Theorem eceq1d 6733

Description: Equality theorem for equivalence class (deduction form). (Contributed by Jim Kingdon, 31-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
eceq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eceq1d	⊢ (𝜑 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Proof of Theorem eceq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eceq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		eceq1 6732	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395  [cec 6695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-cnv 4731  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-ec 6699

This theorem is referenced by:  brecop  6789  eroveu  6790  th3qlem1  6801  th3qlem2  6802  th3q  6804  oviec  6805  ecovcom  6806  ecovicom  6807  ecovass  6808  ecoviass  6809  ecovdi  6810  ecovidi  6811  mulidnq  7602  recexnq  7603  ltexnqq  7621  archnqq  7630  prarloclemarch2  7632  addnq0mo  7660  mulnq0mo  7661  addnnnq0  7662  mulnnnq0  7663  nqnq0a  7667  nqnq0m  7668  nq0a0  7670  nnanq0  7671  distrnq0  7672  mulcomnq0  7673  addassnq0  7675  addpinq1  7677  nq02m  7678  prarloclemlo  7707  prarloclem3  7710  prarloclem5  7713  caucvgprlemnkj  7879  caucvgprlemnbj  7880  caucvgprlemm  7881  caucvgprlemdisj  7887  caucvgprlemloc  7888  caucvgprlemcl  7889  caucvgprlemladdfu  7890  caucvgprlemladdrl  7891  caucvgprlem1  7892  caucvgprlem2  7893  caucvgpr  7895  caucvgprprlemell  7898  caucvgprprlemelu  7899  caucvgprprlemcbv  7900  caucvgprprlemval  7901  caucvgprprlemnkeqj  7903  caucvgprprlemmu  7908  caucvgprprlemopl  7910  caucvgprprlemlol  7911  caucvgprprlemopu  7912  caucvgprprlemloc  7916  caucvgprprlemclphr  7918  caucvgprprlemexbt  7919  caucvgprprlem1  7922  caucvgprprlem2  7923  addsrmo  7956  mulsrmo  7957  addsrpr  7958  mulsrpr  7959  prsrriota  8001  caucvgsrlemfv  8004  caucvgsr  8015  suplocsrlemb  8019  suplocsrlempr  8020  suplocsrlem  8021  suplocsr  8022  pitonnlem2  8060  pitonn  8061  nntopi  8107  axcaucvglemval  8110  qus0  13815  qusinv  13816  qussub  13817  quscrng  14540