Theorem elfzoel2 10371

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fzo 10368	. 2 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
2	1	elmpocl2 6214	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6013  1c1 8023   − cmin 8340  ℤcz 9469  ...cfz 10233  ..^cfzo 10367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-fzo 10368

This theorem is referenced by:  elfzoelz  10372  elfzo2  10375  elfzole1  10381  elfzolt2  10382  elfzolt3  10383  elfzolt2b  10384  elfzolt3b  10385  fzonel  10386  elfzouz2  10387  fzonnsub  10396  fzoss1  10398  fzospliti  10403  fzodisj  10405  fzoaddel  10422  fzo0addelr  10424  elfzoextl  10426  elfzoext  10427  elincfzoext  10428  fzosubel  10429  fzoend  10457  ssfzo12  10459  fzofzp1  10462  peano2fzor  10467  fzostep1  10473  iseqf1olemqk  10759  fzomaxdiflem  11663  fzo0dvdseq  12408  fzocongeq  12409  addmodlteqALT  12410  gsumfzfsumlemm  14591