Theorem lelttrd 8146

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lelttr 8110	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  ℝcr 7873   < clt 8056   ≤ cle 8057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-pre-ltwlin 7987

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-cnv 4668  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062

This theorem is referenced by:  lt2msq1  8906  ledivp1  8924  suprzclex  9418  btwnapz  9450  ge0p1rp  9754  elfzolt3  10227  exbtwnz  10322  btwnzge0  10372  flltdivnn0lt  10376  modqid  10423  mulqaddmodid  10438  modqsubdir  10467  seqf1oglem1  10593  seqf1oglem2  10594  nn0opthlem2d  10795  bcp1nk  10836  zfz1isolemiso  10913  resqrexlemover  11157  resqrexlemnm  11165  resqrexlemcvg  11166  resqrexlemglsq  11169  resqrexlemga  11170  abslt  11235  abs3lem  11258  fzomaxdiflem  11259  icodiamlt  11327  maxltsup  11365  reccn2ap  11459  expcnvre  11649  absltap  11655  cvgratnnlemfm  11675  cvgratnnlemrate  11676  mertenslemi1  11681  ef01bndlem  11902  sin01bnd  11903  cos01bnd  11904  sinltxirr  11907  eirraplem  11923  dvdslelemd  11988  isprm5lem  12282  sqrt2irrap  12321  eulerthlemrprm  12370  eulerthlema  12371  pcfaclem  12490  pockthg  12498  4sqlem11  12542  4sqlem12  12543  4sqlem13m  12544  ssblex  14610  dedekindeulemuub  14796  dedekindeulemlu  14800  suplociccreex  14803  dedekindicclemuub  14805  dedekindicclemlu  14809  dedekindicc  14812  ivthinclemuopn  14817  hovera  14826  dveflem  14905  coseq00topi  15011  coseq0negpitopi  15012  cosordlem  15025  logbgcd1irraplemexp  15141  lgsdirprm  15191  lgseisen  15231  lgsquadlem1  15234  lgsquadlem2  15235  2sqlem8  15280  qdencn  15587  cvgcmp2nlemabs  15592