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Theorem frecuzrdgsuctlem 10409
Description: Successor value of a recursive definition generator on upper integers. See comment in frec2uz0d 10385 for the description of 𝐺 as the mapping from ω to (ℤ𝐶). (Contributed by Jim Kingdon, 29-Apr-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frecuzrdgrclt.c (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frecuzrdgrclt.a (𝜑𝐴𝑆)
frecuzrdgrclt.t (𝜑𝑆𝑇)
frecuzrdgrclt.f ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
frecuzrdgrclt.r 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
frecuzrdgsuctlem.g 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frecuzrdgsuctlem.ran (𝜑𝑃 = ran 𝑅)
Assertion
Ref Expression
frecuzrdgsuctlem ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑃‘(𝐵 + 1)) = (𝐵𝐹(𝑃𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝑃(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem frecuzrdgsuctlem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frecuzrdgrclt.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2 frecuzrdgrclt.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑆)
3 frecuzrdgrclt.t . . . . . 6 (𝜑𝑆𝑇)
4 frecuzrdgrclt.f . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
5 frecuzrdgrclt.r . . . . . 6 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
6 frecuzrdgsuctlem.ran . . . . . 6 (𝜑𝑃 = ran 𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6frecuzrdgtclt 10407 . . . . 5 (𝜑𝑃:(ℤ𝐶)⟶𝑆)
87adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝑃:(ℤ𝐶)⟶𝑆)
9 ffun 5364 . . . 4 (𝑃:(ℤ𝐶)⟶𝑆 → Fun 𝑃)
108, 9syl 14 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → Fun 𝑃)
11 1st2nd2 6170 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆) → 𝑧 = ⟨(1st𝑧), (2nd𝑧)⟩)
1211adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → 𝑧 = ⟨(1st𝑧), (2nd𝑧)⟩)
1312fveq2d 5515 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → ((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘⟨(1st𝑧), (2nd𝑧)⟩))
14 df-ov 5872 . . . . . . . . . . . . 13 ((1st𝑧)(𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)(2nd𝑧)) = ((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘⟨(1st𝑧), (2nd𝑧)⟩)
1513, 14eqtr4di 2228 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → ((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘𝑧) = ((1st𝑧)(𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)(2nd𝑧)))
16 xp1st 6160 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆) → (1st𝑧) ∈ (ℤ𝐶))
1716adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → (1st𝑧) ∈ (ℤ𝐶))
183ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → 𝑆𝑇)
19 xp2nd 6161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆) → (2nd𝑧) ∈ 𝑆)
2019adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → (2nd𝑧) ∈ 𝑆)
2118, 20sseldd 3156 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → (2nd𝑧) ∈ 𝑇)
22 peano2uz 9572 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1st𝑧) ∈ (ℤ𝐶) → ((1st𝑧) + 1) ∈ (ℤ𝐶))
2317, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → ((1st𝑧) + 1) ∈ (ℤ𝐶))
24 oveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (2nd𝑧) → ((1st𝑧)𝐹𝑦) = ((1st𝑧)𝐹(2nd𝑧)))
2524eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (2nd𝑧) → (((1st𝑧)𝐹𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((1st𝑧)𝐹(2nd𝑧)) ∈ 𝑆))
26 oveq1 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (1st𝑧) → (𝑥𝐹𝑦) = ((1st𝑧)𝐹𝑦))
2726eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (1st𝑧) → ((𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((1st𝑧)𝐹𝑦) ∈ 𝑆))
2827ralbidv 2477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (1st𝑧) → (∀𝑦𝑆 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦𝑆 ((1st𝑧)𝐹𝑦) ∈ 𝑆))
294ralrimivva 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝐶)∀𝑦𝑆 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
3029ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝐶)∀𝑦𝑆 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
3128, 30, 17rspcdva 2846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → ∀𝑦𝑆 ((1st𝑧)𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
3225, 31, 20rspcdva 2846 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → ((1st𝑧)𝐹(2nd𝑧)) ∈ 𝑆)
33 opelxpi 4655 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((1st𝑧) + 1) ∈ (ℤ𝐶) ∧ ((1st𝑧)𝐹(2nd𝑧)) ∈ 𝑆) → ⟨((1st𝑧) + 1), ((1st𝑧)𝐹(2nd𝑧))⟩ ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
3423, 32, 33syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → ⟨((1st𝑧) + 1), ((1st𝑧)𝐹(2nd𝑧))⟩ ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
35 oveq1 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (1st𝑧) → (𝑥 + 1) = ((1st𝑧) + 1))
3635, 26opeq12d 3784 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (1st𝑧) → ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩ = ⟨((1st𝑧) + 1), ((1st𝑧)𝐹𝑦)⟩)
3724opeq2d 3783 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (2nd𝑧) → ⟨((1st𝑧) + 1), ((1st𝑧)𝐹𝑦)⟩ = ⟨((1st𝑧) + 1), ((1st𝑧)𝐹(2nd𝑧))⟩)
38 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩) = (𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)
3936, 37, 38ovmpog 6003 . . . . . . . . . . . . 13 (((1st𝑧) ∈ (ℤ𝐶) ∧ (2nd𝑧) ∈ 𝑇 ∧ ⟨((1st𝑧) + 1), ((1st𝑧)𝐹(2nd𝑧))⟩ ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → ((1st𝑧)(𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)(2nd𝑧)) = ⟨((1st𝑧) + 1), ((1st𝑧)𝐹(2nd𝑧))⟩)
