Theorem elfzoelz 10503

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10501	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2		elfzoel2 10502	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
3		fzof 10500	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
4	3	fovcl 6167	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
5	1, 2, 4	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
6	5	elpwid 3685	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ⊆ ℤ)
7		id 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶))
8	6, 7	sseldd 3243	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  𝒫 cpw 3674  (class class class)co 6058  ℤcz 9594  ..^cfzo 10498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-fz 10362  df-fzo 10499

This theorem is referenced by:  elfzo2  10506  elfzole1  10512  elfzolt2  10513  elfzolt3  10514  elfzolt2b  10515  elfzouz2  10518  fzonnsub  10527  fzospliti  10534  fzodisj  10536  fzodisjsn  10540  fzonmapblen  10548  fzoaddel  10554  elincfzoext  10560  fzosubel  10561  modaddmodup  10773  modaddmodlo  10774  modfzo0difsn  10781  modsumfzodifsn  10782  addmodlteq  10784  iseqf1olemqk  10893  seq3f1olemp  10901  seqfeq4g  10917  ccatcl  11306  ccatlen  11308  ccatval2  11311  ccatval3  11312  ccatvalfn  11314  ccatlid  11319  ccatass  11321  ccatrn  11322  ccatalpha  11326  swrdlen  11369  swrdfv  11370  swrdfv0  11371  swrdfv2  11380  swrdwrdsymbg  11381  swrdspsleq  11384  swrds1  11385  ccatswrd  11387  pfxfv  11401  ccatpfx  11418  swrdswrd  11422  pfxccatin12lem2a  11444  swrdccatin2  11446  pfxccatin12lem2  11448  pfxccatin12  11450  fzomaxdiflem  11822  fzomaxdif  11823  fzo0dvdseq  12568  fzocongeq  12569  addmodlteqALT  12570  crth  12946  phimullem  12947  eulerthlem1  12949  eulerthlemfi  12950  eulerthlemrprm  12951  hashgcdlem  12960  hashgcdeq  12962  phisum  12963  reumodprminv  12976  modprm0  12977  nnnn0modprm0  12978  modprmn0modprm0  12979  4sqlemafi  13118  nninfdclemlt  13286  gsumfzfsumlemm  14861  znf1o  14925  wlk1walkdom  16480  clwwlkccatlem  16521  trlsegvdeglem6  16586  trilpolemeq1  16950