Theorem elfzoel2 10350

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fzo 10347	. 2 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
2	1	elmpocl2 6208	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6007  1c1 8008   − cmin 8325  ℤcz 9454  ...cfz 10212  ..^cfzo 10346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-fzo 10347

This theorem is referenced by:  elfzoelz  10351  elfzo2  10354  elfzole1  10360  elfzolt2  10361  elfzolt3  10362  elfzolt2b  10363  elfzolt3b  10364  fzonel  10365  elfzouz2  10366  fzonnsub  10375  fzoss1  10377  fzospliti  10382  fzodisj  10384  fzoaddel  10401  fzo0addelr  10403  elfzoextl  10405  elfzoext  10406  elincfzoext  10407  fzosubel  10408  fzoend  10436  ssfzo12  10438  fzofzp1  10441  peano2fzor  10446  fzostep1  10451  iseqf1olemqk  10737  fzomaxdiflem  11631  fzo0dvdseq  12376  fzocongeq  12377  addmodlteqALT  12378  gsumfzfsumlemm  14559