Theorem cncfmpt2fcntop 12754

Description: Composition of continuous functions. –cn→ analogue of cnmpt12f 12455. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfmpt2fcntop.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
cncfmpt2f.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
cncfmpt2f.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
cncfmpt2f.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
cncfmpt2fcntop	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem cncfmpt2fcntop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfmpt2fcntop.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
2	1	cntoptopon 12701	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
3		cncfmpt2f.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
4		cncfrss 12731	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → 𝑋 ⊆ ℂ)
5	3, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
6		resttopon 12340	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
7	2, 5, 6	sylancr 410	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
8		ssid 3117	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
9		eqid 2139	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑋) = (𝐽 ↾t 𝑋)
10	2	toponrestid 12188	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝐽 ↾t ℂ)
11	1, 9, 10	cncfcncntop 12749	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑋–cn→ℂ) = ((𝐽 ↾t 𝑋) Cn 𝐽))
12	5, 8, 11	sylancl 409	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋–cn→ℂ) = ((𝐽 ↾t 𝑋) Cn 𝐽))
13	3, 12	eleqtrd 2218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝑋) Cn 𝐽))
14		cncfmpt2f.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
15	14, 12	eleqtrd 2218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ ((𝐽 ↾t 𝑋) Cn 𝐽))
16		cncfmpt2f.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
17	7, 13, 15, 16	cnmpt12f 12455	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ ((𝐽 ↾t 𝑋) Cn 𝐽))
18	17, 12	eleqtrrd 2219	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ⊆ wss 3071   ↦ cmpt 3989   ∘ ccom 4543  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7618   − cmin 7933  abscabs 10769   ↾_t crest 12120  MetOpencmopn 12154  TopOnctopon 12177   Cn ccn 12354   ×_t ctx 12421  –cn→ccncf 12726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-xneg 9559  df-xadd 9560  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-rest 12122  df-topgen 12141  df-psmet 12156  df-xmet 12157  df-met 12158  df-bl 12159  df-mopn 12160  df-top 12165  df-topon 12178  df-bases 12210  df-cn 12357  df-cnp 12358  df-tx 12422  df-cncf 12727

This theorem is referenced by:  dvcnp2cntop  12832  sincn  12858  coscn  12859