Theorem axmulass 7993

Description: Multiplication of complex numbers is associative. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-mulass 8035. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axmulass	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem axmulass

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 7961	. 2 ⊢ ℂ = ((R × R) / ◡ E )
2		mulcnsrec 7963	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩]◡ E · [⟨𝑧, 𝑤⟩]◡ E ) = [⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩]◡ E )
3		mulcnsrec 7963	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩]◡ E · [⟨𝑣, 𝑢⟩]◡ E ) = [⟨((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))), ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))⟩]◡ E )
4		mulcnsrec 7963	. 2 ⊢ (((((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ([⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩]◡ E · [⟨𝑣, 𝑢⟩]◡ E ) = [⟨((((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑣) +R (-1R ·R (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢))), ((((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑣) +R (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑢))⟩]◡ E )
5		mulcnsrec 7963	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R ∧ ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩]◡ E · [⟨((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))), ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))⟩]◡ E ) = [⟨((𝑥 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))))), ((𝑦 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (𝑥 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))))⟩]◡ E )
6		mulclsr 7874	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑧 ∈ R) → (𝑥 ·R 𝑧) ∈ R)
7		m1r 7872	. . . . . 6 ⊢ -1R ∈ R
8		mulclsr 7874	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) → (𝑦 ·R 𝑤) ∈ R)
9		mulclsr 7874	. . . . . 6 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ (𝑦 ·R 𝑤) ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R)
10	7, 8, 9	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R)
11		addclsr 7873	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ·R 𝑧) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
12	6, 10, 11	syl2an 289	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ (𝑦 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
13	12	an4s 588	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
14		mulclsr 7874	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ 𝑧 ∈ R) → (𝑦 ·R 𝑧) ∈ R)
15		mulclsr 7874	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) → (𝑥 ·R 𝑤) ∈ R)
16		addclsr 7873	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ·R 𝑧) ∈ R ∧ (𝑥 ·R 𝑤) ∈ R) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
17	14, 15, 16	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑦 ∈ R ∧ 𝑧 ∈ R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
18	17	an42s 589	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
19	13, 18	jca 306	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R))
20		mulclsr 7874	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ R ∧ 𝑣 ∈ R) → (𝑧 ·R 𝑣) ∈ R)
21		mulclsr 7874	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R) → (𝑤 ·R 𝑢) ∈ R)
22		mulclsr 7874	. . . . . 6 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ (𝑤 ·R 𝑢) ∈ R) → (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R)
23	7, 21, 22	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R) → (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R)
24		addclsr 7873	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R) → ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R)
25	20, 23, 24	syl2an 289	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ R ∧ 𝑣 ∈ R) ∧ (𝑤 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R)
26	25	an4s 588	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R)
27		mulclsr 7874	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ R ∧ 𝑣 ∈ R) → (𝑤 ·R 𝑣) ∈ R)
28		mulclsr 7874	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R) → (𝑧 ·R 𝑢) ∈ R)
29		addclsr 7873	. . . . 5 ⊢ (((𝑤 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑧 ·R 𝑢) ∈ R) → ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)
30	27, 28, 29	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R) ∧ (𝑤 ∈ R ∧ 𝑣 ∈ R)) → ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)
31	30	an42s 589	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)
32	26, 31	jca 306	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R ∧ ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R))
33		simp1l 1024	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → 𝑥 ∈ R)
34		simp2l 1026	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → 𝑧 ∈ R)
35		simp3l 1028	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → 𝑣 ∈ R)
36	34, 35, 20	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (𝑧 ·R 𝑣) ∈ R)
37		mulclsr 7874	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ (𝑧 ·R 𝑣) ∈ R) → (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) ∈ R)
38	33, 36, 37	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) ∈ R)
39		simp2r 1027	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → 𝑤 ∈ R)
40		simp3r 1029	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → 𝑢 ∈ R)
41	39, 40, 21	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (𝑤 ·R 𝑢) ∈ R)
42	7, 41, 22	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R)
43		mulclsr 7874	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R) → (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R)
44	33, 42, 43	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R)
45		simp1r 1025	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → 𝑦 ∈ R)
46	39, 35, 27	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (𝑤 ·R 𝑣) ∈ R)
47		mulclsr 7874	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ (𝑤 ·R 𝑣) ∈ R) → (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) ∈ R)
48	45, 46, 47	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) ∈ R)
49		mulclsr 7874	. . . . 5 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) ∈ R)
50	7, 48, 49	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) ∈ R)
51		addcomsrg 7875	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R) → (𝑓 +R 𝑔) = (𝑔 +R 𝑓))
52	51	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) ∧ (𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R)) → (𝑓 +R 𝑔) = (𝑔 +R 𝑓))
