Theorem elfzoel2 10380

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fzo 10377	. 2 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
2	1	elmpocl2 6218	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6017  1c1 8032   − cmin 8349  ℤcz 9478  ...cfz 10242  ..^cfzo 10376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-fzo 10377

This theorem is referenced by:  elfzoelz  10381  elfzo2  10384  elfzole1  10390  elfzolt2  10391  elfzolt3  10392  elfzolt2b  10393  elfzolt3b  10394  fzonel  10395  elfzouz2  10396  fzonnsub  10405  fzoss1  10407  fzospliti  10412  fzodisj  10414  fzoaddel  10431  fzo0addelr  10433  elfzoextl  10435  elfzoext  10436  elincfzoext  10437  fzosubel  10438  fzoend  10466  ssfzo12  10468  fzofzp1  10471  peano2fzor  10476  fzostep1  10482  iseqf1olemqk  10768  fzomaxdiflem  11672  fzo0dvdseq  12417  fzocongeq  12418  addmodlteqALT  12419  gsumfzfsumlemm  14600  trlsegvdeglem6  16315