Theorem elfzoelz 10381

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10379	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2		elfzoel2 10380	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
3		fzof 10378	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
4	3	fovcl 6126	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
5	1, 2, 4	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
6	5	elpwid 3663	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ⊆ ℤ)
7		id 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶))
8	6, 7	sseldd 3228	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  𝒫 cpw 3652  (class class class)co 6017  ℤcz 9478  ..^cfzo 10376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-fz 10243  df-fzo 10377

This theorem is referenced by:  elfzo2  10384  elfzole1  10390  elfzolt2  10391  elfzolt3  10392  elfzolt2b  10393  elfzouz2  10396  fzonnsub  10405  fzospliti  10412  fzodisj  10414  fzodisjsn  10418  fzonmapblen  10425  fzoaddel  10431  elincfzoext  10437  fzosubel  10438  modaddmodup  10648  modaddmodlo  10649  modfzo0difsn  10656  modsumfzodifsn  10657  addmodlteq  10659  iseqf1olemqk  10768  seq3f1olemp  10776  seqfeq4g  10792  ccatcl  11169  ccatlen  11171  ccatval2  11174  ccatval3  11175  ccatvalfn  11177  ccatlid  11182  ccatass  11184  ccatrn  11185  ccatalpha  11189  swrdlen  11232  swrdfv  11233  swrdfv0  11234  swrdfv2  11243  swrdwrdsymbg  11244  swrdspsleq  11247  swrds1  11248  ccatswrd  11250  pfxfv  11264  ccatpfx  11281  swrdswrd  11285  pfxccatin12lem2a  11307  swrdccatin2  11309  pfxccatin12lem2  11311  pfxccatin12  11313  fzomaxdiflem  11672  fzomaxdif  11673  fzo0dvdseq  12417  fzocongeq  12418  addmodlteqALT  12419  crth  12795  phimullem  12796  eulerthlem1  12798  eulerthlemfi  12799  eulerthlemrprm  12800  hashgcdlem  12809  hashgcdeq  12811  phisum  12812  reumodprminv  12825  modprm0  12826  nnnn0modprm0  12827  modprmn0modprm0  12828  4sqlemafi  12967  nninfdclemlt  13071  gsumfzfsumlemm  14600  znf1o  14664  wlk1walkdom  16209  clwwlkccatlem  16250  trlsegvdeglem6  16315  trilpolemeq1  16644