Theorem seqp1cd 10562

Description: Value of the sequence builder function at a successor. A version of seq3p1 10557 which provides two classes 𝐷 and 𝐶 for the terms and the value being accumulated, respectively. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqp1cd.m	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seqp1cd.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝐶)
seqp1cd.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
seqp1cd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
seqp1cd	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))

Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem seqp1cd

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑧 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqp1cd.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzel2 9606	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		seqp1cd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝐶)
5		ssv 3205	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ⊆ V
6	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ V)
7		seqp1cd.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)
8		seqp1cd.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
9	7, 8	seqovcd 10559	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) ∈ 𝐶)
10		iseqvalcbv 10551	. . . 4 ⊢ frec((𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑏 ∈ V ↦ ⟨(𝑎 + 1), (𝑎(𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑑 ∈ 𝐶 ↦ (𝑑 + (𝐹‘(𝑐 + 1))))𝑏)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
11	3, 10, 4, 8, 7	seqvalcd 10553	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = ran frec((𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑏 ∈ V ↦ ⟨(𝑎 + 1), (𝑎(𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑑 ∈ 𝐶 ↦ (𝑑 + (𝐹‘(𝑐 + 1))))𝑏)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩))
12	3, 4, 6, 9, 10, 11	frecuzrdgsuct 10516	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
13	1, 12	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
14		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
15	4, 8, 14, 3, 7	seqf2 10560	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝐶)
16	15, 1	ffvelcdmd 5698	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝐶)
17		fveq2 5558	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑁 + 1) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
18	17	eleq1d 2265	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑁 + 1) → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝐷))
19	7	ralrimiva 2570	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))(𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)
20		eluzp1p1 9627	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
21	1, 20	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
22	18, 19, 21	rspcdva 2873	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝐷)
23	8, 16, 22	caovcld 6077	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) ∈ 𝐶)
24		fvoveq1 5945	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (𝐹‘(𝑧 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
25	24	oveq2d 5938	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))) = (𝑤 + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
26		oveq1 5929	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) → (𝑤 + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
27		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))
28	25, 26, 27	ovmpog 6057	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝐶 ∧ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) ∈ 𝐶) → (𝑁(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
29	1, 16, 23, 28	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
30	13, 29	eqtrd 2229	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ⊆ wss 3157  ⟨cop 3625  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922   ∈ cmpo 5924  freccfrec 6448  1c1 7880   + caddc 7882  ℤcz 9326  ℤ_≥cuz 9601  seqcseq 10539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-seqfrec 10540

This theorem is referenced by:  ennnfonelemp1  12623