Theorem elfzoel2 10570

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fzo 10567	. 2 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
2	1	elmpocl2 6289	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  1c1 8186   − cmin 8504  ℤcz 9655  ...cfz 10428  ..^cfzo 10566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-fzo 10567

This theorem is used by:  elfzoelz  10571  elfzo2  10574  elfzole1  10580  elfzolt2  10581  elfzolt3  10582  elfzolt2b  10583  elfzolt3b  10584  fzonel  10585  elfzouz2  10586  fzonnsub  10595  fzoss1  10597  fzospliti  10602  fzodisj  10604  fzoaddel  10622  fzo0addelr  10624  elfzoextl  10626  elfzoext  10627  elincfzoext  10628  fzosubel  10629  fzoend  10657  ssfzo12  10659  fzofzp1  10662  peano2fzor  10667  fzostep1  10673  iseqf1olemqk  10965  fzomaxdiflem  11901  fzo0dvdseq  12649  fzocongeq  12650  addmodlteqALT  12651  trlsegvdeglem6  16911