Theorem lelttrd 8304

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lelttr 8268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1273	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ℝcr 8031   < clt 8214   ≤ cle 8215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-pre-ltwlin 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220

This theorem is referenced by:  lt2msq1  9065  ledivp1  9083  suprzclex  9578  btwnapz  9610  ge0p1rp  9920  elfzolt3  10393  exbtwnz  10511  btwnzge0  10561  flltdivnn0lt  10565  modqid  10612  mulqaddmodid  10627  modqsubdir  10656  seqf1oglem1  10782  seqf1oglem2  10783  nn0opthlem2d  10984  bcp1nk  11025  zfz1isolemiso  11104  resqrexlemover  11588  resqrexlemnm  11596  resqrexlemcvg  11597  resqrexlemglsq  11600  resqrexlemga  11601  abslt  11666  abs3lem  11689  fzomaxdiflem  11690  icodiamlt  11758  maxltsup  11796  reccn2ap  11891  expcnvre  12082  absltap  12088  cvgratnnlemfm  12108  cvgratnnlemrate  12109  mertenslemi1  12114  ef01bndlem  12335  sin01bnd  12336  cos01bnd  12337  sinltxirr  12340  eirraplem  12356  dvdslelemd  12422  bitsfzolem  12533  bitsfzo  12534  bitsinv1lem  12540  isprm5lem  12731  sqrt2irrap  12770  eulerthlemrprm  12819  eulerthlema  12820  pcfaclem  12940  pockthg  12948  4sqlem11  12992  4sqlem12  12993  4sqlem13m  12994  mplsubgfilemcl  14732  ssblex  15174  dedekindeulemuub  15360  dedekindeulemlu  15364  suplociccreex  15367  dedekindicclemuub  15369  dedekindicclemlu  15373  dedekindicc  15376  ivthinclemuopn  15381  hovera  15390  dveflem  15469  coseq00topi  15578  coseq0negpitopi  15579  cosordlem  15592  logbgcd1irraplemexp  15711  perfectlem2  15743  lgsdirprm  15782  lgseisen  15822  lgsquadlem1  15825  lgsquadlem2  15826  2sqlem8  15871  qdencn  16682  cvgcmp2nlemabs  16687