4017, 21, 34, 39syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → ((1st𝑧)(𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)(2nd𝑧)) = ⟨((1st𝑧) + 1), ((1st𝑧)𝐹(2nd𝑧))⟩)
4115, 40eqtrd 2210 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → ((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘𝑧) = ⟨((1st𝑧) + 1), ((1st𝑧)𝐹(2nd𝑧))⟩)
4241, 34eqeltrd 2254 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → ((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘𝑧) ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
4342ralrimiva 2550 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → ∀𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘𝑧) ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
44 uzid 9531 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ (ℤ𝐶))
451, 44syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ (ℤ𝐶))
46 opelxpi 4655 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝐴𝑆) → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
4745, 2, 46syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
4847adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
49 frecuzrdgsuctlem.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
501, 49frec2uzf1od 10392 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶))
51 f1ocnvdm 5776 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺𝐵) ∈ ω)
5250, 51sylan 283 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺𝐵) ∈ ω)
53 frecsuc 6402 . . . . . . . . 9 ((∀𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘𝑧) ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆) ∧ ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆) ∧ (𝐺𝐵) ∈ ω) → (frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘suc (𝐺𝐵)) = ((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘(frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘(𝐺𝐵))))
5443, 48, 52, 53syl3anc 1238 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘suc (𝐺𝐵)) = ((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘(frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘(𝐺𝐵))))
555fveq1i 5512 . . . . . . . 8 (𝑅‘suc (𝐺𝐵)) = (frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘suc (𝐺𝐵))
565fveq1i 5512 . . . . . . . . 9 (𝑅‘(𝐺𝐵)) = (frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘(𝐺𝐵))
5756fveq2i 5514 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘(𝑅‘(𝐺𝐵))) = ((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘(frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘(𝐺𝐵)))
5854, 55, 573eqtr4g 2235 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘suc (𝐺𝐵)) = ((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘(𝑅‘(𝐺𝐵))))
591, 2, 3, 4, 5frecuzrdgrclt 10401 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆))
6059adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆))
6160, 52ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘(𝐺𝐵)) ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
62 1st2nd2 6170 . . . . . . . . . 10 ((𝑅‘(𝐺𝐵)) ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆) → (𝑅‘(𝐺𝐵)) = ⟨(1st ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩)
6361, 62syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘(𝐺𝐵)) = ⟨(1st ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩)
641adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝐶 ∈ ℤ)
652adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝐴𝑆)
663adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝑆𝑇)
674adantlr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
6864, 65, 66, 67, 5, 52, 49frecuzrdgg 10402 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (1st ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))) = (𝐺‘(𝐺𝐵)))
69 f1ocnvfv2 5773 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺‘(𝐺𝐵)) = 𝐵)
7050, 69sylan 283 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺‘(𝐺𝐵)) = 𝐵)
7168, 70eqtrd 2210 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (1st ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))) = 𝐵)
7271opeq1d 3782 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → ⟨(1st ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩ = ⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩)
7363, 72eqtrd 2210 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘(𝐺𝐵)) = ⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩)
7473fveq2d 5515 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → ((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘(𝑅‘(𝐺𝐵))) = ((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩))
7558, 74eqtrd 2210 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘suc (𝐺𝐵)) = ((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩))
76 df-ov 5872 . . . . . 6 (𝐵(𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))) = ((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩)
7775, 76eqtr4di 2228 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘suc (𝐺𝐵)) = (𝐵(𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))))
78 simpr 110 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝐵 ∈ (ℤ𝐶))
79 xp2nd 6161 . . . . . . . 8 ((𝑅‘(𝐺𝐵)) ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆) → (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))) ∈ 𝑆)
