Theorem eceq1d 6571

Description: Equality theorem for equivalence class (deduction form). (Contributed by Jim Kingdon, 31-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
eceq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eceq1d	⊢ (𝜑 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Proof of Theorem eceq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eceq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		eceq1 6570	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353  [cec 6533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-br 4005  df-opab 4066  df-xp 4633  df-cnv 4635  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-ec 6537

This theorem is referenced by:  brecop  6625  eroveu  6626  th3qlem1  6637  th3qlem2  6638  th3q  6640  oviec  6641  ecovcom  6642  ecovicom  6643  ecovass  6644  ecoviass  6645  ecovdi  6646  ecovidi  6647  mulidnq  7388  recexnq  7389  ltexnqq  7407  archnqq  7416  prarloclemarch2  7418  addnq0mo  7446  mulnq0mo  7447  addnnnq0  7448  mulnnnq0  7449  nqnq0a  7453  nqnq0m  7454  nq0a0  7456  nnanq0  7457  distrnq0  7458  mulcomnq0  7459  addassnq0  7461  addpinq1  7463  nq02m  7464  prarloclemlo  7493  prarloclem3  7496  prarloclem5  7499  caucvgprlemnkj  7665  caucvgprlemnbj  7666  caucvgprlemm  7667  caucvgprlemdisj  7673  caucvgprlemloc  7674  caucvgprlemcl  7675  caucvgprlemladdfu  7676  caucvgprlemladdrl  7677  caucvgprlem1  7678  caucvgprlem2  7679  caucvgpr  7681  caucvgprprlemell  7684  caucvgprprlemelu  7685  caucvgprprlemcbv  7686  caucvgprprlemval  7687  caucvgprprlemnkeqj  7689  caucvgprprlemmu  7694  caucvgprprlemopl  7696  caucvgprprlemlol  7697  caucvgprprlemopu  7698  caucvgprprlemloc  7702  caucvgprprlemclphr  7704  caucvgprprlemexbt  7705  caucvgprprlem1  7708  caucvgprprlem2  7709  addsrmo  7742  mulsrmo  7743  addsrpr  7744  mulsrpr  7745  prsrriota  7787  caucvgsrlemfv  7790  caucvgsr  7801  suplocsrlemb  7805  suplocsrlempr  7806  suplocsrlem  7807  suplocsr  7808  pitonnlem2  7846  pitonn  7847  nntopi  7893  axcaucvglemval  7896