Theorem lelttrd 8346

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lelttr 8310	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ℝcr 8074   < clt 8256   ≤ cle 8257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-pre-ltwlin 8188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262

This theorem is referenced by:  lt2msq1  9107  ledivp1  9125  suprzclex  9622  btwnapz  9654  ge0p1rp  9964  elfzolt3  10438  exbtwnz  10556  btwnzge0  10606  flltdivnn0lt  10610  modqid  10657  mulqaddmodid  10672  modqsubdir  10701  seqf1oglem1  10827  seqf1oglem2  10828  nn0opthlem2d  11029  bcp1nk  11070  zfz1isolemiso  11149  resqrexlemover  11633  resqrexlemnm  11641  resqrexlemcvg  11642  resqrexlemglsq  11645  resqrexlemga  11646  abslt  11711  abs3lem  11734  fzomaxdiflem  11735  icodiamlt  11803  maxltsup  11841  reccn2ap  11936  expcnvre  12127  absltap  12133  cvgratnnlemfm  12153  cvgratnnlemrate  12154  mertenslemi1  12159  ef01bndlem  12380  sin01bnd  12381  cos01bnd  12382  sinltxirr  12385  eirraplem  12401  dvdslelemd  12467  bitsfzolem  12578  bitsfzo  12579  bitsinv1lem  12585  isprm5lem  12776  sqrt2irrap  12815  eulerthlemrprm  12864  eulerthlema  12865  pcfaclem  12985  pockthg  12993  4sqlem11  13037  4sqlem12  13038  4sqlem13m  13039  mplsubgfilemcl  14783  ssblex  15225  dedekindeulemuub  15411  dedekindeulemlu  15415  suplociccreex  15418  dedekindicclemuub  15420  dedekindicclemlu  15424  dedekindicc  15427  ivthinclemuopn  15432  hovera  15441  dveflem  15520  coseq00topi  15629  coseq0negpitopi  15630  cosordlem  15643  logbgcd1irraplemexp  15762  perfectlem2  15797  lgsdirprm  15836  lgseisen  15876  lgsquadlem1  15879  lgsquadlem2  15880  2sqlem8  15925  qdencn  16738  cvgcmp2nlemabs  16747