Theorem cncfcdm 14902

Description: Change the codomain of a continuous complex function. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cncfcdm	⊢ ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵)) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐶) ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐶))

Proof of Theorem cncfcdm

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfrss 14895	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
2	1	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
3		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵)) → 𝐶 ⊆ ℂ)
4		elcncf2 14894	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐶) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦))))
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵)) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐶) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦))))
6		cncfi 14898	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦))
7	6	3expb 1206	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦))
8	7	ralrimivva 2579	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦))
9	8	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦))
10	9	biantrud 304	. 2 ⊢ ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵)) → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦))))
11	5, 10	bitr4d 191	1 ⊢ ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵)) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐶) ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4034  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℂcc 7894   < clt 8078   − cmin 8214  ℝ⁺crp 9745  abscabs 11179  –cn→ccncf 14890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-map 6718  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-2 9066  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-cncf 14891

This theorem is referenced by:  cncfss  14903  maxcncf  14935  mincncf  14936  ivthreinc  14965  hovercncf  14966