Theorem lelttrd 8168

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lelttr 8132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ℝcr 7895   < clt 8078   ≤ cle 8079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-pre-ltwlin 8009

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084

This theorem is referenced by:  lt2msq1  8929  ledivp1  8947  suprzclex  9441  btwnapz  9473  ge0p1rp  9777  elfzolt3  10250  exbtwnz  10357  btwnzge0  10407  flltdivnn0lt  10411  modqid  10458  mulqaddmodid  10473  modqsubdir  10502  seqf1oglem1  10628  seqf1oglem2  10629  nn0opthlem2d  10830  bcp1nk  10871  zfz1isolemiso  10948  resqrexlemover  11192  resqrexlemnm  11200  resqrexlemcvg  11201  resqrexlemglsq  11204  resqrexlemga  11205  abslt  11270  abs3lem  11293  fzomaxdiflem  11294  icodiamlt  11362  maxltsup  11400  reccn2ap  11495  expcnvre  11685  absltap  11691  cvgratnnlemfm  11711  cvgratnnlemrate  11712  mertenslemi1  11717  ef01bndlem  11938  sin01bnd  11939  cos01bnd  11940  sinltxirr  11943  eirraplem  11959  dvdslelemd  12025  bitsfzolem  12136  bitsfzo  12137  bitsinv1lem  12143  isprm5lem  12334  sqrt2irrap  12373  eulerthlemrprm  12422  eulerthlema  12423  pcfaclem  12543  pockthg  12551  4sqlem11  12595  4sqlem12  12596  4sqlem13m  12597  ssblex  14751  dedekindeulemuub  14937  dedekindeulemlu  14941  suplociccreex  14944  dedekindicclemuub  14946  dedekindicclemlu  14950  dedekindicc  14953  ivthinclemuopn  14958  hovera  14967  dveflem  15046  coseq00topi  15155  coseq0negpitopi  15156  cosordlem  15169  logbgcd1irraplemexp  15288  perfectlem2  15320  lgsdirprm  15359  lgseisen  15399  lgsquadlem1  15402  lgsquadlem2  15403  2sqlem8  15448  qdencn  15758  cvgcmp2nlemabs  15763