Theorem lelttrd 8196

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lelttr 8160	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  ℝcr 7923   < clt 8106   ≤ cle 8107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-pre-ltwlin 8037

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-xp 4680  df-cnv 4682  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112

This theorem is referenced by:  lt2msq1  8957  ledivp1  8975  suprzclex  9470  btwnapz  9502  ge0p1rp  9806  elfzolt3  10279  exbtwnz  10391  btwnzge0  10441  flltdivnn0lt  10445  modqid  10492  mulqaddmodid  10507  modqsubdir  10536  seqf1oglem1  10662  seqf1oglem2  10663  nn0opthlem2d  10864  bcp1nk  10905  zfz1isolemiso  10982  resqrexlemover  11292  resqrexlemnm  11300  resqrexlemcvg  11301  resqrexlemglsq  11304  resqrexlemga  11305  abslt  11370  abs3lem  11393  fzomaxdiflem  11394  icodiamlt  11462  maxltsup  11500  reccn2ap  11595  expcnvre  11785  absltap  11791  cvgratnnlemfm  11811  cvgratnnlemrate  11812  mertenslemi1  11817  ef01bndlem  12038  sin01bnd  12039  cos01bnd  12040  sinltxirr  12043  eirraplem  12059  dvdslelemd  12125  bitsfzolem  12236  bitsfzo  12237  bitsinv1lem  12243  isprm5lem  12434  sqrt2irrap  12473  eulerthlemrprm  12522  eulerthlema  12523  pcfaclem  12643  pockthg  12651  4sqlem11  12695  4sqlem12  12696  4sqlem13m  12697  mplsubgfilemcl  14432  ssblex  14874  dedekindeulemuub  15060  dedekindeulemlu  15064  suplociccreex  15067  dedekindicclemuub  15069  dedekindicclemlu  15073  dedekindicc  15076  ivthinclemuopn  15081  hovera  15090  dveflem  15169  coseq00topi  15278  coseq0negpitopi  15279  cosordlem  15292  logbgcd1irraplemexp  15411  perfectlem2  15443  lgsdirprm  15482  lgseisen  15522  lgsquadlem1  15525  lgsquadlem2  15526  2sqlem8  15571  qdencn  15928  cvgcmp2nlemabs  15933