Theorem iseqovex 10820

Description: Closure of a function used in proving sequence builder theorems. This can be thought of as a lemma for the small number of sequence builder theorems which need it. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqovex.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
iseqovex.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
iseqovex	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤, + ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑆,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑀,𝑥,𝑧

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem iseqovex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1)))))
2		simprr 533	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦)) → 𝑤 = 𝑦)
3		simprl 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦)) → 𝑧 = 𝑥)
4	3	oveq1d 6065	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦)) → (𝑧 + 1) = (𝑥 + 1))
5	4	fveq2d 5674	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦)) → (𝐹‘(𝑧 + 1)) = (𝐹‘(𝑥 + 1)))
6	2, 5	oveq12d 6068	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦)) → (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
7		simprl 531	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		simprr 533	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
9		iseqovex.pl	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
10	9	caovclg 6207	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆)) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆)
11	10	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆)) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆)
12		fveq2 5670	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑥 + 1) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘(𝑥 + 1)))
13	12	eleq1d 2301	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑥 + 1) → ((𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ 𝑆))
14		iseqovex.f	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
15	14	ralrimiva 2615	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
16		fveq2 5670	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
17	16	eleq1d 2301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆))
18	17	cbvralv 2778	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆)
19	15, 18	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆)
20	19	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆)
21		peano2uz 9915	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22	7, 21	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
23	13, 20, 22	rspcdva 2926	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ 𝑆)
24	11, 8, 23	caovcld 6208	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∈ 𝑆)
25	1, 6, 7, 8, 24	ovmpod 6181	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
26	25, 24	eqeltrd 2309	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050   ∈ cmpo 6052  1c1 8128   + caddc 8130  ℤ_≥cuz 9853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854

This theorem is referenced by:  seq3val  10822  seq3-1  10824  seq3p1  10827