Theorem elfzoel2 10288

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fzo 10285	. 2 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
2	1	elmpocl2 6156	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177  (class class class)co 5957  1c1 7946   − cmin 8263  ℤcz 9392  ...cfz 10150  ..^cfzo 10284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-fzo 10285

This theorem is referenced by:  elfzoelz  10289  elfzo2  10292  elfzole1  10298  elfzolt2  10299  elfzolt3  10300  elfzolt2b  10301  elfzolt3b  10302  fzonel  10303  elfzouz2  10304  fzonnsub  10313  fzoss1  10315  fzospliti  10320  fzodisj  10322  fzoaddel  10338  fzo0addelr  10340  elfzoextl  10342  elfzoext  10343  elincfzoext  10344  fzosubel  10345  fzoend  10373  ssfzo12  10375  fzofzp1  10378  peano2fzor  10383  fzostep1  10388  iseqf1olemqk  10674  fzomaxdiflem  11498  fzo0dvdseq  12243  fzocongeq  12244  addmodlteqALT  12245  gsumfzfsumlemm  14424