Theorem eceq1d 6637

Description: Equality theorem for equivalence class (deduction form). (Contributed by Jim Kingdon, 31-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
eceq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eceq1d	⊢ (𝜑 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Proof of Theorem eceq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eceq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		eceq1 6636	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364  [cec 6599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-ec 6603

This theorem is referenced by:  brecop  6693  eroveu  6694  th3qlem1  6705  th3qlem2  6706  th3q  6708  oviec  6709  ecovcom  6710  ecovicom  6711  ecovass  6712  ecoviass  6713  ecovdi  6714  ecovidi  6715  mulidnq  7475  recexnq  7476  ltexnqq  7494  archnqq  7503  prarloclemarch2  7505  addnq0mo  7533  mulnq0mo  7534  addnnnq0  7535  mulnnnq0  7536  nqnq0a  7540  nqnq0m  7541  nq0a0  7543  nnanq0  7544  distrnq0  7545  mulcomnq0  7546  addassnq0  7548  addpinq1  7550  nq02m  7551  prarloclemlo  7580  prarloclem3  7583  prarloclem5  7586  caucvgprlemnkj  7752  caucvgprlemnbj  7753  caucvgprlemm  7754  caucvgprlemdisj  7760  caucvgprlemloc  7761  caucvgprlemcl  7762  caucvgprlemladdfu  7763  caucvgprlemladdrl  7764  caucvgprlem1  7765  caucvgprlem2  7766  caucvgpr  7768  caucvgprprlemell  7771  caucvgprprlemelu  7772  caucvgprprlemcbv  7773  caucvgprprlemval  7774  caucvgprprlemnkeqj  7776  caucvgprprlemmu  7781  caucvgprprlemopl  7783  caucvgprprlemlol  7784  caucvgprprlemopu  7785  caucvgprprlemloc  7789  caucvgprprlemclphr  7791  caucvgprprlemexbt  7792  caucvgprprlem1  7795  caucvgprprlem2  7796  addsrmo  7829  mulsrmo  7830  addsrpr  7831  mulsrpr  7832  prsrriota  7874  caucvgsrlemfv  7877  caucvgsr  7888  suplocsrlemb  7892  suplocsrlempr  7893  suplocsrlem  7894  suplocsr  7895  pitonnlem2  7933  pitonn  7934  nntopi  7980  axcaucvglemval  7983  qus0  13443  qusinv  13444  qussub  13445  quscrng  14167