Theorem eceq1d 6637

Description: Equality theorem for equivalence class (deduction form). (Contributed by Jim Kingdon, 31-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
eceq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eceq1d	⊢ (𝜑 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Proof of Theorem eceq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eceq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		eceq1 6636	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364  [cec 6599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-ec 6603

This theorem is referenced by:  brecop  6693  eroveu  6694  th3qlem1  6705  th3qlem2  6706  th3q  6708  oviec  6709  ecovcom  6710  ecovicom  6711  ecovass  6712  ecoviass  6713  ecovdi  6714  ecovidi  6715  mulidnq  7473  recexnq  7474  ltexnqq  7492  archnqq  7501  prarloclemarch2  7503  addnq0mo  7531  mulnq0mo  7532  addnnnq0  7533  mulnnnq0  7534  nqnq0a  7538  nqnq0m  7539  nq0a0  7541  nnanq0  7542  distrnq0  7543  mulcomnq0  7544  addassnq0  7546  addpinq1  7548  nq02m  7549  prarloclemlo  7578  prarloclem3  7581  prarloclem5  7584  caucvgprlemnkj  7750  caucvgprlemnbj  7751  caucvgprlemm  7752  caucvgprlemdisj  7758  caucvgprlemloc  7759  caucvgprlemcl  7760  caucvgprlemladdfu  7761  caucvgprlemladdrl  7762  caucvgprlem1  7763  caucvgprlem2  7764  caucvgpr  7766  caucvgprprlemell  7769  caucvgprprlemelu  7770  caucvgprprlemcbv  7771  caucvgprprlemval  7772  caucvgprprlemnkeqj  7774  caucvgprprlemmu  7779  caucvgprprlemopl  7781  caucvgprprlemlol  7782  caucvgprprlemopu  7783  caucvgprprlemloc  7787  caucvgprprlemclphr  7789  caucvgprprlemexbt  7790  caucvgprprlem1  7793  caucvgprprlem2  7794  addsrmo  7827  mulsrmo  7828  addsrpr  7829  mulsrpr  7830  prsrriota  7872  caucvgsrlemfv  7875  caucvgsr  7886  suplocsrlemb  7890  suplocsrlempr  7891  suplocsrlem  7892  suplocsr  7893  pitonnlem2  7931  pitonn  7932  nntopi  7978  axcaucvglemval  7981  qus0  13441  qusinv  13442  qussub  13443  quscrng  14165