Theorem lelttrd 8453

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lelttr 8415	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 437	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8179   < clt 8361   ≤ cle 8362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-pre-ltwlin 8293

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367

This theorem is used by:  lt2msq1  9218  ledivp1  9236  suprzclex  9749  btwnapz  9781  ge0p1rp  10097  elfzolt3  10576  exbtwnz  10696  flaplt  10733  btwnzge0  10750  flltdivnn0lt  10754  modqid  10801  mulqaddmodid  10816  modqsubdir  10845  seqf1oglem1  10971  seqf1oglem2  10972  nn0opthlem2d  11175  bcp1nk  11216  zfz1isolemiso  11307  resqrexlemover  11792  resqrexlemnm  11800  resqrexlemcvg  11801  resqrexlemglsq  11804  resqrexlemga  11805  abslt  11871  abs3lem  11894  fzomaxdiflem  11895  icodiamlt  11963  maxltsup  12001  reccn2ap  12098  expcnvre  12289  absltap  12295  cvgratnnlemfm  12315  cvgratnnlemrate  12316  mertenslemi1  12321  ef01bndlem  12542  sin01bnd  12543  cos01bnd  12544  sinltxirr  12547  eirraplem  12563  dvdslelemd  12629  bitsfzolem  12740  bitsfzo  12741  bitsinv1lem  12747  isprm5lem  12939  sqrt2irrap  12979  eulerthlemrprm  13030  eulerthlema  13031  pcfaclem  13151  pockthg  13159  4sqlem11  13203  4sqlem12  13204  4sqlem13m  13205  mplsubgfilemcl  15181  ssblex  15623  dedekindeulemuub  15809  dedekindeulemlu  15813  suplociccreex  15816  dedekindicclemuub  15818  dedekindicclemlu  15822  dedekindicc  15825  ivthinclemuopn  15830  hovera  15839  dveflem  15918  coseq00topi  16028  coseq0negpitopi  16029  cosordlem  16042  logbgcd1irraplemexp  16165  birthdaylem3  16188  ppiqltx  16242  perfectlem2  16261  bposlem1  16272  bposlem3  16274  bposlem6  16277  lgsdirprm  16319  lgseisen  16359  lgsquadlem1  16362  lgsquadlem2  16363  2sqlem8  16408  qdencn  17238  cvgcmp2nlemabs  17247