Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axmulass GIF version

Theorem axmulass 7505
 Description: Multiplication of complex numbers is associative. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-mulass 7545. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulass ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem axmulass
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 7475 . 2 ℂ = ((R × R) / E )
2 mulcnsrec 7477 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] E · [⟨𝑧, 𝑤⟩] E ) = [⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩] E )
3 mulcnsrec 7477 . 2 (((𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] E · [⟨𝑣, 𝑢⟩] E ) = [⟨((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))), ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))⟩] E )
4 mulcnsrec 7477 . 2 (((((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ([⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩] E · [⟨𝑣, 𝑢⟩] E ) = [⟨((((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑣) +R (-1R ·R (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢))), ((((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑣) +R (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑢))⟩] E )
5 mulcnsrec 7477 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R ∧ ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] E · [⟨((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))), ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))⟩] E ) = [⟨((𝑥 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))))), ((𝑦 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (𝑥 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))))⟩] E )
6 mulclsr 7397 . . . . 5 ((𝑥R𝑧R) → (𝑥 ·R 𝑧) ∈ R)
7 m1r 7395 . . . . . 6 -1RR
8 mulclsr 7397 . . . . . 6 ((𝑦R𝑤R) → (𝑦 ·R 𝑤) ∈ R)
9 mulclsr 7397 . . . . . 6 ((-1RR ∧ (𝑦 ·R 𝑤) ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R)
107, 8, 9sylancr 406 . . . . 5 ((𝑦R𝑤R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R)
11 addclsr 7396 . . . . 5 (((𝑥 ·R 𝑧) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
126, 10, 11syl2an 284 . . . 4 (((𝑥R𝑧R) ∧ (𝑦R𝑤R)) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
1312an4s 556 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
14 mulclsr 7397 . . . . 5 ((𝑦R𝑧R) → (𝑦 ·R 𝑧) ∈ R)
15 mulclsr 7397 . . . . 5 ((𝑥R𝑤R) → (𝑥 ·R 𝑤) ∈ R)
16 addclsr 7396 . . . . 5 (((𝑦 ·R 𝑧) ∈ R ∧ (𝑥 ·R 𝑤) ∈ R) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
1714, 15, 16syl2anr 285 . . . 4 (((𝑥R𝑤R) ∧ (𝑦R𝑧R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
1817an42s 557 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
1913, 18jca 301 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R))
20 mulclsr 7397 . . . . 5 ((𝑧R𝑣R) → (𝑧 ·R 𝑣) ∈ R)
21 mulclsr 7397 . . . . . 6 ((𝑤R𝑢R) → (𝑤 ·R 𝑢) ∈ R)
22 mulclsr 7397 . . . . . 6 ((-1RR ∧ (𝑤 ·R 𝑢) ∈ R) → (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R)
237, 21, 22sylancr 406 . . . . 5 ((𝑤R𝑢R) → (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R)
24 addclsr 7396 . . . . 5 (((𝑧 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R) → ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R)
2520, 23, 24syl2an 284 . . . 4 (((𝑧R𝑣R) ∧ (𝑤R𝑢R)) → ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R)
2625an4s 556 . . 3 (((𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R)
27 mulclsr 7397 . . . . 5 ((𝑤R𝑣R) → (𝑤 ·R 𝑣) ∈ R)
28 mulclsr 7397 . . . . 5 ((𝑧R𝑢R) → (𝑧 ·R 𝑢) ∈ R)
29 addclsr 7396 . . . . 5 (((𝑤 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑧 ·R 𝑢) ∈ R) → ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)
3027, 28, 29syl2anr 285 . . . 4 (((𝑧R𝑢R) ∧ (𝑤R𝑣R)) → ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)
3130an42s 557 . . 3 (((𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)
3226, 31jca 301 . 2 (((𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R ∧ ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R))
33 simp1l 970 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → 𝑥R)
34 simp2l 972 . . . . . 6 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → 𝑧R)
35 simp3l 974 . . . . . 6 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → 𝑣R)
3634, 35, 20syl2anc 404 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑧 ·R 𝑣) ∈ R)
37 mulclsr 7397 . . . . 5 ((𝑥R ∧ (𝑧 ·R 𝑣) ∈ R) → (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) ∈ R)
