Theorem lelttrd 8414

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lelttr 8378	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  ℝcr 8142   < clt 8324   ≤ cle 8325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-pre-ltwlin 8256

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-cnv 4762  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330

This theorem is referenced by:  lt2msq1  9176  ledivp1  9194  suprzclex  9694  btwnapz  9726  ge0p1rp  10036  elfzolt3  10514  exbtwnz  10634  btwnzge0  10684  flltdivnn0lt  10688  modqid  10735  mulqaddmodid  10750  modqsubdir  10779  seqf1oglem1  10905  seqf1oglem2  10906  nn0opthlem2d  11108  bcp1nk  11149  zfz1isolemiso  11236  resqrexlemover  11720  resqrexlemnm  11728  resqrexlemcvg  11729  resqrexlemglsq  11732  resqrexlemga  11733  abslt  11798  abs3lem  11821  fzomaxdiflem  11822  icodiamlt  11890  maxltsup  11928  reccn2ap  12023  expcnvre  12214  absltap  12220  cvgratnnlemfm  12240  cvgratnnlemrate  12241  mertenslemi1  12246  ef01bndlem  12467  sin01bnd  12468  cos01bnd  12469  sinltxirr  12472  eirraplem  12488  dvdslelemd  12554  bitsfzolem  12665  bitsfzo  12666  bitsinv1lem  12672  isprm5lem  12863  sqrt2irrap  12902  eulerthlemrprm  12951  eulerthlema  12952  pcfaclem  13072  pockthg  13080  4sqlem11  13124  4sqlem12  13125  4sqlem13m  13126  mplsubgfilemcl  14980  ssblex  15422  dedekindeulemuub  15608  dedekindeulemlu  15612  suplociccreex  15615  dedekindicclemuub  15617  dedekindicclemlu  15621  dedekindicc  15624  ivthinclemuopn  15629  hovera  15638  dveflem  15717  coseq00topi  15826  coseq0negpitopi  15827  cosordlem  15840  logbgcd1irraplemexp  15959  perfectlem2  15994  lgsdirprm  16033  lgseisen  16073  lgsquadlem1  16076  lgsquadlem2  16077  2sqlem8  16122  qdencn  16933  cvgcmp2nlemabs  16942