Theorem elfzoelz 10339

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10337	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2		elfzoel2 10338	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
3		fzof 10336	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
4	3	fovcl 6109	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
5	1, 2, 4	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
6	5	elpwid 3660	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ⊆ ℤ)
7		id 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶))
8	6, 7	sseldd 3225	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  𝒫 cpw 3649  (class class class)co 6000  ℤcz 9442  ..^cfzo 10334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-fz 10201  df-fzo 10335

This theorem is referenced by:  elfzo2  10342  elfzole1  10348  elfzolt2  10349  elfzolt3  10350  elfzolt2b  10351  elfzouz2  10354  fzonnsub  10363  fzospliti  10370  fzodisj  10372  fzodisjsn  10376  fzonmapblen  10383  fzoaddel  10388  elincfzoext  10394  fzosubel  10395  modaddmodup  10604  modaddmodlo  10605  modfzo0difsn  10612  modsumfzodifsn  10613  addmodlteq  10615  iseqf1olemqk  10724  seq3f1olemp  10732  seqfeq4g  10748  ccatcl  11123  ccatlen  11125  ccatval2  11128  ccatval3  11129  ccatvalfn  11131  ccatlid  11136  ccatass  11138  ccatrn  11139  swrdlen  11179  swrdfv  11180  swrdfv0  11181  swrdfv2  11190  swrdwrdsymbg  11191  swrdspsleq  11194  swrds1  11195  ccatswrd  11197  pfxfv  11211  ccatpfx  11228  swrdswrd  11232  pfxccatin12lem2a  11254  swrdccatin2  11256  pfxccatin12lem2  11258  pfxccatin12  11260  fzomaxdiflem  11618  fzomaxdif  11619  fzo0dvdseq  12363  fzocongeq  12364  addmodlteqALT  12365  crth  12741  phimullem  12742  eulerthlem1  12744  eulerthlemfi  12745  eulerthlemrprm  12746  hashgcdlem  12755  hashgcdeq  12757  phisum  12758  reumodprminv  12771  modprm0  12772  nnnn0modprm0  12773  modprmn0modprm0  12774  4sqlemafi  12913  nninfdclemlt  13017  gsumfzfsumlemm  14545  znf1o  14609  trilpolemeq1  16367