Theorem lelttrd 8347

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lelttr 8311	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ℝcr 8074   < clt 8257   ≤ cle 8258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-pre-ltwlin 8188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263

This theorem is referenced by:  lt2msq1  9108  ledivp1  9126  suprzclex  9621  btwnapz  9653  ge0p1rp  9963  elfzolt3  10436  exbtwnz  10554  btwnzge0  10604  flltdivnn0lt  10608  modqid  10655  mulqaddmodid  10670  modqsubdir  10699  seqf1oglem1  10825  seqf1oglem2  10826  nn0opthlem2d  11027  bcp1nk  11068  zfz1isolemiso  11147  resqrexlemover  11631  resqrexlemnm  11639  resqrexlemcvg  11640  resqrexlemglsq  11643  resqrexlemga  11644  abslt  11709  abs3lem  11732  fzomaxdiflem  11733  icodiamlt  11801  maxltsup  11839  reccn2ap  11934  expcnvre  12125  absltap  12131  cvgratnnlemfm  12151  cvgratnnlemrate  12152  mertenslemi1  12157  ef01bndlem  12378  sin01bnd  12379  cos01bnd  12380  sinltxirr  12383  eirraplem  12399  dvdslelemd  12465  bitsfzolem  12576  bitsfzo  12577  bitsinv1lem  12583  isprm5lem  12774  sqrt2irrap  12813  eulerthlemrprm  12862  eulerthlema  12863  pcfaclem  12983  pockthg  12991  4sqlem11  13035  4sqlem12  13036  4sqlem13m  13037  mplsubgfilemcl  14780  ssblex  15222  dedekindeulemuub  15408  dedekindeulemlu  15412  suplociccreex  15415  dedekindicclemuub  15417  dedekindicclemlu  15421  dedekindicc  15424  ivthinclemuopn  15429  hovera  15438  dveflem  15517  coseq00topi  15626  coseq0negpitopi  15627  cosordlem  15640  logbgcd1irraplemexp  15759  perfectlem2  15794  lgsdirprm  15833  lgseisen  15873  lgsquadlem1  15876  lgsquadlem2  15877  2sqlem8  15922  qdencn  16735  cvgcmp2nlemabs  16744