Theorem lelttrd 8294

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lelttr 8258	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1271	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  ℝcr 8021   < clt 8204   ≤ cle 8205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-pre-ltwlin 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-cnv 4731  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210

This theorem is referenced by:  lt2msq1  9055  ledivp1  9073  suprzclex  9568  btwnapz  9600  ge0p1rp  9910  elfzolt3  10383  exbtwnz  10500  btwnzge0  10550  flltdivnn0lt  10554  modqid  10601  mulqaddmodid  10616  modqsubdir  10645  seqf1oglem1  10771  seqf1oglem2  10772  nn0opthlem2d  10973  bcp1nk  11014  zfz1isolemiso  11093  resqrexlemover  11561  resqrexlemnm  11569  resqrexlemcvg  11570  resqrexlemglsq  11573  resqrexlemga  11574  abslt  11639  abs3lem  11662  fzomaxdiflem  11663  icodiamlt  11731  maxltsup  11769  reccn2ap  11864  expcnvre  12054  absltap  12060  cvgratnnlemfm  12080  cvgratnnlemrate  12081  mertenslemi1  12086  ef01bndlem  12307  sin01bnd  12308  cos01bnd  12309  sinltxirr  12312  eirraplem  12328  dvdslelemd  12394  bitsfzolem  12505  bitsfzo  12506  bitsinv1lem  12512  isprm5lem  12703  sqrt2irrap  12742  eulerthlemrprm  12791  eulerthlema  12792  pcfaclem  12912  pockthg  12920  4sqlem11  12964  4sqlem12  12965  4sqlem13m  12966  mplsubgfilemcl  14703  ssblex  15145  dedekindeulemuub  15331  dedekindeulemlu  15335  suplociccreex  15338  dedekindicclemuub  15340  dedekindicclemlu  15344  dedekindicc  15347  ivthinclemuopn  15352  hovera  15361  dveflem  15440  coseq00topi  15549  coseq0negpitopi  15550  cosordlem  15563  logbgcd1irraplemexp  15682  perfectlem2  15714  lgsdirprm  15753  lgseisen  15793  lgsquadlem1  15796  lgsquadlem2  15797  2sqlem8  15842  qdencn  16567  cvgcmp2nlemabs  16572