Theorem eceq1d 6847

Description: Equality theorem for equivalence class (deduction form). (Contributed by Jim Kingdon, 31-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
eceq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eceq1d	⊢ (𝜑 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Proof of Theorem eceq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eceq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		eceq1 6846	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  [cec 6809

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-ec 6813

This theorem is used by:  brecop  6903  eroveu  6904  th3qlem1  6915  th3qlem2  6916  th3q  6918  oviec  6919  ecovcom  6920  ecovicom  6921  ecovass  6922  ecoviass  6923  ecovdi  6924  ecovidi  6925  mulidnq  7763  recexnq  7764  ltexnqq  7782  archnqq  7791  prarloclemarch2  7793  addnq0mo  7821  mulnq0mo  7822  addnnnq0  7823  mulnnnq0  7824  nqnq0a  7828  nqnq0m  7829  nq0a0  7831  nnanq0  7832  distrnq0  7833  mulcomnq0  7834  addassnq0  7836  addpinq1  7838  nq02m  7839  prarloclemlo  7868  prarloclem3  7871  prarloclem5  7874  caucvgprlemnkj  8040  caucvgprlemnbj  8041  caucvgprlemm  8042  caucvgprlemdisj  8048  caucvgprlemloc  8049  caucvgprlemcl  8050  caucvgprlemladdfu  8051  caucvgprlemladdrl  8052  caucvgprlem1  8053  caucvgprlem2  8054  caucvgpr  8056  caucvgprprlemell  8059  caucvgprprlemelu  8060  caucvgprprlemcbv  8061  caucvgprprlemval  8062  caucvgprprlemnkeqj  8064  caucvgprprlemmu  8069  caucvgprprlemopl  8071  caucvgprprlemlol  8072  caucvgprprlemopu  8073  caucvgprprlemloc  8077  caucvgprprlemclphr  8079  caucvgprprlemexbt  8080  caucvgprprlem1  8083  caucvgprprlem2  8084  addsrmo  8117  mulsrmo  8118  addsrpr  8119  mulsrpr  8120  prsrriota  8162  caucvgsrlemfv  8165  caucvgsr  8176  suplocsrlemb  8180  suplocsrlempr  8181  suplocsrlem  8182  suplocsr  8183  pitonnlem2  8221  pitonn  8222  nntopi  8268  axcaucvglemval  8271  qus0  14098  qusinv  14099  qussub  14100  quscrng  14980