Theorem lelttrd 8144

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lelttr 8108	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ℝcr 7871   < clt 8054   ≤ cle 8055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-pre-ltwlin 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-cnv 4667  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060

This theorem is referenced by:  lt2msq1  8904  ledivp1  8922  suprzclex  9415  btwnapz  9447  ge0p1rp  9751  elfzolt3  10224  exbtwnz  10319  btwnzge0  10369  flltdivnn0lt  10373  modqid  10420  mulqaddmodid  10435  modqsubdir  10464  seqf1oglem1  10590  seqf1oglem2  10591  nn0opthlem2d  10792  bcp1nk  10833  zfz1isolemiso  10910  resqrexlemover  11154  resqrexlemnm  11162  resqrexlemcvg  11163  resqrexlemglsq  11166  resqrexlemga  11167  abslt  11232  abs3lem  11255  fzomaxdiflem  11256  icodiamlt  11324  maxltsup  11362  reccn2ap  11456  expcnvre  11646  absltap  11652  cvgratnnlemfm  11672  cvgratnnlemrate  11673  mertenslemi1  11678  ef01bndlem  11899  sin01bnd  11900  cos01bnd  11901  sinltxirr  11904  eirraplem  11920  dvdslelemd  11985  isprm5lem  12279  sqrt2irrap  12318  eulerthlemrprm  12367  eulerthlema  12368  pcfaclem  12487  pockthg  12495  4sqlem11  12539  4sqlem12  12540  4sqlem13m  12541  ssblex  14599  dedekindeulemuub  14771  dedekindeulemlu  14775  suplociccreex  14778  dedekindicclemuub  14780  dedekindicclemlu  14784  dedekindicc  14787  ivthinclemuopn  14792  hovera  14801  dveflem  14872  coseq00topi  14970  coseq0negpitopi  14971  cosordlem  14984  logbgcd1irraplemexp  15100  lgsdirprm  15150  lgseisen  15190  lgsquadlem1  15191  2sqlem8  15210  qdencn  15517  cvgcmp2nlemabs  15522