Theorem fzospliti 9984

Description: One direction of splitting a half-open integer range in half. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzospliti	⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐷) ∨ 𝐴 ∈ (𝐷..^𝐶)))

Proof of Theorem fzospliti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
2		elfzoelz 9955	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)
3	2	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		zlelttric 9123	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐷 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐷))
5	1, 3, 4	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐷))
6	5	orcomd 719	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐷 ∨ 𝐷 ≤ 𝐴))
7		elfzole1 9963	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ≤ 𝐴)
8	7	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ≤ 𝐴)
9	8	a1d 22	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐷 → 𝐵 ≤ 𝐴))
10	9	ancrd 324	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐷 → (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷)))
11		elfzolt2 9964	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
12	11	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 < 𝐶)
13	12	a1d 22	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐶))
14	13	ancld 323	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷 ≤ 𝐴 → (𝐷 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
15	10, 14	orim12d 776	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐴 < 𝐷 ∨ 𝐷 ≤ 𝐴) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷) ∨ (𝐷 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))))
16	6, 15	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷) ∨ (𝐷 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
17		elfzoel1 9953	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
18	17	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
19		elfzo 9957	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐷) ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷)))
20	3, 18, 1, 19	syl3anc 1217	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐷) ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷)))
21		elfzoel2 9954	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
22	21	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
23		elfzo 9957	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐷..^𝐶) ↔ (𝐷 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
24	3, 1, 22, 23	syl3anc 1217	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐷..^𝐶) ↔ (𝐷 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
25	20, 24	orbi12d 783	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐷) ∨ 𝐴 ∈ (𝐷..^𝐶)) ↔ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷) ∨ (𝐷 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))))
26	16, 25	mpbird 166	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐷) ∨ 𝐴 ∈ (𝐷..^𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   < clt 7824   ≤ cle 7825  ℤcz 9078  ..^cfzo 9950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822  df-fzo 9951

This theorem is referenced by:  fzosplit  9985  fzocatel  10007  dfphi2  11932