Theorem elfzoelz 10372

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10370	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2		elfzoel2 10371	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
3		fzof 10369	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
4	3	fovcl 6122	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
5	1, 2, 4	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
6	5	elpwid 3661	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ⊆ ℤ)
7		id 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶))
8	6, 7	sseldd 3226	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  𝒫 cpw 3650  (class class class)co 6013  ℤcz 9469  ..^cfzo 10367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-fz 10234  df-fzo 10368

This theorem is referenced by:  elfzo2  10375  elfzole1  10381  elfzolt2  10382  elfzolt3  10383  elfzolt2b  10384  elfzouz2  10387  fzonnsub  10396  fzospliti  10403  fzodisj  10405  fzodisjsn  10409  fzonmapblen  10416  fzoaddel  10422  elincfzoext  10428  fzosubel  10429  modaddmodup  10639  modaddmodlo  10640  modfzo0difsn  10647  modsumfzodifsn  10648  addmodlteq  10650  iseqf1olemqk  10759  seq3f1olemp  10767  seqfeq4g  10783  ccatcl  11160  ccatlen  11162  ccatval2  11165  ccatval3  11166  ccatvalfn  11168  ccatlid  11173  ccatass  11175  ccatrn  11176  ccatalpha  11180  swrdlen  11223  swrdfv  11224  swrdfv0  11225  swrdfv2  11234  swrdwrdsymbg  11235  swrdspsleq  11238  swrds1  11239  ccatswrd  11241  pfxfv  11255  ccatpfx  11272  swrdswrd  11276  pfxccatin12lem2a  11298  swrdccatin2  11300  pfxccatin12lem2  11302  pfxccatin12  11304  fzomaxdiflem  11663  fzomaxdif  11664  fzo0dvdseq  12408  fzocongeq  12409  addmodlteqALT  12410  crth  12786  phimullem  12787  eulerthlem1  12789  eulerthlemfi  12790  eulerthlemrprm  12791  hashgcdlem  12800  hashgcdeq  12802  phisum  12803  reumodprminv  12816  modprm0  12817  nnnn0modprm0  12818  modprmn0modprm0  12819  4sqlemafi  12958  nninfdclemlt  13062  gsumfzfsumlemm  14591  znf1o  14655  wlk1walkdom  16156  clwwlkccatlem  16195  trilpolemeq1  16580