Theorem elfzoelz 10360

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10358	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2		elfzoel2 10359	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
3		fzof 10357	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
4	3	fovcl 6119	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
5	1, 2, 4	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
6	5	elpwid 3660	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ⊆ ℤ)
7		id 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶))
8	6, 7	sseldd 3225	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  𝒫 cpw 3649  (class class class)co 6010  ℤcz 9462  ..^cfzo 10355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-n0 9386  df-z 9463  df-fz 10222  df-fzo 10356

This theorem is referenced by:  elfzo2  10363  elfzole1  10369  elfzolt2  10370  elfzolt3  10371  elfzolt2b  10372  elfzouz2  10375  fzonnsub  10384  fzospliti  10391  fzodisj  10393  fzodisjsn  10397  fzonmapblen  10404  fzoaddel  10410  elincfzoext  10416  fzosubel  10417  modaddmodup  10626  modaddmodlo  10627  modfzo0difsn  10634  modsumfzodifsn  10635  addmodlteq  10637  iseqf1olemqk  10746  seq3f1olemp  10754  seqfeq4g  10770  ccatcl  11146  ccatlen  11148  ccatval2  11151  ccatval3  11152  ccatvalfn  11154  ccatlid  11159  ccatass  11161  ccatrn  11162  ccatalpha  11166  swrdlen  11205  swrdfv  11206  swrdfv0  11207  swrdfv2  11216  swrdwrdsymbg  11217  swrdspsleq  11220  swrds1  11221  ccatswrd  11223  pfxfv  11237  ccatpfx  11254  swrdswrd  11258  pfxccatin12lem2a  11280  swrdccatin2  11282  pfxccatin12lem2  11284  pfxccatin12  11286  fzomaxdiflem  11644  fzomaxdif  11645  fzo0dvdseq  12389  fzocongeq  12390  addmodlteqALT  12391  crth  12767  phimullem  12768  eulerthlem1  12770  eulerthlemfi  12771  eulerthlemrprm  12772  hashgcdlem  12781  hashgcdeq  12783  phisum  12784  reumodprminv  12797  modprm0  12798  nnnn0modprm0  12799  modprmn0modprm0  12800  4sqlemafi  12939  nninfdclemlt  13043  gsumfzfsumlemm  14572  znf1o  14636  wlk1walkdom  16131  clwwlkccatlem  16169  trilpolemeq1  16522