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Theorem climcn2 11029
Description: Image of a limit under a continuous map, two-arg version. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcn2.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climcn2.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climcn2.3a (𝜑𝐴𝐶)
climcn2.3b (𝜑𝐵𝐷)
climcn2.4 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐶𝑣𝐷)) → (𝑢𝐹𝑣) ∈ ℂ)
climcn2.5a (𝜑𝐺𝐴)
climcn2.5b (𝜑𝐻𝐵)
climcn2.6 (𝜑𝐾𝑊)
climcn2.7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
climcn2.8a ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ 𝐶)
climcn2.8b ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) ∈ 𝐷)
climcn2.9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾𝑘) = ((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climcn2 (𝜑𝐾 ⇝ (𝐴𝐹𝐵))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑘,𝑣,𝐶   𝐷,𝑘,𝑢,𝑣   𝑦,𝑘,𝑧,𝐻,𝑣   𝑥,𝑘,𝜑,𝑢,𝑦,𝑧,𝑣   𝐴,𝑘,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝐺,𝑢,𝑣,𝑦,𝑧   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑍,𝑦,𝑧   𝐵,𝑘,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝐹,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑢)   𝐾(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘)   𝑍(𝑥,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem climcn2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcn2.7 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
2 climcn2.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 climcn2.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
43adantr 272 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑀 ∈ ℤ)
5 simprl 503 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
6 eqidd 2116 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
7 climcn2.5a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺𝐴)
87adantr 272 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐺𝐴)
92, 4, 5, 6, 8climi2 11008 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
10 simprr 504 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
11 eqidd 2116 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = (𝐻𝑘))
12 climcn2.5b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻𝐵)
1312adantr 272 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐻𝐵)
142, 4, 10, 11, 13climi2 11008 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧)
152rexanuz2 10714 . . . . . . . 8 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧))
169, 14, 15sylanbrc 411 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧))
172uztrn2 9295 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
18 climcn2.8a . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ 𝐶)
19 climcn2.8b . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) ∈ 𝐷)
20 oveq1 5747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑢 = (𝐺𝑘) → (𝑢𝐴) = ((𝐺𝑘) − 𝐴))
2120fveq2d 5391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 = (𝐺𝑘) → (abs‘(𝑢𝐴)) = (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)))
2221breq1d 3907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 = (𝐺𝑘) → ((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
2322anbi1d 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (𝐺𝑘) → (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) ↔ ((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧)))
24 oveq1 5747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑢 = (𝐺𝑘) → (𝑢𝐹𝑣) = ((𝐺𝑘)𝐹𝑣))
2524oveq1d 5755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 = (𝐺𝑘) → ((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵)) = (((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵)))
2625fveq2d 5391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 = (𝐺𝑘) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) = (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))))
2726breq1d 3907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (𝐺𝑘) → ((abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
2823, 27imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (𝐺𝑘) → ((((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) ↔ (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)))
29 oveq1 5747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 = (𝐻𝑘) → (𝑣𝐵) = ((𝐻𝑘) − 𝐵))
3029fveq2d 5391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = (𝐻𝑘) → (abs‘(𝑣𝐵)) = (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)))
3130breq1d 3907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = (𝐻𝑘) → ((abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧))
3231anbi2d 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = (𝐻𝑘) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) ↔ ((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧)))
33 oveq2 5748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 = (𝐻𝑘) → ((𝐺𝑘)𝐹𝑣) = ((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)))
3433oveq1d 5755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = (𝐻𝑘) → (((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵)) = (((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵)))
3534fveq2d 5391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = (𝐻𝑘) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) = (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))))
3635breq1d 3907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = (𝐻𝑘) → ((abs‘(((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
3732, 36imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (𝐻𝑘) → ((((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) ↔ (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)))
3828, 37rspc2v 2774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺𝑘) ∈ 𝐶 ∧ (𝐻𝑘) ∈ 𝐷) → (∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)))
3918, 19, 38syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)))
4039imp 123 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4140an32s 540 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)) ∧ 𝑘𝑍) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4217, 41sylan2 282 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)) ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4342anassrs 395 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4443ralimdva 2474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4544reximdva 2509 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4645ex 114 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)))
4746adantr 272 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)))
4816, 47mpid 42 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4948rexlimdvva 2532 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
5049adantr 272 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
511, 50mpd 13 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)
5251ralrimiva 2480 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)
53 climcn2.6 . . 3 (𝜑𝐾𝑊)
54 climcn2.9 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾𝑘) = ((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)))
55 climcn2.4 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐶𝑣𝐷)) → (𝑢𝐹𝑣) ∈ ℂ)
56 climcn2.3a . . . 4 (𝜑𝐴𝐶)
57 climcn2.3b . . . 4 (𝜑𝐵𝐷)
5855, 56, 57caovcld 5890 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ ℂ)
5918, 19jca 302 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘) ∈ 𝐶 ∧ (𝐻𝑘) ∈ 𝐷))
6055ralrimivva 2489 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (𝑢𝐹𝑣) ∈ ℂ)
6160adantr 272 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (𝑢𝐹𝑣) ∈ ℂ)
6224eleq1d 2184 . . . . 5 (𝑢 = (𝐺𝑘) → ((𝑢𝐹𝑣) ∈ ℂ ↔ ((𝐺𝑘)𝐹𝑣) ∈ ℂ))
6333eleq1d 2184 . . . . 5 (𝑣 = (𝐻𝑘) → (((𝐺𝑘)𝐹𝑣) ∈ ℂ ↔ ((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) ∈ ℂ))
6462, 63rspc2v 2774 . . . 4 (((𝐺𝑘) ∈ 𝐶 ∧ (𝐻𝑘) ∈ 𝐷) → (∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (𝑢𝐹𝑣) ∈ ℂ → ((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) ∈ ℂ))
6559, 61, 64sylc 62 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) ∈ ℂ)
662, 3, 53, 54, 58, 65clim2c 11004 . 2 (𝜑 → (𝐾 ⇝ (𝐴𝐹𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
6752, 66mpbird 166 1 (𝜑𝐾 ⇝ (𝐴𝐹𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1314  wcel 1463  wral 2391  wrex 2392   class class class wbr 3897  cfv 5091  (class class class)co 5740  cc 7582   < clt 7764  cmin 7897  cz 9008  cuz 9278  +crp 9393  abscabs 10720  cli 10998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8681  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-clim 10999
This theorem is referenced by:  climadd  11046  climmul  11047  climsub  11048
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