Theorem elfzoel2 10267

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fzo 10264	. 2 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
2	1	elmpocl2 6142	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175  (class class class)co 5943  1c1 7925   − cmin 8242  ℤcz 9371  ...cfz 10129  ..^cfzo 10263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-fzo 10264

This theorem is referenced by:  elfzoelz  10268  elfzo2  10271  elfzole1  10277  elfzolt2  10278  elfzolt3  10279  elfzolt2b  10280  elfzolt3b  10281  fzonel  10282  elfzouz2  10283  fzonnsub  10291  fzoss1  10293  fzospliti  10298  fzodisj  10300  fzoaddel  10314  fzo0addelr  10316  elfzoextl  10318  elfzoext  10319  elincfzoext  10320  fzosubel  10321  fzoend  10349  ssfzo12  10351  fzofzp1  10354  peano2fzor  10359  fzostep1  10364  iseqf1olemqk  10650  fzomaxdiflem  11365  fzo0dvdseq  12110  fzocongeq  12111  addmodlteqALT  12112  gsumfzfsumlemm  14291