Theorem elfzoel2 10381

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fzo 10378	. 2 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
2	1	elmpocl2 6219	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6018  1c1 8033   − cmin 8350  ℤcz 9479  ...cfz 10243  ..^cfzo 10377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-fzo 10378

This theorem is referenced by:  elfzoelz  10382  elfzo2  10385  elfzole1  10391  elfzolt2  10392  elfzolt3  10393  elfzolt2b  10394  elfzolt3b  10395  fzonel  10396  elfzouz2  10397  fzonnsub  10406  fzoss1  10408  fzospliti  10413  fzodisj  10415  fzoaddel  10433  fzo0addelr  10435  elfzoextl  10437  elfzoext  10438  elincfzoext  10439  fzosubel  10440  fzoend  10468  ssfzo12  10470  fzofzp1  10473  peano2fzor  10478  fzostep1  10484  iseqf1olemqk  10770  fzomaxdiflem  11690  fzo0dvdseq  12436  fzocongeq  12437  addmodlteqALT  12438  gsumfzfsumlemm  14620  trlsegvdeglem6  16335