Theorem lelttrd 8084

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lelttr 8048	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1238	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  ℝcr 7812   < clt 7994   ≤ cle 7995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-pre-ltwlin 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-cnv 4636  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000

This theorem is referenced by:  lt2msq1  8844  ledivp1  8862  suprzclex  9353  btwnapz  9385  ge0p1rp  9687  elfzolt3  10159  exbtwnz  10253  btwnzge0  10302  flltdivnn0lt  10306  modqid  10351  mulqaddmodid  10366  modqsubdir  10395  nn0opthlem2d  10703  bcp1nk  10744  zfz1isolemiso  10821  resqrexlemover  11021  resqrexlemnm  11029  resqrexlemcvg  11030  resqrexlemglsq  11033  resqrexlemga  11034  abslt  11099  abs3lem  11122  fzomaxdiflem  11123  icodiamlt  11191  maxltsup  11229  reccn2ap  11323  expcnvre  11513  absltap  11519  cvgratnnlemfm  11539  cvgratnnlemrate  11540  mertenslemi1  11545  ef01bndlem  11766  sin01bnd  11767  cos01bnd  11768  eirraplem  11786  dvdslelemd  11851  isprm5lem  12143  sqrt2irrap  12182  eulerthlemrprm  12231  eulerthlema  12232  pcfaclem  12349  pockthg  12357  ssblex  13970  dedekindeulemuub  14134  dedekindeulemlu  14138  suplociccreex  14141  dedekindicclemuub  14143  dedekindicclemlu  14147  dedekindicc  14150  ivthinclemuopn  14155  dveflem  14226  coseq00topi  14295  coseq0negpitopi  14296  cosordlem  14309  logbgcd1irraplemexp  14425  lgsdirprm  14474  2sqlem8  14509  qdencn  14814  cvgcmp2nlemabs  14819