ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axmulass GIF version

Theorem axmulass 7793
Description: Multiplication of complex numbers is associative. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-mulass 7835. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulass ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem axmulass
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 7761 . 2 ℂ = ((R × R) / E )
2 mulcnsrec 7763 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] E · [⟨𝑧, 𝑤⟩] E ) = [⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩] E )
3 mulcnsrec 7763 . 2 (((𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] E · [⟨𝑣, 𝑢⟩] E ) = [⟨((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))), ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))⟩] E )
4 mulcnsrec 7763 . 2 (((((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ([⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩] E · [⟨𝑣, 𝑢⟩] E ) = [⟨((((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑣) +R (-1R ·R (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢))), ((((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑣) +R (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑢))⟩] E )
5 mulcnsrec 7763 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R ∧ ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] E · [⟨((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))), ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))⟩] E ) = [⟨((𝑥 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))))), ((𝑦 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (𝑥 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))))⟩] E )
6 mulclsr 7674 . . . . 5 ((𝑥R𝑧R) → (𝑥 ·R 𝑧) ∈ R)
7 m1r 7672 . . . . . 6 -1RR
8 mulclsr 7674 . . . . . 6 ((𝑦R𝑤R) → (𝑦 ·R 𝑤) ∈ R)
9 mulclsr 7674 . . . . . 6 ((-1RR ∧ (𝑦 ·R 𝑤) ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R)
107, 8, 9sylancr 411 . . . . 5 ((𝑦R𝑤R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R)
11 addclsr 7673 . . . . 5 (((𝑥 ·R 𝑧) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
126, 10, 11syl2an 287 . . . 4 (((𝑥R𝑧R) ∧ (𝑦R𝑤R)) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
1312an4s 578 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
14 mulclsr 7674 . . . . 5 ((𝑦R𝑧R) → (𝑦 ·R 𝑧) ∈ R)
15 mulclsr 7674 . . . . 5 ((𝑥R𝑤R) → (𝑥 ·R 𝑤) ∈ R)
16 addclsr 7673 . . . . 5 (((𝑦 ·R 𝑧) ∈ R ∧ (𝑥 ·R 𝑤) ∈ R) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
1714, 15, 16syl2anr 288 . . . 4 (((𝑥R𝑤R) ∧ (𝑦R𝑧R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
1817an42s 579 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
1913, 18jca 304 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R))
20 mulclsr 7674 . . . . 5 ((𝑧R𝑣R) → (𝑧 ·R 𝑣) ∈ R)
21 mulclsr 7674 . . . . . 6 ((𝑤R𝑢R) → (𝑤 ·R 𝑢) ∈ R)
22 mulclsr 7674 . . . . . 6 ((-1RR ∧ (𝑤 ·R 𝑢) ∈ R) → (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R)
237, 21, 22sylancr 411 . . . . 5 ((𝑤R𝑢R) → (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R)
24 addclsr 7673 . . . . 5 (((𝑧 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R) → ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R)
2520, 23, 24syl2an 287 . . . 4 (((𝑧R𝑣R) ∧ (𝑤R𝑢R)) → ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R)
2625an4s 578 . . 3 (((𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R)
27 mulclsr 7674 . . . . 5 ((𝑤R𝑣R) → (𝑤 ·R 𝑣) ∈ R)
28 mulclsr 7674 . . . . 5 ((𝑧R𝑢R) → (𝑧 ·R 𝑢) ∈ R)
29 addclsr 7673 . . . . 5 (((𝑤 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑧 ·R 𝑢) ∈ R) → ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)
3027, 28, 29syl2anr 288 . . . 4 (((𝑧R𝑢R) ∧ (𝑤R𝑣R)) → ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)
3130an42s 579 . . 3 (((𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)
3226, 31jca 304 . 2 (((𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R ∧ ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R))
33 simp1l 1006 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → 𝑥R)
34 simp2l 1008 . . . . . 6 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → 𝑧R)
35 simp3l 1010 . . . . . 6 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → 𝑣R)
3634, 35, 20syl2anc 409 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑧 ·R 𝑣) ∈ R)
37 mulclsr 7674 . . . . 5 ((𝑥R ∧ (𝑧 ·R 𝑣) ∈ R) → (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) ∈ R)
