Theorem eceq1d 6465

Description: Equality theorem for equivalence class (deduction form). (Contributed by Jim Kingdon, 31-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
eceq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eceq1d	⊢ (𝜑 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Proof of Theorem eceq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eceq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		eceq1 6464	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331  [cec 6427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-ec 6431

This theorem is referenced by:  brecop  6519  eroveu  6520  th3qlem1  6531  th3qlem2  6532  th3q  6534  oviec  6535  ecovcom  6536  ecovicom  6537  ecovass  6538  ecoviass  6539  ecovdi  6540  ecovidi  6541  mulidnq  7197  recexnq  7198  ltexnqq  7216  archnqq  7225  prarloclemarch2  7227  addnq0mo  7255  mulnq0mo  7256  addnnnq0  7257  mulnnnq0  7258  nqnq0a  7262  nqnq0m  7263  nq0a0  7265  nnanq0  7266  distrnq0  7267  mulcomnq0  7268  addassnq0  7270  addpinq1  7272  nq02m  7273  prarloclemlo  7302  prarloclem3  7305  prarloclem5  7308  caucvgprlemnkj  7474  caucvgprlemnbj  7475  caucvgprlemm  7476  caucvgprlemdisj  7482  caucvgprlemloc  7483  caucvgprlemcl  7484  caucvgprlemladdfu  7485  caucvgprlemladdrl  7486  caucvgprlem1  7487  caucvgprlem2  7488  caucvgpr  7490  caucvgprprlemell  7493  caucvgprprlemelu  7494  caucvgprprlemcbv  7495  caucvgprprlemval  7496  caucvgprprlemnkeqj  7498  caucvgprprlemmu  7503  caucvgprprlemopl  7505  caucvgprprlemlol  7506  caucvgprprlemopu  7507  caucvgprprlemloc  7511  caucvgprprlemclphr  7513  caucvgprprlemexbt  7514  caucvgprprlem1  7517  caucvgprprlem2  7518  addsrmo  7551  mulsrmo  7552  addsrpr  7553  mulsrpr  7554  prsrriota  7596  caucvgsrlemfv  7599  caucvgsr  7610  suplocsrlemb  7614  suplocsrlempr  7615  suplocsrlem  7616  suplocsr  7617  pitonnlem2  7655  pitonn  7656  nntopi  7702  axcaucvglemval  7705