Theorem lelttrd 8267

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lelttr 8231	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1271	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  ℝcr 7994   < clt 8177   ≤ cle 8178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-pre-ltwlin 8108

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4724  df-cnv 4726  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183

This theorem is referenced by:  lt2msq1  9028  ledivp1  9046  suprzclex  9541  btwnapz  9573  ge0p1rp  9877  elfzolt3  10350  exbtwnz  10465  btwnzge0  10515  flltdivnn0lt  10519  modqid  10566  mulqaddmodid  10581  modqsubdir  10610  seqf1oglem1  10736  seqf1oglem2  10737  nn0opthlem2d  10938  bcp1nk  10979  zfz1isolemiso  11056  resqrexlemover  11516  resqrexlemnm  11524  resqrexlemcvg  11525  resqrexlemglsq  11528  resqrexlemga  11529  abslt  11594  abs3lem  11617  fzomaxdiflem  11618  icodiamlt  11686  maxltsup  11724  reccn2ap  11819  expcnvre  12009  absltap  12015  cvgratnnlemfm  12035  cvgratnnlemrate  12036  mertenslemi1  12041  ef01bndlem  12262  sin01bnd  12263  cos01bnd  12264  sinltxirr  12267  eirraplem  12283  dvdslelemd  12349  bitsfzolem  12460  bitsfzo  12461  bitsinv1lem  12467  isprm5lem  12658  sqrt2irrap  12697  eulerthlemrprm  12746  eulerthlema  12747  pcfaclem  12867  pockthg  12875  4sqlem11  12919  4sqlem12  12920  4sqlem13m  12921  mplsubgfilemcl  14657  ssblex  15099  dedekindeulemuub  15285  dedekindeulemlu  15289  suplociccreex  15292  dedekindicclemuub  15294  dedekindicclemlu  15298  dedekindicc  15301  ivthinclemuopn  15306  hovera  15315  dveflem  15394  coseq00topi  15503  coseq0negpitopi  15504  cosordlem  15517  logbgcd1irraplemexp  15636  perfectlem2  15668  lgsdirprm  15707  lgseisen  15747  lgsquadlem1  15750  lgsquadlem2  15751  2sqlem8  15796  qdencn  16354  cvgcmp2nlemabs  16359