3833, 36, 37syl2anc 409 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) ∈ R)
39 simp2r 1009 . . . . . . 7 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → 𝑤R)
40 simp3r 1011 . . . . . . 7 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → 𝑢R)
4139, 40, 21syl2anc 409 . . . . . 6 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑤 ·R 𝑢) ∈ R)
427, 41, 22sylancr 411 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R)
43 mulclsr 7674 . . . . 5 ((𝑥R ∧ (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R) → (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R)
4433, 42, 43syl2anc 409 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R)
45 simp1r 1007 . . . . . 6 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → 𝑦R)
4639, 35, 27syl2anc 409 . . . . . 6 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑤 ·R 𝑣) ∈ R)
47 mulclsr 7674 . . . . . 6 ((𝑦R ∧ (𝑤 ·R 𝑣) ∈ R) → (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) ∈ R)
4845, 46, 47syl2anc 409 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) ∈ R)
49 mulclsr 7674 . . . . 5 ((-1RR ∧ (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) ∈ R)
507, 48, 49sylancr 411 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) ∈ R)
51 addcomsrg 7675 . . . . 5 ((𝑓R𝑔R) → (𝑓 +R 𝑔) = (𝑔 +R 𝑓))
5251adantl 275 . . . 4 ((((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) ∧ (𝑓R𝑔R)) → (𝑓 +R 𝑔) = (𝑔 +R 𝑓))
53 addasssrg 7676 . . . . 5 ((𝑓R𝑔RR) → ((𝑓 +R 𝑔) +R ) = (𝑓 +R (𝑔 +R )))
5453adantl 275 . . . 4 ((((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) ∧ (𝑓R𝑔RR)) → ((𝑓 +R 𝑔) +R ) = (𝑓 +R (𝑔 +R )))
5534, 40, 28syl2anc 409 . . . . . 6 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑧 ·R 𝑢) ∈ R)
56 mulclsr 7674 . . . . . 6 ((𝑦R ∧ (𝑧 ·R 𝑢) ∈ R) → (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)
5745, 55, 56syl2anc 409 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)
58 mulclsr 7674 . . . . 5 ((-1RR ∧ (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) ∈ R)
597, 57, 58sylancr 411 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) ∈ R)
60 addclsr 7673 . . . . 5 ((𝑓R𝑔R) → (𝑓 +R 𝑔) ∈ R)
6160adantl 275 . . . 4 ((((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) ∧ (𝑓R𝑔R)) → (𝑓 +R 𝑔) ∈ R)
6238, 44, 50, 52, 54, 59, 61caov42d 6007 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))) = (((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)))) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))))
63 distrsrg 7679 . . . . 5 ((𝑥R ∧ (𝑧 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R) → (𝑥 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
6433, 36, 42, 63syl3anc 1220 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑥 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
65 distrsrg 7679 . . . . . . 7 ((𝑦R ∧ (𝑤 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑧 ·R 𝑢) ∈ R) → (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))) = ((𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))
6645, 46, 55, 65syl3anc 1220 . . . . . 6 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))) = ((𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))
6766oveq2d 5840 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (-1R ·R (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)))) = (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))))
687a1i 9 . . . . . 6 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → -1RR)
69 distrsrg 7679 . . . . . 6 ((-1RR ∧ (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) ∈ R ∧ (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R) → (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))))
7068, 48, 57, 69syl3anc 1220 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))))
7167, 70eqtrd 2190 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (-1R ·R (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))))
7264, 71oveq12d 5842 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((𝑥 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))))) = (((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))))
73 mulcomsrg 7677 . . . . . . 7 ((𝑓R𝑔R) → (𝑓 ·R 𝑔) = (𝑔 ·R 𝑓))
7473adantl 275 . . . . . 6 ((((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) ∧ (𝑓R𝑔R)) → (𝑓 ·R 𝑔) = (𝑔 ·R 𝑓))
75 distrsrg 7679 . . . . . . . . 9 ((R𝑓R𝑔R) → ( ·R (𝑓 +R 𝑔)) = (( ·R 𝑓) +R ( ·R 𝑔)))
