Theorem elfzoelz 10571

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10569	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2		elfzoel2 10570	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
3		fzof 10568	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
4	3	fovcl 6197	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
5	1, 2, 4	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
6	5	elpwid 3700	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ⊆ ℤ)
7		id 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶))
8	6, 7	sseldd 3249	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  𝒫 cpw 3688  (class class class)co 6088  ℤcz 9655  ..^cfzo 10566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-fz 10429  df-fzo 10567

This theorem is used by:  elfzo2  10574  elfzole1  10580  elfzolt2  10581  elfzolt3  10582  elfzolt2b  10583  elfzouz2  10586  fzonnsub  10595  fzospliti  10602  fzodisj  10604  fzodisjsn  10608  fzonmapblen  10616  fzoaddel  10622  elincfzoext  10628  fzosubel  10629  modaddmodup  10845  modaddmodlo  10846  modfzo0difsn  10853  modsumfzodifsn  10854  addmodlteq  10856  iseqf1olemqk  10965  seq3f1olemp  10973  seqfeq4g  10989  ccatcl  11383  ccatlen  11385  ccatval2  11388  ccatval3  11389  ccatvalfn  11391  ccatlid  11396  ccatass  11398  ccatrn  11399  ccatalpha  11403  swrdlen  11446  swrdfv  11447  swrdfv0  11448  swrdfv2  11457  swrdwrdsymbg  11458  swrdspsleq  11461  swrds1  11462  ccatswrd  11464  pfxfv  11478  ccatpfx  11495  swrdswrd  11499  pfxccatin12lem2a  11521  swrdccatin2  11523  pfxccatin12lem2  11525  pfxccatin12  11527  fzomaxdiflem  11901  fzomaxdif  11902  fzo0dvdseq  12649  fzocongeq  12650  addmodlteqALT  12651  crth  13031  phimullem  13032  eulerthlem1  13034  eulerthlemfi  13035  eulerthlemrprm  13036  hashgcdlem  13045  hashgcdeq  13047  phisum  13048  reumodprminv  13061  modprm0  13062  nnnn0modprm0  13063  modprmn0modprm0  13064  4sqlemafi  13203  nninfdclemlt  13400  znf1o  15095  wlk1walkdom  16805  clwwlkccatlem  16846  trlsegvdeglem6  16911  trilpolemeq1  17296