53		addasssrg 7876	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → ((𝑓 +R 𝑔) +R ℎ) = (𝑓 +R (𝑔 +R ℎ)))
54	53	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) ∧ (𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R)) → ((𝑓 +R 𝑔) +R ℎ) = (𝑓 +R (𝑔 +R ℎ)))
55	34, 40, 28	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (𝑧 ·R 𝑢) ∈ R)
56		mulclsr 7874	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ (𝑧 ·R 𝑢) ∈ R) → (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)
57	45, 55, 56	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)
58		mulclsr 7874	. . . . 5 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) ∈ R)
59	7, 57, 58	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) ∈ R)
60		addclsr 7873	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R) → (𝑓 +R 𝑔) ∈ R)
61	60	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) ∧ (𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R)) → (𝑓 +R 𝑔) ∈ R)
62	38, 44, 50, 52, 54, 59, 61	caov42d 6140	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))) = (((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)))) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))))
63		distrsrg 7879	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ (𝑧 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R) → (𝑥 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
64	33, 36, 42, 63	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (𝑥 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
65		distrsrg 7879	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ (𝑤 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑧 ·R 𝑢) ∈ R) → (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))) = ((𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))
66	45, 46, 55, 65	syl3anc 1250	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))) = ((𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))
67	66	oveq2d 5967	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (-1R ·R (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)))) = (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))))
68	7	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → -1R ∈ R)
69		distrsrg 7879	. . . . . 6 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) ∈ R ∧ (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R) → (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))))
70	68, 48, 57, 69	syl3anc 1250	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))))
71	67, 70	eqtrd 2239	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (-1R ·R (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))))
72	64, 71	oveq12d 5969	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((𝑥 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))))) = (((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))))
73		mulcomsrg 7877	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R) → (𝑓 ·R 𝑔) = (𝑔 ·R 𝑓))
74	73	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) ∧ (𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R)) → (𝑓 ·R 𝑔) = (𝑔 ·R 𝑓))
75		distrsrg 7879	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℎ ∈ R ∧ 𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R) → (ℎ ·R (𝑓 +R 𝑔)) = ((ℎ ·R 𝑓) +R (ℎ ·R 𝑔)))
76	75	3coml 1213	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → (ℎ ·R (𝑓 +R 𝑔)) = ((ℎ ·R 𝑓) +R (ℎ ·R 𝑔)))
77		simp3 1002	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → ℎ ∈ R)
78	60	3adant3 1020	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → (𝑓 +R 𝑔) ∈ R)
79		mulcomsrg 7877	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℎ ∈ R ∧ (𝑓 +R 𝑔) ∈ R) → (ℎ ·R (𝑓 +R 𝑔)) = ((𝑓 +R 𝑔) ·R ℎ))
80	77, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → (ℎ ·R (𝑓 +R 𝑔)) = ((𝑓 +R 𝑔) ·R ℎ))
81		simp1 1000	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → 𝑓 ∈ R)
82		mulcomsrg 7877	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℎ ∈ R ∧ 𝑓 ∈ R) → (ℎ ·R 𝑓) = (𝑓 ·R ℎ))
83	77, 81, 82	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → (ℎ ·R 𝑓) = (𝑓 ·R ℎ))
84		simp2 1001	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → 𝑔 ∈ R)
85		mulcomsrg 7877	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℎ ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R) → (ℎ ·R 𝑔) = (𝑔 ·R ℎ))
86	77, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → (ℎ ·R 𝑔) = (𝑔 ·R ℎ))
87	83, 86	oveq12d 5969	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → ((ℎ ·R 𝑓) +R (ℎ ·R 𝑔)) = ((𝑓 ·R ℎ) +R (𝑔 ·R ℎ)))
88	76, 80, 87	3eqtr3d 2247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → ((𝑓 +R 𝑔) ·R ℎ) = ((𝑓 ·R ℎ) +R (𝑔 ·R ℎ)))
89	88	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) ∧ (𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R)) → ((𝑓 +R 𝑔) ·R ℎ) = ((𝑓 ·R ℎ) +R (𝑔 ·R ℎ)))
90		mulasssrg 7878	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → ((𝑓 ·R 𝑔) ·R ℎ) = (𝑓 ·R (𝑔 ·R ℎ)))
91	90	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) ∧ (𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R)) → ((𝑓 ·R 𝑔) ·R ℎ) = (𝑓 ·R (𝑔 ·R ℎ)))
92		mulclsr 7874	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R) → (𝑓 ·R 𝑔) ∈ R)
93	92	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) ∧ (𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R)) → (𝑓 ·R 𝑔) ∈ R)
94	45, 39, 8	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (𝑦 ·R 𝑤) ∈ R)
95	74, 89, 91, 93, 33, 68, 34, 94, 35	caovdilemd 6145	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑣) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑣))))
96		mulasssrg 7878	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R ∧ 𝑣 ∈ R) → ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑣) = (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)))
97	45, 39, 35, 96	syl3anc 1250	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑣) = (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)))
98	97	oveq2d 5967	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑣)) = (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))))
99	98	oveq2d 5967	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑣))) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)))))
100	95, 99	eqtrd 2239	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑣) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)))))