76753coml 1192 . . . . . . . 8 ((𝑓R𝑔RR) → ( ·R (𝑓 +R 𝑔)) = (( ·R 𝑓) +R ( ·R 𝑔)))
77 simp3 984 . . . . . . . . 9 ((𝑓R𝑔RR) → R)
78603adant3 1002 . . . . . . . . 9 ((𝑓R𝑔RR) → (𝑓 +R 𝑔) ∈ R)
79 mulcomsrg 7677 . . . . . . . . 9 ((R ∧ (𝑓 +R 𝑔) ∈ R) → ( ·R (𝑓 +R 𝑔)) = ((𝑓 +R 𝑔) ·R ))
8077, 78, 79syl2anc 409 . . . . . . . 8 ((𝑓R𝑔RR) → ( ·R (𝑓 +R 𝑔)) = ((𝑓 +R 𝑔) ·R ))
81 simp1 982 . . . . . . . . . 10 ((𝑓R𝑔RR) → 𝑓R)
82 mulcomsrg 7677 . . . . . . . . . 10 ((R𝑓R) → ( ·R 𝑓) = (𝑓 ·R ))
8377, 81, 82syl2anc 409 . . . . . . . . 9 ((𝑓R𝑔RR) → ( ·R 𝑓) = (𝑓 ·R ))
84 simp2 983 . . . . . . . . . 10 ((𝑓R𝑔RR) → 𝑔R)
85 mulcomsrg 7677 . . . . . . . . . 10 ((R𝑔R) → ( ·R 𝑔) = (𝑔 ·R ))
8677, 84, 85syl2anc 409 . . . . . . . . 9 ((𝑓R𝑔RR) → ( ·R 𝑔) = (𝑔 ·R ))
8783, 86oveq12d 5842 . . . . . . . 8 ((𝑓R𝑔RR) → (( ·R 𝑓) +R ( ·R 𝑔)) = ((𝑓 ·R ) +R (𝑔 ·R )))
8876, 80, 873eqtr3d 2198 . . . . . . 7 ((𝑓R𝑔RR) → ((𝑓 +R 𝑔) ·R ) = ((𝑓 ·R ) +R (𝑔 ·R )))
8988adantl 275 . . . . . 6 ((((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) ∧ (𝑓R𝑔RR)) → ((𝑓 +R 𝑔) ·R ) = ((𝑓 ·R ) +R (𝑔 ·R )))
90 mulasssrg 7678 . . . . . . 7 ((𝑓R𝑔RR) → ((𝑓 ·R 𝑔) ·R ) = (𝑓 ·R (𝑔 ·R )))
9190adantl 275 . . . . . 6 ((((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) ∧ (𝑓R𝑔RR)) → ((𝑓 ·R 𝑔) ·R ) = (𝑓 ·R (𝑔 ·R )))
92 mulclsr 7674 . . . . . . 7 ((𝑓R𝑔R) → (𝑓 ·R 𝑔) ∈ R)
9392adantl 275 . . . . . 6 ((((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) ∧ (𝑓R𝑔R)) → (𝑓 ·R 𝑔) ∈ R)
9445, 39, 8syl2anc 409 . . . . . 6 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑦 ·R 𝑤) ∈ R)
9574, 89, 91, 93, 33, 68, 34, 94, 35caovdilemd 6012 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑣) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑣))))
96 mulasssrg 7678 . . . . . . . 8 ((𝑦R𝑤R𝑣R) → ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑣) = (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)))
9745, 39, 35, 96syl3anc 1220 . . . . . . 7 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑣) = (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)))
9897oveq2d 5840 . . . . . 6 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑣)) = (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))))
9998oveq2d 5840 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑣))) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)))))
10095, 99eqtrd 2190 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑣) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)))))
10174, 89, 91, 93, 45, 33, 34, 39, 40caovdilemd 6012 . . . . . 6 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢) = ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
102101oveq2d 5840 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (-1R ·R (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢)) = (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
10393, 33, 41caovcld 5974 . . . . . 6 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R)
104 distrsrg 7679 . . . . . 6 ((-1RR ∧ (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R ∧ (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R) → (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (-1R ·R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
10568, 57, 103, 104syl3anc 1220 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (-1R ·R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
10668, 33, 41, 74, 91caov12d 6002 . . . . . 6 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (-1R ·R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢))) = (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
107106oveq2d 5840 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (-1R ·R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
108102, 105, 1073eqtrd 2194 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (-1R ·R (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢)) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
109100, 108oveq12d 5842 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑣) +R (-1R ·R (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢))) = (((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)))) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))))
11062, 72, 1093eqtr4rd 2201 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑣) +R (-1R ·R (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢))) = ((𝑥 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))))))
11193, 45, 36caovcld 5974 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) ∈ R)
