Theorem seq3clss 10633

Description: Closure property of the recursive sequence builder. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3clss.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seq3clss.ft	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑇)
seq3clss.fs	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seq3clss.scl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seq3clss.t	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
seq3clss.tcl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
seq3clss	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem seq3clss

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3clss.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzfz2 10169	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
4		fveq2 5588	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀))
5	4	eleq1d 2275	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ 𝑆))
6	5	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → ((𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ 𝑆)))
7		fveq2 5588	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))
8	7	eleq1d 2275	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆))
9	8	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆)))
10		fveq2 5588	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)))
11	10	eleq1d 2275	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑆))
12	11	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑆)))
13		fveq2 5588	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
14	13	eleq1d 2275	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆))
15	14	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑤) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆)))
16		eluzel2 9668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
17	1, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
18		seq3clss.ft	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑇)
19		seq3clss.tcl	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑇)
20	17, 18, 19	seq3-1 10624	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
21		fveq2 5588	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑀))
22	21	eleq1d 2275	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆))
23		seq3clss.fs	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
24	23	ralrimiva 2580	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
25		eluzfz1 10168	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
26	1, 25	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
27	22, 24, 26	rspcdva 2886	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆)
28	20, 27	eqeltrd 2283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ 𝑆)
29	28	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ 𝑆))
30		elfzouz 10288	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
31	30	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32	18	adantlr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑇)
33	32	adantlr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑇)
34	19	adantlr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑇)
35	34	adantlr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑇)
36	31, 33, 35	seq3p1 10627	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
37		seq3clss.scl	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
38	37	adantlr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
39	38	adantlr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
40		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆)
41		fveq2 5588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
42	41	eleq1d 2275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑆))
43	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
44		fzofzp1 10373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
45	44	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
46	42, 43, 45	rspcdva 2886	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑆)
47	39, 40, 46	caovcld 6112	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ 𝑆)
48	36, 47	eqeltrd 2283	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑆)
49	48	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑆))
50	49	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑆)))
51	50	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆) → (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑆)))
52	6, 9, 12, 15, 29, 51	fzind2 10385	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆))
53	3, 52	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485   ⊆ wss 3170  ‘cfv 5279  (class class class)co 5956  1c1 7941   + caddc 7943  ℤcz 9387  ℤ_≥cuz 9663  ...cfz 10145  ..^cfzo 10279  seqcseq 10609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-iinf 4643  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-addcom 8040  ax-addass 8042  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-ltadd 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-tr 4150  df-id 4347  df-iord 4420  df-on 4422  df-ilim 4423  df-suc 4425  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-recs 6403  df-frec 6489  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-inn 9052  df-n0 9311  df-z 9388  df-uz 9664  df-fz 10146  df-fzo 10280  df-seqfrec 10610

This theorem is referenced by:  seqclg  10634  seqfeq4g  10693  fsumcl2lem  11779  gsumwsubmcl  13398  gsumfzcl  13401