Theorem fzoval 10305

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10302	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ))
3		elfzel1 10181	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ))
5		peano2zm 9445	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
6		fzf 10169	. . . . . . . 8 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
7	6	fovcl 6074	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ)
8	5, 7	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ)
9		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑀 → 𝑦 = 𝑀)
10		oveq1 5974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (𝑧 − 1) = (𝑁 − 1))
11	9, 10	oveqan12d 5986	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = 𝑀 ∧ 𝑧 = 𝑁) → (𝑦...(𝑧 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
12		df-fzo 10300	. . . . . . 7 ⊢ ..^ = (𝑦 ∈ ℤ, 𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑦...(𝑧 − 1)))
13	11, 12	ovmpoga 6098	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
14	8, 13	mpd3an3 1351	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
15	14	eleq2d 2277	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
16	15	expcom 116	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))))
17	2, 4, 16	pm5.21ndd 707	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
18	17	eqrdv 2205	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  𝒫 cpw 3626  (class class class)co 5967  1c1 7961   − cmin 8278  ℤcz 9407  ...cfz 10165  ..^cfzo 10299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-fzo 10300

This theorem is referenced by:  elfzo  10306  fzodcel  10310  fzon  10324  fzoss1  10330  fzoss2  10331  fzval3  10370  fzo0to2pr  10384  fzo0to3tp  10385  fzo0to42pr  10386  fzoend  10388  fzofzp1b  10394  elfzom1b  10395  peano2fzor  10398  fzoshftral  10404  zmodfzo  10529  zmodidfzo  10535  fzofig  10614  hashfzo  11004  wrdffz  11052  fzosump1  11843  telfsumo  11892  fsumparts  11896  geoserap  11933  geo2sum2  11941  dfphi2  12657  reumodprminv  12691  gsumwsubmcl  13443  gsumwmhm  13445