8061, 79syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))) ∈ 𝑆)
8166, 80sseldd 3156 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))) ∈ 𝑇)
82 peano2uz 9572 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ𝐶) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ𝐶))
8382adantl 277 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ𝐶))
8467, 78, 80caovcld 6022 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐵𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))) ∈ 𝑆)
85 opelxp 4653 . . . . . . 7 (⟨(𝐵 + 1), (𝐵𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))))⟩ ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆) ↔ ((𝐵 + 1) ∈ (ℤ𝐶) ∧ (𝐵𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))) ∈ 𝑆))
8683, 84, 85sylanbrc 417 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → ⟨(𝐵 + 1), (𝐵𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))))⟩ ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
87 oveq1 5876 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 + 1) = (𝐵 + 1))
88 oveq1 5876 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐹𝑦) = (𝐵𝐹𝑦))
8987, 88opeq12d 3784 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩ = ⟨(𝐵 + 1), (𝐵𝐹𝑦)⟩)
90 oveq2 5877 . . . . . . . 8 (𝑦 = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))) → (𝐵𝐹𝑦) = (𝐵𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))))
9190opeq2d 3783 . . . . . . 7 (𝑦 = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))) → ⟨(𝐵 + 1), (𝐵𝐹𝑦)⟩ = ⟨(𝐵 + 1), (𝐵𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))))⟩)
9289, 91, 38ovmpog 6003 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐶) ∧ (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))) ∈ 𝑇 ∧ ⟨(𝐵 + 1), (𝐵𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))))⟩ ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → (𝐵(𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))) = ⟨(𝐵 + 1), (𝐵𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))))⟩)
9378, 81, 86, 92syl3anc 1238 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐵(𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))) = ⟨(𝐵 + 1), (𝐵𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))))⟩)
9477, 93eqtrd 2210 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘suc (𝐺𝐵)) = ⟨(𝐵 + 1), (𝐵𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))))⟩)
95 ffun 5364 . . . . . . 7 (𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆) → Fun 𝑅)
9660, 95syl 14 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → Fun 𝑅)
97 peano2 4591 . . . . . . . 8 ((𝐺𝐵) ∈ ω → suc (𝐺𝐵) ∈ ω)
9852, 97syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → suc (𝐺𝐵) ∈ ω)
99 fdm 5367 . . . . . . . 8 (𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆) → dom 𝑅 = ω)
10060, 99syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → dom 𝑅 = ω)
10198, 100eleqtrrd 2257 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → suc (𝐺𝐵) ∈ dom 𝑅)
102 fvelrn 5643 . . . . . 6 ((Fun 𝑅 ∧ suc (𝐺𝐵) ∈ dom 𝑅) → (𝑅‘suc (𝐺𝐵)) ∈ ran 𝑅)
10396, 101, 102syl2anc 411 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘suc (𝐺𝐵)) ∈ ran 𝑅)
1046adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝑃 = ran 𝑅)
105103, 104eleqtrrd 2257 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘suc (𝐺𝐵)) ∈ 𝑃)
10694, 105eqeltrrd 2255 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → ⟨(𝐵 + 1), (𝐵𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))))⟩ ∈ 𝑃)
107 funopfv 5551 . . 3 (Fun 𝑃 → (⟨(𝐵 + 1), (𝐵𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))))⟩ ∈ 𝑃 → (𝑃‘(𝐵 + 1)) = (𝐵𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))))))
10810, 106, 107sylc 62 . 2 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑃‘(𝐵 + 1)) = (𝐵𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))))
10952, 100eleqtrrd 2257 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺𝐵) ∈ dom 𝑅)
110 fvelrn 5643 . . . . . . 7 ((Fun 𝑅 ∧ (𝐺𝐵) ∈ dom 𝑅) → (𝑅‘(𝐺𝐵)) ∈ ran 𝑅)
11196, 109, 110syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘(𝐺𝐵)) ∈ ran 𝑅)
112111, 104eleqtrrd 2257 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘(𝐺𝐵)) ∈ 𝑃)
11373, 112eqeltrrd 2255 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → ⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩ ∈ 𝑃)
114 funopfv 5551 . . . 4 (Fun 𝑃 → (⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩ ∈ 𝑃 → (𝑃𝐵) = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))))
11510, 113, 114sylc 62 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑃𝐵) = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))))
116115oveq2d 5885 . 2 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐵𝐹(𝑃𝐵)) = (𝐵𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))))
117108, 116eqtr4d 2213 1 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑃‘(𝐵 + 1)) = (𝐵𝐹(𝑃𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wss 3129  cop 3594  cmpt 4061  suc csuc 4362  ωcom 4586   × cxp 4621  ccnv 4622  dom cdm 4623  ran crn 4624  Fun wfun 5206  wf 5208  1-1-ontowf1o 5211  cfv 5212  (class class class)co 5869  cmpo 5871  1st c1st 6133  2nd c2nd 6134  freccfrec 6385  1c1 7803   + caddc 7805  cz 9242  cuz 9517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518
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