Theorem elfzoelz 10289

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10287	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2		elfzoel2 10288	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
3		fzof 10286	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
4	3	fovcl 6064	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
5	1, 2, 4	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
6	5	elpwid 3632	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ⊆ ℤ)
7		id 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶))
8	6, 7	sseldd 3198	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177  𝒫 cpw 3621  (class class class)co 5957  ℤcz 9392  ..^cfzo 10284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393  df-fz 10151  df-fzo 10285

This theorem is referenced by:  elfzo2  10292  elfzole1  10298  elfzolt2  10299  elfzolt3  10300  elfzolt2b  10301  elfzouz2  10304  fzonnsub  10313  fzospliti  10320  fzodisj  10322  fzodisjsn  10326  fzonmapblen  10333  fzoaddel  10338  elincfzoext  10344  fzosubel  10345  modaddmodup  10554  modaddmodlo  10555  modfzo0difsn  10562  modsumfzodifsn  10563  addmodlteq  10565  iseqf1olemqk  10674  seq3f1olemp  10682  seqfeq4g  10698  ccatcl  11072  ccatlen  11074  ccatval2  11077  ccatval3  11078  ccatvalfn  11080  ccatlid  11085  ccatass  11087  ccatrn  11088  swrdlen  11128  swrdfv  11129  swrdfv0  11130  swrdfv2  11139  swrdwrdsymbg  11140  swrdspsleq  11143  swrds1  11144  ccatswrd  11146  pfxfv  11160  ccatpfx  11177  swrdswrd  11181  fzomaxdiflem  11498  fzomaxdif  11499  fzo0dvdseq  12243  fzocongeq  12244  addmodlteqALT  12245  crth  12621  phimullem  12622  eulerthlem1  12624  eulerthlemfi  12625  eulerthlemrprm  12626  hashgcdlem  12635  hashgcdeq  12637  phisum  12638  reumodprminv  12651  modprm0  12652  nnnn0modprm0  12653  modprmn0modprm0  12654  4sqlemafi  12793  nninfdclemlt  12897  gsumfzfsumlemm  14424  znf1o  14488  trilpolemeq1  16120