Theorem elcncf2 15431

Description: Version of elcncf 15430 with arguments commuted. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elcncf2	⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem elcncf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcncf 15430	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))))
2		simplll 535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
3		simprl 531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
4	2, 3	sseldd 3238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℂ)
5		simprr 533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → 𝑤 ∈ 𝐴)
6	2, 5	sseldd 3238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → 𝑤 ∈ ℂ)
7	4, 6	abssubd 11874	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (abs‘(𝑥 − 𝑤)) = (abs‘(𝑤 − 𝑥)))
8	7	breq1d 4118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧))
9		simpllr 536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ⊆ ℂ)
10		simplr 529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
11	10, 3	ffvelcdmd 5812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
12	9, 11	sseldd 3238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
13	10, 5	ffvelcdmd 5812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵)
14	9, 13	sseldd 3238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑤) ∈ ℂ)
15	12, 14	abssubd 11874	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) = (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))))
16	15	breq1d 4118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦))
17	8, 16	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦)))
18	17	anassrs 400	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦)))
19	18	ralbidva 2538	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦)))
20	19	rexbidv 2543	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦)))
21	20	ralbidv 2542	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦)))
22	21	ralbidva 2538	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦)))
23	22	pm5.32da 452	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦)) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦))))
24	1, 23	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  ∃wrex 2521   ⊆ wss 3210   class class class wbr 4108  ⟶wf 5347  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℂcc 8124   < clt 8307   − cmin 8443  ℝ⁺crp 9985  abscabs 11678  –cn→ccncf 15427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-map 6883  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-2 9295  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-cncf 15428

This theorem is referenced by:  cncfi  15435  cncfcdm  15439  abscncf  15442  recncf  15443  imcncf  15444  cjcncf  15445  mulc1cncf  15446  cncfco  15448  cdivcncfap  15461  mulcncf  15465