3833, 36, 37syl2anc 404 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) ∈ R)
39 simp2r 973 . . . . . . 7 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → 𝑤R)
40 simp3r 975 . . . . . . 7 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → 𝑢R)
4139, 40, 21syl2anc 404 . . . . . 6 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑤 ·R 𝑢) ∈ R)
427, 41, 22sylancr 406 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R)
43 mulclsr 7397 . . . . 5 ((𝑥R ∧ (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R) → (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R)
4433, 42, 43syl2anc 404 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R)
45 simp1r 971 . . . . . 6 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → 𝑦R)
4639, 35, 27syl2anc 404 . . . . . 6 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑤 ·R 𝑣) ∈ R)
47 mulclsr 7397 . . . . . 6 ((𝑦R ∧ (𝑤 ·R 𝑣) ∈ R) → (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) ∈ R)
4845, 46, 47syl2anc 404 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) ∈ R)
49 mulclsr 7397 . . . . 5 ((-1RR ∧ (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) ∈ R)
507, 48, 49sylancr 406 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) ∈ R)
51 addcomsrg 7398 . . . . 5 ((𝑓R𝑔R) → (𝑓 +R 𝑔) = (𝑔 +R 𝑓))
5251adantl 272 . . . 4 ((((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) ∧ (𝑓R𝑔R)) → (𝑓 +R 𝑔) = (𝑔 +R 𝑓))
53 addasssrg 7399 . . . . 5 ((𝑓R𝑔RR) → ((𝑓 +R 𝑔) +R ) = (𝑓 +R (𝑔 +R )))
5453adantl 272 . . . 4 ((((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) ∧ (𝑓R𝑔RR)) → ((𝑓 +R 𝑔) +R ) = (𝑓 +R (𝑔 +R )))
5534, 40, 28syl2anc 404 . . . . . 6 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑧 ·R 𝑢) ∈ R)
56 mulclsr 7397 . . . . . 6 ((𝑦R ∧ (𝑧 ·R 𝑢) ∈ R) → (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)
5745, 55, 56syl2anc 404 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)
58 mulclsr 7397 . . . . 5 ((-1RR ∧ (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) ∈ R)
597, 57, 58sylancr 406 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) ∈ R)
60 addclsr 7396 . . . . 5 ((𝑓R𝑔R) → (𝑓 +R 𝑔) ∈ R)
6160adantl 272 . . . 4 ((((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) ∧ (𝑓R𝑔R)) → (𝑓 +R 𝑔) ∈ R)
6238, 44, 50, 52, 54, 59, 61caov42d 5869 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))) = (((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)))) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))))
63 distrsrg 7402 . . . . 5 ((𝑥R ∧ (𝑧 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R) → (𝑥 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
6433, 36, 42, 63syl3anc 1181 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑥 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
65 distrsrg 7402 . . . . . . 7 ((𝑦R ∧ (𝑤 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑧 ·R 𝑢) ∈ R) → (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))) = ((𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))
6645, 46, 55, 65syl3anc 1181 . . . . . 6 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))) = ((𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))
6766oveq2d 5706 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (-1R ·R (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)))) = (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))))
687a1i 9 . . . . . 6 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → -1RR)
69 distrsrg 7402 . . . . . 6 ((-1RR ∧ (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) ∈ R ∧ (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R) → (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))))
7068, 48, 57, 69syl3anc 1181 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))))
7167, 70eqtrd 2127 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (-1R ·R (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))))
7264, 71oveq12d 5708 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((𝑥 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))))) = (((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))))
73 mulcomsrg 7400 . . . . . . 7 ((𝑓R𝑔R) → (𝑓 ·R 𝑔) = (𝑔 ·R 𝑓))
7473adantl 272 . . . . . 6 ((((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) ∧ (𝑓R𝑔R)) → (𝑓 ·R 𝑔) = (𝑔 ·R 𝑓))
75 distrsrg 7402 . . . . . . . . 9 ((R𝑓R𝑔R) → ( ·R (𝑓 +R 𝑔)) = (( ·R 𝑓) +R ( ·R 𝑔)))
76753coml 1153 . . . . . . . 8 ((𝑓R𝑔RR) → ( ·R (𝑓 +R 𝑔)) = (( ·R 𝑓) +R ( ·R 𝑔)))
