Theorem elfzoelz 10532

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10530	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2		elfzoel2 10531	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
3		fzof 10529	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
4	3	fovcl 6184	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
5	1, 2, 4	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
6	5	elpwid 3696	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ⊆ ℤ)
7		id 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶))
8	6, 7	sseldd 3249	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209  𝒫 cpw 3685  (class class class)co 6075  ℤcz 9623  ..^cfzo 10527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-fz 10391  df-fzo 10528

This theorem is referenced by:  elfzo2  10535  elfzole1  10541  elfzolt2  10542  elfzolt3  10543  elfzolt2b  10544  elfzouz2  10547  fzonnsub  10556  fzospliti  10563  fzodisj  10565  fzodisjsn  10569  fzonmapblen  10577  fzoaddel  10583  elincfzoext  10589  fzosubel  10590  modaddmodup  10802  modaddmodlo  10803  modfzo0difsn  10810  modsumfzodifsn  10811  addmodlteq  10813  iseqf1olemqk  10922  seq3f1olemp  10930  seqfeq4g  10946  ccatcl  11339  ccatlen  11341  ccatval2  11344  ccatval3  11345  ccatvalfn  11347  ccatlid  11352  ccatass  11354  ccatrn  11355  ccatalpha  11359  swrdlen  11402  swrdfv  11403  swrdfv0  11404  swrdfv2  11413  swrdwrdsymbg  11414  swrdspsleq  11417  swrds1  11418  ccatswrd  11420  pfxfv  11434  ccatpfx  11451  swrdswrd  11455  pfxccatin12lem2a  11477  swrdccatin2  11479  pfxccatin12lem2  11481  pfxccatin12  11483  fzomaxdiflem  11856  fzomaxdif  11857  fzo0dvdseq  12602  fzocongeq  12603  addmodlteqALT  12604  crth  12980  phimullem  12981  eulerthlem1  12983  eulerthlemfi  12984  eulerthlemrprm  12985  hashgcdlem  12994  hashgcdeq  12996  phisum  12997  reumodprminv  13010  modprm0  13011  nnnn0modprm0  13012  modprmn0modprm0  13013  4sqlemafi  13152  nninfdclemlt  13320  znf1o  14958  wlk1walkdom  16514  clwwlkccatlem  16555  trlsegvdeglem6  16620  trilpolemeq1  16994