Theorem seq3clss 10032

Description: Closure property of the recursive sequence builder. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3clss.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seq3clss.ft	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑇)
seq3clss.fs	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seq3clss.scl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seq3clss.t	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
seq3clss.tcl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
seq3clss	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem seq3clss

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3clss.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzfz2 9595	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
4		fveq2 5340	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀))
5	4	eleq1d 2163	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ 𝑆))
6	5	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → ((𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ 𝑆)))
7		fveq2 5340	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))
8	7	eleq1d 2163	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆))
9	8	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆)))
10		fveq2 5340	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)))
11	10	eleq1d 2163	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑆))
12	11	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑆)))
13		fveq2 5340	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
14	13	eleq1d 2163	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆))
15	14	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆)))
16		eluzel2 9123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
17	1, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
18		seq3clss.ft	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑇)
19		seq3clss.tcl	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑇)
20	17, 18, 19	seq3-1 10023	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
21		fveq2 5340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑀))
22	21	eleq1d 2163	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆))
23		seq3clss.fs	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
24	23	ralrimiva 2458	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
25		eluzfz1 9594	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
26	1, 25	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
27	22, 24, 26	rspcdva 2741	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆)
28	20, 27	eqeltrd 2171	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ 𝑆)
29	28	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ 𝑆))
30		elfzouz 9711	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
31	30	ad2antlr 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32	18	adantlr 462	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑇)
33	32	adantlr 462	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑇)
34	19	adantlr 462	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑇)
35	34	adantlr 462	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑇)
36	31, 33, 35	seq3p1 10030	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
37		seq3clss.scl	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
38	37	adantlr 462	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
39	38	adantlr 462	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
40		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆)
41		fveq2 5340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
42	41	eleq1d 2163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑆))
43	24	ad2antrr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
44		fzofzp1 9787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
45	44	ad2antlr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
46	42, 43, 45	rspcdva 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑆)
47	39, 40, 46	caovcld 5836	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ 𝑆)
48	36, 47	eqeltrd 2171	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑆)
49	48	ex 114	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑆))
50	49	expcom 115	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑆)))
51	50	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) → (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑆)))
52	6, 9, 12, 15, 29, 51	fzind2 9799	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆))
53	3, 52	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  ∀wral 2370   ⊆ wss 3013  ‘cfv 5049  (class class class)co 5690  1c1 7448   + caddc 7450  ℤcz 8848  ℤ_≥cuz 9118  ...cfz 9573  ..^cfzo 9702  seqcseq 10001

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-ltadd 7558

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-frec 6194  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-fz 9574  df-fzo 9703  df-iseq 10002  df-seq3 10003

This theorem is referenced by:  fsumcl2lem  10957