77 simp3 948 . . . . . . . . 9 ((𝑓R𝑔RR) → R)
78603adant3 966 . . . . . . . . 9 ((𝑓R𝑔RR) → (𝑓 +R 𝑔) ∈ R)
79 mulcomsrg 7400 . . . . . . . . 9 ((R ∧ (𝑓 +R 𝑔) ∈ R) → ( ·R (𝑓 +R 𝑔)) = ((𝑓 +R 𝑔) ·R ))
8077, 78, 79syl2anc 404 . . . . . . . 8 ((𝑓R𝑔RR) → ( ·R (𝑓 +R 𝑔)) = ((𝑓 +R 𝑔) ·R ))
81 simp1 946 . . . . . . . . . 10 ((𝑓R𝑔RR) → 𝑓R)
82 mulcomsrg 7400 . . . . . . . . . 10 ((R𝑓R) → ( ·R 𝑓) = (𝑓 ·R ))
8377, 81, 82syl2anc 404 . . . . . . . . 9 ((𝑓R𝑔RR) → ( ·R 𝑓) = (𝑓 ·R ))
84 simp2 947 . . . . . . . . . 10 ((𝑓R𝑔RR) → 𝑔R)
85 mulcomsrg 7400 . . . . . . . . . 10 ((R𝑔R) → ( ·R 𝑔) = (𝑔 ·R ))
8677, 84, 85syl2anc 404 . . . . . . . . 9 ((𝑓R𝑔RR) → ( ·R 𝑔) = (𝑔 ·R ))
8783, 86oveq12d 5708 . . . . . . . 8 ((𝑓R𝑔RR) → (( ·R 𝑓) +R ( ·R 𝑔)) = ((𝑓 ·R ) +R (𝑔 ·R )))
8876, 80, 873eqtr3d 2135 . . . . . . 7 ((𝑓R𝑔RR) → ((𝑓 +R 𝑔) ·R ) = ((𝑓 ·R ) +R (𝑔 ·R )))
8988adantl 272 . . . . . 6 ((((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) ∧ (𝑓R𝑔RR)) → ((𝑓 +R 𝑔) ·R ) = ((𝑓 ·R ) +R (𝑔 ·R )))
90 mulasssrg 7401 . . . . . . 7 ((𝑓R𝑔RR) → ((𝑓 ·R 𝑔) ·R ) = (𝑓 ·R (𝑔 ·R )))
9190adantl 272 . . . . . 6 ((((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) ∧ (𝑓R𝑔RR)) → ((𝑓 ·R 𝑔) ·R ) = (𝑓 ·R (𝑔 ·R )))
92 mulclsr 7397 . . . . . . 7 ((𝑓R𝑔R) → (𝑓 ·R 𝑔) ∈ R)
9392adantl 272 . . . . . 6 ((((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) ∧ (𝑓R𝑔R)) → (𝑓 ·R 𝑔) ∈ R)
9445, 39, 8syl2anc 404 . . . . . 6 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑦 ·R 𝑤) ∈ R)
9574, 89, 91, 93, 33, 68, 34, 94, 35caovdilemd 5874 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑣) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑣))))
96 mulasssrg 7401 . . . . . . . 8 ((𝑦R𝑤R𝑣R) → ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑣) = (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)))
9745, 39, 35, 96syl3anc 1181 . . . . . . 7 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑣) = (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)))
9897oveq2d 5706 . . . . . 6 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑣)) = (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))))
9998oveq2d 5706 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑣))) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)))))
10095, 99eqtrd 2127 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑣) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)))))
10174, 89, 91, 93, 45, 33, 34, 39, 40caovdilemd 5874 . . . . . 6 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢) = ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
102101oveq2d 5706 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (-1R ·R (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢)) = (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
10393, 33, 41caovcld 5836 . . . . . 6 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R)
104 distrsrg 7402 . . . . . 6 ((-1RR ∧ (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R ∧ (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R) → (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (-1R ·R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
10568, 57, 103, 104syl3anc 1181 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (-1R ·R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
10668, 33, 41, 74, 91caov12d 5864 . . . . . 6 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (-1R ·R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢))) = (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
107106oveq2d 5706 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (-1R ·R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
108102, 105, 1073eqtrd 2131 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (-1R ·R (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢)) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
109100, 108oveq12d 5708 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑣) +R (-1R ·R (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢))) = (((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)))) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))))
11062, 72, 1093eqtr4rd 2138 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑣) +R (-1R ·R (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢))) = ((𝑥 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))))))
11193, 45, 36caovcld 5836 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) ∈ R)
