42, 43	oveq12d 6036	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) +P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉)) = (((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑉))))
45	41, 44	eqtr4d 2267	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑉))) = (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) +P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉)))
46	32, 45	breq12d 4101	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑈)))<P (((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑉))) ↔ (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) +P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉))<P (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) +P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉))))
47	29, 20	eqeltrd 2308	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) ∈ P)
48	30, 12	eqeltrd 2308	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉) ∈ P)
49		addclpr 7757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) → (𝑍 +P 𝑌) ∈ P)
50	5, 9, 49	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑍 +P 𝑌) ∈ P)
51		mulclpr 7792	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ∈ P)
52	50, 14, 51	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ∈ P)
53		addclpr 7757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) → (𝑋 +P 𝑊) ∈ P)
54	13, 17, 53	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑋 +P 𝑊) ∈ P)
55		mulclpr 7792	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) ∈ P)
56	54, 6, 55	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) ∈ P)
57		addextpr 7841	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) ∈ P ∧ ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉) ∈ P) ∧ (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ∈ P ∧ ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) ∈ P)) → ((((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) +P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉))<P (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) +P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉)) → (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈)<P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ∨ ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)<P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉))))
58	47, 48, 52, 56, 57	syl22anc 1274	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) +P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉))<P (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) +P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉)) → (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈)<P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ∨ ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)<P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉))))
59		mulcomprg 7800	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) = (𝑈 ·P (𝑋 +P 𝑊)))
60	59	3adant2 1042	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ (𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) = (𝑈 ·P (𝑋 +P 𝑊)))
61		mulcomprg 7800	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) = (𝑈 ·P (𝑍 +P 𝑌)))
62	61	3adant1 1041	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ (𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) = (𝑈 ·P (𝑍 +P 𝑌)))
63	60, 62	breq12d 4101	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ (𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈)<P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ↔ (𝑈 ·P (𝑋 +P 𝑊))<P (𝑈 ·P (𝑍 +P 𝑌))))
64		ltmprr 7862	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ (𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → ((𝑈 ·P (𝑋 +P 𝑊))<P (𝑈 ·P (𝑍 +P 𝑌)) → (𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌)))
65	63, 64	sylbid 150	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ (𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈)<P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) → (𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌)))
66	54, 50, 14, 65	syl3anc 1273	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈)<P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) → (𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌)))
67		mulcomprg 7800	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉) = (𝑉 ·P (𝑍 +P 𝑌)))
68	50, 6, 67	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉) = (𝑉 ·P (𝑍 +P 𝑌)))
69		mulcomprg 7800	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) = (𝑉 ·P (𝑋 +P 𝑊)))
70	54, 6, 69	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) = (𝑉 ·P (𝑋 +P 𝑊)))
71	68, 70	breq12d 4101	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)<P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) ↔ (𝑉 ·P (𝑍 +P 𝑌))<P (𝑉 ·P (𝑋 +P 𝑊))))
72		ltmprr 7862	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ (𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → ((𝑉 ·P (𝑍 +P 𝑌))<P (𝑉 ·P (𝑋 +P 𝑊)) → (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊)))
73	50, 54, 6, 72	syl3anc 1273	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑉 ·P (𝑍 +P 𝑌))<P (𝑉 ·P (𝑋 +P 𝑊)) → (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊)))
74	71, 73	sylbid 150	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)<P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) → (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊)))
75	66, 74	orim12d 793	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈)<P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ∨ ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)<P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉)) → ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊))))
76	58, 75	syld 45	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) +P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉))<P (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) +P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉)) → ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊))))
77	46, 76	sylbid 150	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑈)))<P (((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑉))) → ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊))))
78		addcomprg 7798	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) → (𝑍 +P 𝑌) = (𝑌 +P 𝑍))
79	5, 9, 78	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑍 +P 𝑌) = (𝑌 +P 𝑍))
80	79	breq2d 4100	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌) ↔ (𝑋 +P 𝑊)<P (𝑌 +P 𝑍)))
81		addcomprg 7798	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) → (𝑋 +P 𝑊) = (𝑊 +P 𝑋))
82	13, 17, 81	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑋 +P 𝑊) = (𝑊 +P 𝑋))
83	82	breq2d 4100	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊) ↔ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑊 +P 𝑋)))
84	80, 83	orbi12d 800	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊)) ↔ ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑌 +P 𝑍) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑊 +P 𝑋))))
85	77, 84	sylibd 149	1 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑈)))<P (((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑉))) → ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑌 +P 𝑍) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑊 +P 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 715   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018  Pcnp 7511   +_P cpp 7513   ·_P cmp 7514  <_P cltp 7515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-1o 6582  df-2o 6583  df-oadd 6586  df-omul 6587  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-ni 7524  df-pli 7525  df-mi 7526  df-lti 7527  df-plpq 7564  df-mpq 7565  df-enq 7567  df-nqqs 7568  df-plqqs 7569  df-mqqs 7570  df-1nqqs 7571  df-rq 7572  df-ltnqqs 7573  df-enq0 7644  df-nq0 7645  df-0nq0 7646  df-plq0 7647  df-mq0 7648  df-inp 7686  df-i1p 7687  df-iplp 7688  df-imp 7689  df-iltp 7690

This theorem is referenced by:  mulextsr1  8001