ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzospliti GIF version

Theorem fzospliti 9552
Description: One direction of splitting a half-open integer range in half. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzospliti ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐷) ∨ 𝐴 ∈ (𝐷..^𝐶)))

Proof of Theorem fzospliti
StepHypRef Expression
1 simpr 108 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
2 elfzoelz 9523 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)
32adantr 270 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4 zlelttric 8765 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐷𝐴𝐴 < 𝐷))
51, 3, 4syl2anc 403 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷𝐴𝐴 < 𝐷))
65orcomd 683 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐷𝐷𝐴))
7 elfzole1 9531 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵𝐴)
87adantr 270 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵𝐴)
98a1d 22 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐷𝐵𝐴))
109ancrd 319 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐷 → (𝐵𝐴𝐴 < 𝐷)))
11 elfzolt2 9532 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
1211adantr 270 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 < 𝐶)
1312a1d 22 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷𝐴𝐴 < 𝐶))
1413ancld 318 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷𝐴 → (𝐷𝐴𝐴 < 𝐶)))
1510, 14orim12d 735 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐴 < 𝐷𝐷𝐴) → ((𝐵𝐴𝐴 < 𝐷) ∨ (𝐷𝐴𝐴 < 𝐶))))
166, 15mpd 13 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐵𝐴𝐴 < 𝐷) ∨ (𝐷𝐴𝐴 < 𝐶)))
17 elfzoel1 9521 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
1817adantr 270 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
19 elfzo 9525 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐷) ↔ (𝐵𝐴𝐴 < 𝐷)))
203, 18, 1, 19syl3anc 1174 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐷) ↔ (𝐵𝐴𝐴 < 𝐷)))
21 elfzoel2 9522 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
2221adantr 270 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
23 elfzo 9525 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐷..^𝐶) ↔ (𝐷𝐴𝐴 < 𝐶)))
243, 1, 22, 23syl3anc 1174 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐷..^𝐶) ↔ (𝐷𝐴𝐴 < 𝐶)))
2520, 24orbi12d 742 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐷) ∨ 𝐴 ∈ (𝐷..^𝐶)) ↔ ((𝐵𝐴𝐴 < 𝐷) ∨ (𝐷𝐴𝐴 < 𝐶))))
2616, 25mpbird 165 1 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐷) ∨ 𝐴 ∈ (𝐷..^𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wo 664  wcel 1438   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634   < clt 7501  cle 7502  cz 8720  ..^cfzo 9518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394  df-fzo 9519
This theorem is referenced by:  fzosplit  9553  fzocatel  9575  dfphi2  11278
  Copyright terms: Public domain W3C validator