Theorem elfzoel2 10426

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fzo 10423	. 2 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
2	1	elmpocl2 6229	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6028  1c1 8076   − cmin 8392  ℤcz 9523  ...cfz 10288  ..^cfzo 10422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-fzo 10423

This theorem is referenced by:  elfzoelz  10427  elfzo2  10430  elfzole1  10436  elfzolt2  10437  elfzolt3  10438  elfzolt2b  10439  elfzolt3b  10440  fzonel  10441  elfzouz2  10442  fzonnsub  10451  fzoss1  10453  fzospliti  10458  fzodisj  10460  fzoaddel  10478  fzo0addelr  10480  elfzoextl  10482  elfzoext  10483  elincfzoext  10484  fzosubel  10485  fzoend  10513  ssfzo12  10515  fzofzp1  10518  peano2fzor  10523  fzostep1  10529  iseqf1olemqk  10815  fzomaxdiflem  11735  fzo0dvdseq  12481  fzocongeq  12482  addmodlteqALT  12483  gsumfzfsumlemm  14666  trlsegvdeglem6  16389