11293, 45, 42caovcld 5836 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R)
11393, 33, 46caovcld 5836 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) ∈ R)
11493, 33, 55caovcld 5836 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)
115111, 112, 113, 52, 54, 114, 61caov42d 5869 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R ((𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))) = (((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))))
116 distrsrg 7402 . . . . 5 ((𝑦R ∧ (𝑧 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R) → (𝑦 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
11745, 36, 42, 116syl3anc 1181 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑦 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
118 distrsrg 7402 . . . . 5 ((𝑥R ∧ (𝑤 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑧 ·R 𝑢) ∈ R) → (𝑥 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))) = ((𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))
11933, 46, 55, 118syl3anc 1181 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (𝑥 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))) = ((𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))
120117, 119oveq12d 5708 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((𝑦 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (𝑥 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)))) = (((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R ((𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))))
12174, 89, 91, 93, 45, 33, 34, 39, 35caovdilemd 5874 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑣) = ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣))))
12274, 89, 91, 93, 33, 68, 34, 94, 40caovdilemd 5874 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑢) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢))))
123 mulasssrg 7401 . . . . . . . . 9 ((𝑦R𝑤R𝑢R) → ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢) = (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))
12445, 39, 40, 123syl3anc 1181 . . . . . . . 8 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢) = (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))
125124oveq2d 5706 . . . . . . 7 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢)) = (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
12668, 45, 41, 74, 91caov12d 5864 . . . . . . 7 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑢))) = (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
127125, 126eqtrd 2127 . . . . . 6 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢)) = (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
128127oveq2d 5706 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢))) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
129122, 128eqtrd 2127 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑢) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
130121, 129oveq12d 5708 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑣) +R (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑢)) = (((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))))
131115, 120, 1303eqtr4rd 2138 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑣) +R (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑢)) = ((𝑦 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (𝑥 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)))))
1321, 2, 3, 4, 5, 19, 32, 110, 131ecoviass 6442 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 927   = wceq 1296   ∈ wcel 1445   E cep 4138  ◡ccnv 4466  (class class class)co 5690  Rcnr 6953  -1Rcm1r 6956   +R cplr 6957   ·R cmr 6958  ℂcc 7445   · cmul 7452 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-eprel 4140  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-1o 6219  df-2o 6220  df-oadd 6223  df-omul 6224  df-er 6332  df-ec 6334  df-qs 6338  df-ni 6960  df-pli 6961  df-mi 6962  df-lti 6963  df-plpq 7000  df-mpq 7001  df-enq 7003  df-nqqs 7004  df-plqqs 7005  df-mqqs 7006  df-1nqqs 7007  df-rq 7008  df-ltnqqs 7009  df-enq0 7080  df-nq0 7081  df-0nq0 7082  df-plq0 7083  df-mq0 7084  df-inp 7122  df-i1p 7123  df-iplp 7124  df-imp 7125  df-enr 7369  df-nr 7370  df-plr 7371  df-mr 7372  df-m1r 7376  df-c 7453  df-mul 7459 This theorem is referenced by:  rereceu  7521  recriota  7522
 Copyright terms: Public domain W3C validator