Theorem lelttrd 8303

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lelttr 8267	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1273	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ℝcr 8030   < clt 8213   ≤ cle 8214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-pre-ltwlin 8144

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219

This theorem is referenced by:  lt2msq1  9064  ledivp1  9082  suprzclex  9577  btwnapz  9609  ge0p1rp  9919  elfzolt3  10392  exbtwnz  10509  btwnzge0  10559  flltdivnn0lt  10563  modqid  10610  mulqaddmodid  10625  modqsubdir  10654  seqf1oglem1  10780  seqf1oglem2  10781  nn0opthlem2d  10982  bcp1nk  11023  zfz1isolemiso  11102  resqrexlemover  11570  resqrexlemnm  11578  resqrexlemcvg  11579  resqrexlemglsq  11582  resqrexlemga  11583  abslt  11648  abs3lem  11671  fzomaxdiflem  11672  icodiamlt  11740  maxltsup  11778  reccn2ap  11873  expcnvre  12063  absltap  12069  cvgratnnlemfm  12089  cvgratnnlemrate  12090  mertenslemi1  12095  ef01bndlem  12316  sin01bnd  12317  cos01bnd  12318  sinltxirr  12321  eirraplem  12337  dvdslelemd  12403  bitsfzolem  12514  bitsfzo  12515  bitsinv1lem  12521  isprm5lem  12712  sqrt2irrap  12751  eulerthlemrprm  12800  eulerthlema  12801  pcfaclem  12921  pockthg  12929  4sqlem11  12973  4sqlem12  12974  4sqlem13m  12975  mplsubgfilemcl  14712  ssblex  15154  dedekindeulemuub  15340  dedekindeulemlu  15344  suplociccreex  15347  dedekindicclemuub  15349  dedekindicclemlu  15353  dedekindicc  15356  ivthinclemuopn  15361  hovera  15370  dveflem  15449  coseq00topi  15558  coseq0negpitopi  15559  cosordlem  15572  logbgcd1irraplemexp  15691  perfectlem2  15723  lgsdirprm  15762  lgseisen  15802  lgsquadlem1  15805  lgsquadlem2  15806  2sqlem8  15851  qdencn  16631  cvgcmp2nlemabs  16636