Theorem lelttrd 8197

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lelttr 8161	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1250	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2176   class class class wbr 4044  ℝcr 7924   < clt 8107   ≤ cle 8108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-pre-ltwlin 8038

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-cnv 4683  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113

This theorem is referenced by:  lt2msq1  8958  ledivp1  8976  suprzclex  9471  btwnapz  9503  ge0p1rp  9807  elfzolt3  10280  exbtwnz  10393  btwnzge0  10443  flltdivnn0lt  10447  modqid  10494  mulqaddmodid  10509  modqsubdir  10538  seqf1oglem1  10664  seqf1oglem2  10665  nn0opthlem2d  10866  bcp1nk  10907  zfz1isolemiso  10984  resqrexlemover  11321  resqrexlemnm  11329  resqrexlemcvg  11330  resqrexlemglsq  11333  resqrexlemga  11334  abslt  11399  abs3lem  11422  fzomaxdiflem  11423  icodiamlt  11491  maxltsup  11529  reccn2ap  11624  expcnvre  11814  absltap  11820  cvgratnnlemfm  11840  cvgratnnlemrate  11841  mertenslemi1  11846  ef01bndlem  12067  sin01bnd  12068  cos01bnd  12069  sinltxirr  12072  eirraplem  12088  dvdslelemd  12154  bitsfzolem  12265  bitsfzo  12266  bitsinv1lem  12272  isprm5lem  12463  sqrt2irrap  12502  eulerthlemrprm  12551  eulerthlema  12552  pcfaclem  12672  pockthg  12680  4sqlem11  12724  4sqlem12  12725  4sqlem13m  12726  mplsubgfilemcl  14461  ssblex  14903  dedekindeulemuub  15089  dedekindeulemlu  15093  suplociccreex  15096  dedekindicclemuub  15098  dedekindicclemlu  15102  dedekindicc  15105  ivthinclemuopn  15110  hovera  15119  dveflem  15198  coseq00topi  15307  coseq0negpitopi  15308  cosordlem  15321  logbgcd1irraplemexp  15440  perfectlem2  15472  lgsdirprm  15511  lgseisen  15551  lgsquadlem1  15554  lgsquadlem2  15555  2sqlem8  15600  qdencn  15966  cvgcmp2nlemabs  15971