Theorem elfzoel2 10502

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fzo 10499	. 2 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
2	1	elmpocl2 6259	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  (class class class)co 6058  1c1 8144   − cmin 8460  ℤcz 9594  ...cfz 10361  ..^cfzo 10498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-fzo 10499

This theorem is referenced by:  elfzoelz  10503  elfzo2  10506  elfzole1  10512  elfzolt2  10513  elfzolt3  10514  elfzolt2b  10515  elfzolt3b  10516  fzonel  10517  elfzouz2  10518  fzonnsub  10527  fzoss1  10529  fzospliti  10534  fzodisj  10536  fzoaddel  10554  fzo0addelr  10556  elfzoextl  10558  elfzoext  10559  elincfzoext  10560  fzosubel  10561  fzoend  10589  ssfzo12  10591  fzofzp1  10594  peano2fzor  10599  fzostep1  10605  iseqf1olemqk  10893  fzomaxdiflem  11822  fzo0dvdseq  12568  fzocongeq  12569  addmodlteqALT  12570  gsumfzfsumlemm  14861  trlsegvdeglem6  16586