Theorem lelttrd 8170

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lelttr 8134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ℝcr 7897   < clt 8080   ≤ cle 8081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-pre-ltwlin 8011

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086

This theorem is referenced by:  lt2msq1  8931  ledivp1  8949  suprzclex  9443  btwnapz  9475  ge0p1rp  9779  elfzolt3  10252  exbtwnz  10359  btwnzge0  10409  flltdivnn0lt  10413  modqid  10460  mulqaddmodid  10475  modqsubdir  10504  seqf1oglem1  10630  seqf1oglem2  10631  nn0opthlem2d  10832  bcp1nk  10873  zfz1isolemiso  10950  resqrexlemover  11194  resqrexlemnm  11202  resqrexlemcvg  11203  resqrexlemglsq  11206  resqrexlemga  11207  abslt  11272  abs3lem  11295  fzomaxdiflem  11296  icodiamlt  11364  maxltsup  11402  reccn2ap  11497  expcnvre  11687  absltap  11693  cvgratnnlemfm  11713  cvgratnnlemrate  11714  mertenslemi1  11719  ef01bndlem  11940  sin01bnd  11941  cos01bnd  11942  sinltxirr  11945  eirraplem  11961  dvdslelemd  12027  bitsfzolem  12138  bitsfzo  12139  bitsinv1lem  12145  isprm5lem  12336  sqrt2irrap  12375  eulerthlemrprm  12424  eulerthlema  12425  pcfaclem  12545  pockthg  12553  4sqlem11  12597  4sqlem12  12598  4sqlem13m  12599  mplsubgfilemcl  14333  ssblex  14775  dedekindeulemuub  14961  dedekindeulemlu  14965  suplociccreex  14968  dedekindicclemuub  14970  dedekindicclemlu  14974  dedekindicc  14977  ivthinclemuopn  14982  hovera  14991  dveflem  15070  coseq00topi  15179  coseq0negpitopi  15180  cosordlem  15193  logbgcd1irraplemexp  15312  perfectlem2  15344  lgsdirprm  15383  lgseisen  15423  lgsquadlem1  15426  lgsquadlem2  15427  2sqlem8  15472  qdencn  15784  cvgcmp2nlemabs  15789