Theorem elfzoelz 10564

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10562	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2		elfzoel2 10563	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
3		fzof 10561	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
4	3	fovcl 6194	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
5	1, 2, 4	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
6	5	elpwid 3700	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ⊆ ℤ)
7		id 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶))
8	6, 7	sseldd 3249	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  𝒫 cpw 3688  (class class class)co 6085  ℤcz 9648  ..^cfzo 10559

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-inn 9307  df-n0 9568  df-z 9649  df-fz 10422  df-fzo 10560

This theorem is used by:  elfzo2  10567  elfzole1  10573  elfzolt2  10574  elfzolt3  10575  elfzolt2b  10576  elfzouz2  10579  fzonnsub  10588  fzospliti  10595  fzodisj  10597  fzodisjsn  10601  fzonmapblen  10609  fzoaddel  10615  elincfzoext  10621  fzosubel  10622  modaddmodup  10837  modaddmodlo  10838  modfzo0difsn  10845  modsumfzodifsn  10846  addmodlteq  10848  iseqf1olemqk  10957  seq3f1olemp  10965  seqfeq4g  10981  ccatcl  11375  ccatlen  11377  ccatval2  11380  ccatval3  11381  ccatvalfn  11383  ccatlid  11388  ccatass  11390  ccatrn  11391  ccatalpha  11395  swrdlen  11438  swrdfv  11439  swrdfv0  11440  swrdfv2  11449  swrdwrdsymbg  11450  swrdspsleq  11453  swrds1  11454  ccatswrd  11456  pfxfv  11470  ccatpfx  11487  swrdswrd  11491  pfxccatin12lem2a  11513  swrdccatin2  11515  pfxccatin12lem2  11517  pfxccatin12  11519  fzomaxdiflem  11893  fzomaxdif  11894  fzo0dvdseq  12640  fzocongeq  12641  addmodlteqALT  12642  crth  13022  phimullem  13023  eulerthlem1  13025  eulerthlemfi  13026  eulerthlemrprm  13027  hashgcdlem  13036  hashgcdeq  13038  phisum  13039  reumodprminv  13052  modprm0  13053  nnnn0modprm0  13054  modprmn0modprm0  13055  4sqlemafi  13194  nninfdclemlt  13391  znf1o  15035  wlk1walkdom  16698  clwwlkccatlem  16739  trlsegvdeglem6  16804  trilpolemeq1  17187