Theorem lelttrd 8282

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lelttr 8246	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1271	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ℝcr 8009   < clt 8192   ≤ cle 8193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-pre-ltwlin 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198

This theorem is referenced by:  lt2msq1  9043  ledivp1  9061  suprzclex  9556  btwnapz  9588  ge0p1rp  9893  elfzolt3  10366  exbtwnz  10482  btwnzge0  10532  flltdivnn0lt  10536  modqid  10583  mulqaddmodid  10598  modqsubdir  10627  seqf1oglem1  10753  seqf1oglem2  10754  nn0opthlem2d  10955  bcp1nk  10996  zfz1isolemiso  11074  resqrexlemover  11536  resqrexlemnm  11544  resqrexlemcvg  11545  resqrexlemglsq  11548  resqrexlemga  11549  abslt  11614  abs3lem  11637  fzomaxdiflem  11638  icodiamlt  11706  maxltsup  11744  reccn2ap  11839  expcnvre  12029  absltap  12035  cvgratnnlemfm  12055  cvgratnnlemrate  12056  mertenslemi1  12061  ef01bndlem  12282  sin01bnd  12283  cos01bnd  12284  sinltxirr  12287  eirraplem  12303  dvdslelemd  12369  bitsfzolem  12480  bitsfzo  12481  bitsinv1lem  12487  isprm5lem  12678  sqrt2irrap  12717  eulerthlemrprm  12766  eulerthlema  12767  pcfaclem  12887  pockthg  12895  4sqlem11  12939  4sqlem12  12940  4sqlem13m  12941  mplsubgfilemcl  14678  ssblex  15120  dedekindeulemuub  15306  dedekindeulemlu  15310  suplociccreex  15313  dedekindicclemuub  15315  dedekindicclemlu  15319  dedekindicc  15322  ivthinclemuopn  15327  hovera  15336  dveflem  15415  coseq00topi  15524  coseq0negpitopi  15525  cosordlem  15538  logbgcd1irraplemexp  15657  perfectlem2  15689  lgsdirprm  15728  lgseisen  15768  lgsquadlem1  15771  lgsquadlem2  15772  2sqlem8  15817  qdencn  16459  cvgcmp2nlemabs  16464