ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzoval GIF version

Theorem fzoval 9524
Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzoval (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoel1 9521 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
21a1i 9 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ))
3 elfzel1 9408 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
43a1i 9 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ))
5 peano2zm 8758 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
6 fzf 9397 . . . . . . . 8 ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
76fovcl 5732 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ)
85, 7sylan2 280 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ)
9 id 19 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑀𝑦 = 𝑀)
10 oveq1 5641 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑁 → (𝑧 − 1) = (𝑁 − 1))
119, 10oveqan12d 5653 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑀𝑧 = 𝑁) → (𝑦...(𝑧 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
12 df-fzo 9519 . . . . . . 7 ..^ = (𝑦 ∈ ℤ, 𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑦...(𝑧 − 1)))
1311, 12ovmpt2ga 5756 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
148, 13mpd3an3 1274 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
1514eleq2d 2157 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
1615expcom 114 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))))
172, 4, 16pm5.21ndd 656 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
1817eqrdv 2086 1 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wcel 1438  𝒫 cpw 3425  (class class class)co 5634  1c1 7330  cmin 7632  cz 8720  ...cfz 9393  ..^cfzo 9518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394  df-fzo 9519
This theorem is referenced by:  elfzo  9525  fzodcel  9528  fzon  9542  fzoss1  9547  fzoss2  9548  fzval3  9580  fzo0to2pr  9594  fzo0to3tp  9595  fzo0to42pr  9596  fzoend  9598  fzofzp1b  9604  elfzom1b  9605  peano2fzor  9608  fzoshftral  9614  zmodfzo  9719  zmodidfzo  9725  fzofig  9804  hashfzo  10195  fzosump1  10774  telfsumo  10823  fsumparts  10827  geoserap  10862  geo2sum2  10870  dfphi2  11278
  Copyright terms: Public domain W3C validator