Theorem eceq1d 6837

Description: Equality theorem for equivalence class (deduction form). (Contributed by Jim Kingdon, 31-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
eceq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eceq1d	⊢ (𝜑 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Proof of Theorem eceq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eceq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		eceq1 6836	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402  [cec 6799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-br 4129  df-opab 4191  df-xp 4778  df-cnv 4780  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-ec 6803

This theorem is referenced by:  brecop  6893  eroveu  6894  th3qlem1  6905  th3qlem2  6906  th3q  6908  oviec  6909  ecovcom  6910  ecovicom  6911  ecovass  6912  ecoviass  6913  ecovdi  6914  ecovidi  6915  mulidnq  7750  recexnq  7751  ltexnqq  7769  archnqq  7778  prarloclemarch2  7780  addnq0mo  7808  mulnq0mo  7809  addnnnq0  7810  mulnnnq0  7811  nqnq0a  7815  nqnq0m  7816  nq0a0  7818  nnanq0  7819  distrnq0  7820  mulcomnq0  7821  addassnq0  7823  addpinq1  7825  nq02m  7826  prarloclemlo  7855  prarloclem3  7858  prarloclem5  7861  caucvgprlemnkj  8027  caucvgprlemnbj  8028  caucvgprlemm  8029  caucvgprlemdisj  8035  caucvgprlemloc  8036  caucvgprlemcl  8037  caucvgprlemladdfu  8038  caucvgprlemladdrl  8039  caucvgprlem1  8040  caucvgprlem2  8041  caucvgpr  8043  caucvgprprlemell  8046  caucvgprprlemelu  8047  caucvgprprlemcbv  8048  caucvgprprlemval  8049  caucvgprprlemnkeqj  8051  caucvgprprlemmu  8056  caucvgprprlemopl  8058  caucvgprprlemlol  8059  caucvgprprlemopu  8060  caucvgprprlemloc  8064  caucvgprprlemclphr  8066  caucvgprprlemexbt  8067  caucvgprprlem1  8070  caucvgprprlem2  8071  addsrmo  8104  mulsrmo  8105  addsrpr  8106  mulsrpr  8107  prsrriota  8149  caucvgsrlemfv  8152  caucvgsr  8163  suplocsrlemb  8167  suplocsrlempr  8168  suplocsrlem  8169  suplocsr  8170  pitonnlem2  8208  pitonn  8209  nntopi  8255  axcaucvglemval  8258  qus0  14021  qusinv  14022  qussub  14023  quscrng  14853