Theorem fzospliti 10587

Description: One direction of splitting a half-open integer range in half. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzospliti	⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐷) ∨ 𝐴 ∈ (𝐷..^𝐶)))

Proof of Theorem fzospliti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
2		elfzoelz 10556	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)
3	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		zlelttric 9691	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐷 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐷))
5	1, 3, 4	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐷))
6	5	orcomd 741	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐷 ∨ 𝐷 ≤ 𝐴))
7		elfzole1 10565	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ≤ 𝐴)
8	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ≤ 𝐴)
9	8	a1d 22	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐷 → 𝐵 ≤ 𝐴))
10	9	ancrd 326	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐷 → (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷)))
11		elfzolt2 10566	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
12	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 < 𝐶)
13	12	a1d 22	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐶))
14	13	ancld 325	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷 ≤ 𝐴 → (𝐷 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
15	10, 14	orim12d 798	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐴 < 𝐷 ∨ 𝐷 ≤ 𝐴) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷) ∨ (𝐷 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))))
16	6, 15	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷) ∨ (𝐷 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
17		elfzoel1 10554	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
18	17	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
19		elfzo 10558	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐷) ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷)))
20	3, 18, 1, 19	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐷) ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷)))
21		elfzoel2 10555	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
22	21	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
23		elfzo 10558	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐷..^𝐶) ↔ (𝐷 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
24	3, 1, 22, 23	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐷..^𝐶) ↔ (𝐷 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
25	20, 24	orbi12d 805	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐷) ∨ 𝐴 ∈ (𝐷..^𝐶)) ↔ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷) ∨ (𝐷 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))))
26	16, 25	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐷) ∨ 𝐴 ∈ (𝐷..^𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   < clt 8360   ≤ cle 8361  ℤcz 9646  ..^cfzo 10551

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-fz 10414  df-fzo 10552

This theorem is used by:  fzosplit  10588  fzocatel  10619  ccatass  11378  ccatswrd  11444  ccatpfx  11475  dfphi2  13000