Theorem seq3clss 10777

Description: Closure property of the recursive sequence builder. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3clss.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seq3clss.ft	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑇)
seq3clss.fs	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seq3clss.scl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seq3clss.t	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
seq3clss.tcl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
seq3clss	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem seq3clss

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3clss.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzfz2 10310	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
4		fveq2 5648	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀))
5	4	eleq1d 2300	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ 𝑆))
6	5	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → ((𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ 𝑆)))
7		fveq2 5648	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))
8	7	eleq1d 2300	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆))
9	8	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆)))
10		fveq2 5648	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)))
11	10	eleq1d 2300	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑆))
12	11	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑆)))
13		fveq2 5648	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
14	13	eleq1d 2300	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆))
15	14	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆)))
16		eluzel2 9803	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
17	1, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
18		seq3clss.ft	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑇)
19		seq3clss.tcl	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑇)
20	17, 18, 19	seq3-1 10768	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
21		fveq2 5648	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑀))
22	21	eleq1d 2300	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆))
23		seq3clss.fs	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
24	23	ralrimiva 2606	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
25		eluzfz1 10309	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
26	1, 25	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
27	22, 24, 26	rspcdva 2916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆)
28	20, 27	eqeltrd 2308	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ 𝑆)
29	28	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ 𝑆))
30		elfzouz 10429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
31	30	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32	18	adantlr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑇)
33	32	adantlr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑇)
34	19	adantlr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑇)
35	34	adantlr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑇)
36	31, 33, 35	seq3p1 10771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
37		seq3clss.scl	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
38	37	adantlr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
39	38	adantlr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
40		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆)
41		fveq2 5648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
42	41	eleq1d 2300	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑆))
43	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
44		fzofzp1 10516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
45	44	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
46	42, 43, 45	rspcdva 2916	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑆)
47	39, 40, 46	caovcld 6186	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ 𝑆)
48	36, 47	eqeltrd 2308	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑆)
49	48	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑆))
50	49	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑆)))
51	50	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) → (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑆)))
52	6, 9, 12, 15, 29, 51	fzind2 10529	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆))
53	3, 52	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511   ⊆ wss 3201  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  1c1 8076   + caddc 8078  ℤcz 9522  ℤ_≥cuz 9798  ...cfz 10286  ..^cfzo 10420  seqcseq 10753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-seqfrec 10754

This theorem is referenced by:  seqclg  10778  seqfeq4g  10837  fsumcl2lem  12020  gsumwsubmcl  13640  gsumfzcl  13643