11293, 45, 42caovcld 5974 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R)
11393, 33, 46caovcld 5974 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) ∈ R)
11493, 33, 55caovcld 5974 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)
115111, 112, 113, 52, 54, 114, 61caov42d 6007 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R ((𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))) = (((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))))
116 distrsrg 7679 . . . . 5 ((𝑦R ∧ (𝑧 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R) → (𝑦 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
11745, 36, 42, 116syl3anc 1220 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑦 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
118 distrsrg 7679 . . . . 5 ((𝑥R ∧ (𝑤 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑧 ·R 𝑢) ∈ R) → (𝑥 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))) = ((𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))
11933, 46, 55, 118syl3anc 1220 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑥 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))) = ((𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))
120117, 119oveq12d 5842 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((𝑦 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (𝑥 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)))) = (((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R ((𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))))
12174, 89, 91, 93, 45, 33, 34, 39, 35caovdilemd 6012 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑣) = ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣))))
12274, 89, 91, 93, 33, 68, 34, 94, 40caovdilemd 6012 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑢) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢))))
123 mulasssrg 7678 . . . . . . . . 9 ((𝑦R𝑤R𝑢R) → ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢) = (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))
12445, 39, 40, 123syl3anc 1220 . . . . . . . 8 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢) = (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))
125124oveq2d 5840 . . . . . . 7 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢)) = (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
12668, 45, 41, 74, 91caov12d 6002 . . . . . . 7 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑢))) = (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
127125, 126eqtrd 2190 . . . . . 6 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢)) = (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
128127oveq2d 5840 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢))) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
129122, 128eqtrd 2190 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑢) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
130121, 129oveq12d 5842 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑣) +R (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑢)) = (((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))))
131115, 120, 1303eqtr4rd 2201 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑣) +R (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑢)) = ((𝑦 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (𝑥 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)))))
1321, 2, 3, 4, 5, 19, 32, 110, 131ecoviass 6590 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 963   = wceq 1335  wcel 2128   E cep 4247  ccnv 4585  (class class class)co 5824  Rcnr 7217  -1Rcm1r 7220   +R cplr 7221   ·R cmr 7222  cc 7730   · cmul 7737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-eprel 4249  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-1o 6363  df-2o 6364  df-oadd 6367  df-omul 6368  df-er 6480  df-ec 6482  df-qs 6486  df-ni 7224  df-pli 7225  df-mi 7226  df-lti 7227  df-plpq 7264  df-mpq 7265  df-enq 7267  df-nqqs 7268  df-plqqs 7269  df-mqqs 7270  df-1nqqs 7271  df-rq 7272  df-ltnqqs 7273  df-enq0 7344  df-nq0 7345  df-0nq0 7346  df-plq0 7347  df-mq0 7348  df-inp 7386  df-i1p 7387  df-iplp 7388  df-imp 7389  df-enr 7646  df-nr 7647  df-plr 7648  df-mr 7649  df-m1r 7653  df-c 7738  df-mul 7744
This theorem is referenced by:  rereceu  7809  recriota  7810
  Copyright terms: Public domain W3C validator