Theorem elfzoelz 10355

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10353	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2		elfzoel2 10354	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
3		fzof 10352	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
4	3	fovcl 6116	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
5	1, 2, 4	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
6	5	elpwid 3660	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ⊆ ℤ)
7		id 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶))
8	6, 7	sseldd 3225	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  𝒫 cpw 3649  (class class class)co 6007  ℤcz 9457  ..^cfzo 10350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-fz 10217  df-fzo 10351

This theorem is referenced by:  elfzo2  10358  elfzole1  10364  elfzolt2  10365  elfzolt3  10366  elfzolt2b  10367  elfzouz2  10370  fzonnsub  10379  fzospliti  10386  fzodisj  10388  fzodisjsn  10392  fzonmapblen  10399  fzoaddel  10405  elincfzoext  10411  fzosubel  10412  modaddmodup  10621  modaddmodlo  10622  modfzo0difsn  10629  modsumfzodifsn  10630  addmodlteq  10632  iseqf1olemqk  10741  seq3f1olemp  10749  seqfeq4g  10765  ccatcl  11141  ccatlen  11143  ccatval2  11146  ccatval3  11147  ccatvalfn  11149  ccatlid  11154  ccatass  11156  ccatrn  11157  ccatalpha  11161  swrdlen  11199  swrdfv  11200  swrdfv0  11201  swrdfv2  11210  swrdwrdsymbg  11211  swrdspsleq  11214  swrds1  11215  ccatswrd  11217  pfxfv  11231  ccatpfx  11248  swrdswrd  11252  pfxccatin12lem2a  11274  swrdccatin2  11276  pfxccatin12lem2  11278  pfxccatin12  11280  fzomaxdiflem  11638  fzomaxdif  11639  fzo0dvdseq  12383  fzocongeq  12384  addmodlteqALT  12385  crth  12761  phimullem  12762  eulerthlem1  12764  eulerthlemfi  12765  eulerthlemrprm  12766  hashgcdlem  12775  hashgcdeq  12777  phisum  12778  reumodprminv  12791  modprm0  12792  nnnn0modprm0  12793  modprmn0modprm0  12794  4sqlemafi  12933  nninfdclemlt  13037  gsumfzfsumlemm  14566  znf1o  14630  wlk1walkdom  16100  clwwlkccatlem  16137  trilpolemeq1  16468