Theorem elfzoelz 10554

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10552	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2		elfzoel2 10553	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
3		fzof 10551	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
4	3	fovcl 6194	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
5	1, 2, 4	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
6	5	elpwid 3700	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ⊆ ℤ)
7		id 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶))
8	6, 7	sseldd 3249	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  𝒫 cpw 3688  (class class class)co 6085  ℤcz 9644  ..^cfzo 10549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-fz 10412  df-fzo 10550

This theorem is used by:  elfzo2  10557  elfzole1  10563  elfzolt2  10564  elfzolt3  10565  elfzolt2b  10566  elfzouz2  10569  fzonnsub  10578  fzospliti  10585  fzodisj  10587  fzodisjsn  10591  fzonmapblen  10599  fzoaddel  10605  elincfzoext  10611  fzosubel  10612  modaddmodup  10824  modaddmodlo  10825  modfzo0difsn  10832  modsumfzodifsn  10833  addmodlteq  10835  iseqf1olemqk  10944  seq3f1olemp  10952  seqfeq4g  10968  ccatcl  11361  ccatlen  11363  ccatval2  11366  ccatval3  11367  ccatvalfn  11369  ccatlid  11374  ccatass  11376  ccatrn  11377  ccatalpha  11381  swrdlen  11424  swrdfv  11425  swrdfv0  11426  swrdfv2  11435  swrdwrdsymbg  11436  swrdspsleq  11439  swrds1  11440  ccatswrd  11442  pfxfv  11456  ccatpfx  11473  swrdswrd  11477  pfxccatin12lem2a  11499  swrdccatin2  11501  pfxccatin12lem2  11503  pfxccatin12  11505  fzomaxdiflem  11878  fzomaxdif  11879  fzo0dvdseq  12624  fzocongeq  12625  addmodlteqALT  12626  crth  13002  phimullem  13003  eulerthlem1  13005  eulerthlemfi  13006  eulerthlemrprm  13007  hashgcdlem  13016  hashgcdeq  13018  phisum  13019  reumodprminv  13032  modprm0  13033  nnnn0modprm0  13034  modprmn0modprm0  13035  4sqlemafi  13174  nninfdclemlt  13342  znf1o  14986  wlk1walkdom  16600  clwwlkccatlem  16641  trlsegvdeglem6  16706  trilpolemeq1  17089