Theorem lelttrd 8452

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lelttr 8414	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 437	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8178   < clt 8360   ≤ cle 8361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-pre-ltwlin 8292

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366

This theorem is used by:  lt2msq1  9217  ledivp1  9235  suprzclex  9748  btwnapz  9780  ge0p1rp  10096  elfzolt3  10575  exbtwnz  10695  btwnzge0  10748  flltdivnn0lt  10752  modqid  10799  mulqaddmodid  10814  modqsubdir  10843  seqf1oglem1  10969  seqf1oglem2  10970  nn0opthlem2d  11173  bcp1nk  11214  zfz1isolemiso  11305  resqrexlemover  11790  resqrexlemnm  11798  resqrexlemcvg  11799  resqrexlemglsq  11802  resqrexlemga  11803  abslt  11869  abs3lem  11892  fzomaxdiflem  11893  icodiamlt  11961  maxltsup  11999  reccn2ap  12095  expcnvre  12286  absltap  12292  cvgratnnlemfm  12312  cvgratnnlemrate  12313  mertenslemi1  12318  ef01bndlem  12539  sin01bnd  12540  cos01bnd  12541  sinltxirr  12544  eirraplem  12560  dvdslelemd  12626  bitsfzolem  12737  bitsfzo  12738  bitsinv1lem  12744  isprm5lem  12936  sqrt2irrap  12976  eulerthlemrprm  13027  eulerthlema  13028  pcfaclem  13148  pockthg  13156  4sqlem11  13200  4sqlem12  13201  4sqlem13m  13202  mplsubgfilemcl  15139  ssblex  15581  dedekindeulemuub  15767  dedekindeulemlu  15771  suplociccreex  15774  dedekindicclemuub  15776  dedekindicclemlu  15780  dedekindicc  15783  ivthinclemuopn  15788  hovera  15797  dveflem  15876  coseq00topi  15986  coseq0negpitopi  15987  cosordlem  16000  logbgcd1irraplemexp  16123  birthdaylem3  16146  ppiqltx  16183  perfectlem2  16198  bposlem1  16209  bposlem3  16211  lgsdirprm  16251  lgseisen  16291  lgsquadlem1  16294  lgsquadlem2  16295  2sqlem8  16340  qdencn  17170  cvgcmp2nlemabs  17179