Theorem lelttrd 8232

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lelttr 8196	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1250	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2178   class class class wbr 4059  ℝcr 7959   < clt 8142   ≤ cle 8143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-pre-ltwlin 8073

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-cnv 4701  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148

This theorem is referenced by:  lt2msq1  8993  ledivp1  9011  suprzclex  9506  btwnapz  9538  ge0p1rp  9842  elfzolt3  10315  exbtwnz  10430  btwnzge0  10480  flltdivnn0lt  10484  modqid  10531  mulqaddmodid  10546  modqsubdir  10575  seqf1oglem1  10701  seqf1oglem2  10702  nn0opthlem2d  10903  bcp1nk  10944  zfz1isolemiso  11021  resqrexlemover  11436  resqrexlemnm  11444  resqrexlemcvg  11445  resqrexlemglsq  11448  resqrexlemga  11449  abslt  11514  abs3lem  11537  fzomaxdiflem  11538  icodiamlt  11606  maxltsup  11644  reccn2ap  11739  expcnvre  11929  absltap  11935  cvgratnnlemfm  11955  cvgratnnlemrate  11956  mertenslemi1  11961  ef01bndlem  12182  sin01bnd  12183  cos01bnd  12184  sinltxirr  12187  eirraplem  12203  dvdslelemd  12269  bitsfzolem  12380  bitsfzo  12381  bitsinv1lem  12387  isprm5lem  12578  sqrt2irrap  12617  eulerthlemrprm  12666  eulerthlema  12667  pcfaclem  12787  pockthg  12795  4sqlem11  12839  4sqlem12  12840  4sqlem13m  12841  mplsubgfilemcl  14576  ssblex  15018  dedekindeulemuub  15204  dedekindeulemlu  15208  suplociccreex  15211  dedekindicclemuub  15213  dedekindicclemlu  15217  dedekindicc  15220  ivthinclemuopn  15225  hovera  15234  dveflem  15313  coseq00topi  15422  coseq0negpitopi  15423  cosordlem  15436  logbgcd1irraplemexp  15555  perfectlem2  15587  lgsdirprm  15626  lgseisen  15666  lgsquadlem1  15669  lgsquadlem2  15670  2sqlem8  15715  qdencn  16168  cvgcmp2nlemabs  16173