101	74, 89, 91, 93, 45, 33, 34, 39, 40	caovdilemd 6145	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢) = ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
102	101	oveq2d 5967	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (-1R ·R (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢)) = (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
103	93, 33, 41	caovcld 6107	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R)
104		distrsrg 7879	. . . . . 6 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R ∧ (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R) → (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (-1R ·R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
105	68, 57, 103, 104	syl3anc 1250	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (-1R ·R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
106	68, 33, 41, 74, 91	caov12d 6135	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (-1R ·R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢))) = (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
107	106	oveq2d 5967	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (-1R ·R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
108	102, 105, 107	3eqtrd 2243	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (-1R ·R (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢)) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
109	100, 108	oveq12d 5969	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑣) +R (-1R ·R (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢))) = (((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)))) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))))
110	62, 72, 109	3eqtr4rd 2250	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑣) +R (-1R ·R (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢))) = ((𝑥 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))))))
111	93, 45, 36	caovcld 6107	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) ∈ R)
112	93, 45, 42	caovcld 6107	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R)
113	93, 33, 46	caovcld 6107	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) ∈ R)
114	93, 33, 55	caovcld 6107	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)
115	111, 112, 113, 52, 54, 114, 61	caov42d 6140	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R ((𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))) = (((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))))
116		distrsrg 7879	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ (𝑧 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R) → (𝑦 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
117	45, 36, 42, 116	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (𝑦 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
118		distrsrg 7879	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ (𝑤 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑧 ·R 𝑢) ∈ R) → (𝑥 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))) = ((𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))
119	33, 46, 55, 118	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (𝑥 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))) = ((𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))
120	117, 119	oveq12d 5969	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((𝑦 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (𝑥 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)))) = (((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R ((𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))))
121	74, 89, 91, 93, 45, 33, 34, 39, 35	caovdilemd 6145	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑣) = ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣))))
122	74, 89, 91, 93, 33, 68, 34, 94, 40	caovdilemd 6145	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑢) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢))))
123		mulasssrg 7878	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R) → ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢) = (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))
124	45, 39, 40, 123	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢) = (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))
125	124	oveq2d 5967	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢)) = (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
126	68, 45, 41, 74, 91	caov12d 6135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑢))) = (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
127	125, 126	eqtrd 2239	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢)) = (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
128	127	oveq2d 5967	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢))) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
129	122, 128	eqtrd 2239	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑢) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
130	121, 129	oveq12d 5969	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑣) +R (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑢)) = (((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))))
131	115, 120, 130	3eqtr4rd 2250	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑣) +R (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑢)) = ((𝑦 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (𝑥 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)))))
132	1, 2, 3, 4, 5, 19, 32, 110, 131	ecoviass 6739	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   E cep 4338  ^◡ccnv 4678  (class class class)co 5951  Rcnr 7417  -1_Rcm1r 7420   +_R cplr 7421   ·_R cmr 7422  ℂcc 7930   · cmul 7937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-eprel 4340  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-irdg 6463  df-1o 6509  df-2o 6510  df-oadd 6513  df-omul 6514  df-er 6627  df-ec 6629  df-qs 6633  df-ni 7424  df-pli 7425  df-mi 7426  df-lti 7427  df-plpq 7464  df-mpq 7465  df-enq 7467  df-nqqs 7468  df-plqqs 7469  df-mqqs 7470  df-1nqqs 7471  df-rq 7472  df-ltnqqs 7473  df-enq0 7544  df-nq0 7545  df-0nq0 7546  df-plq0 7547  df-mq0 7548  df-inp 7586  df-i1p 7587  df-iplp 7588  df-imp 7589  df-enr 7846  df-nr 7847  df-plr 7848  df-mr 7849  df-m1r 7853  df-c 7938  df-mul 7944

This theorem is referenced by:  rereceu  8009  recriota  8010