Theorem cncfmpt2fcntop 13225

Description: Composition of continuous functions. –cn→ analogue of cnmpt12f 12926. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfmpt2fcntop.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
cncfmpt2f.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
cncfmpt2f.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
cncfmpt2f.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
cncfmpt2fcntop	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem cncfmpt2fcntop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfmpt2fcntop.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
2	1	cntoptopon 13172	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
3		cncfmpt2f.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
4		cncfrss 13202	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → 𝑋 ⊆ ℂ)
5	3, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
6		resttopon 12811	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
7	2, 5, 6	sylancr 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
8		ssid 3162	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
9		eqid 2165	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑋) = (𝐽 ↾t 𝑋)
10	2	toponrestid 12659	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝐽 ↾t ℂ)
11	1, 9, 10	cncfcncntop 13220	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑋–cn→ℂ) = ((𝐽 ↾t 𝑋) Cn 𝐽))
12	5, 8, 11	sylancl 410	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋–cn→ℂ) = ((𝐽 ↾t 𝑋) Cn 𝐽))
13	3, 12	eleqtrd 2245	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝑋) Cn 𝐽))
14		cncfmpt2f.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
15	14, 12	eleqtrd 2245	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ ((𝐽 ↾t 𝑋) Cn 𝐽))
16		cncfmpt2f.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
17	7, 13, 15, 16	cnmpt12f 12926	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ ((𝐽 ↾t 𝑋) Cn 𝐽))
18	17, 12	eleqtrrd 2246	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ⊆ wss 3116   ↦ cmpt 4043   ∘ ccom 4608  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℂcc 7751   − cmin 8069  abscabs 10939   ↾_t crest 12556  MetOpencmopn 12625  TopOnctopon 12648   Cn ccn 12825   ×_t ctx 12892  –cn→ccncf 13197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-map 6616  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-xneg 9708  df-xadd 9709  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-rest 12558  df-topgen 12577  df-psmet 12627  df-xmet 12628  df-met 12629  df-bl 12630  df-mopn 12631  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681  df-cn 12828  df-cnp 12829  df-tx 12893  df-cncf 13198

This theorem is referenced by:  dvcnp2cntop  13303  sincn  13330  coscn  13331