Theorem fzoval 10572

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10569	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ))
3		elfzel1 10444	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ))
5		peano2zm 9693	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
6		fzf 10432	. . . . . . . 8 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
7	6	fovcl 6197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ)
8	5, 7	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ)
9		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑀 → 𝑦 = 𝑀)
10		oveq1 6095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (𝑧 − 1) = (𝑁 − 1))
11	9, 10	oveqan12d 6107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = 𝑀 ∧ 𝑧 = 𝑁) → (𝑦...(𝑧 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
12		df-fzo 10567	. . . . . . 7 ⊢ ..^ = (𝑦 ∈ ℤ, 𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑦...(𝑧 − 1)))
13	11, 12	ovmpoga 6221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
14	8, 13	mpd3an3 1379	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
15	14	eleq2d 2308	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
16	15	expcom 116	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))))
17	2, 4, 16	pm5.21ndd 717	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
18	17	eqrdv 2236	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  𝒫 cpw 3688  (class class class)co 6088  1c1 8186   − cmin 8504  ℤcz 9655  ...cfz 10428  ..^cfzo 10566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567

This theorem is used by:  elfzo  10573  fzodcel  10577  fzon  10591  fzoss1  10597  fzoss2  10598  fz1fzo0m1  10618  fzval3  10639  fzo0to2pr  10653  fzo0to3tp  10654  fzo0to42pr  10655  fzoend  10657  fzofzp1b  10663  elfzom1b  10664  peano2fzor  10667  fzoshftral  10674  zmodfzo  10805  zmodidfzo  10811  fzofig  10890  hashfzo  11285  wrdffz  11347  fzosump1  12209  telfsumo  12258  fsumparts  12262  geoserap  12299  geo2sum2  12307  dfphi2  13027  reumodprminv  13061  gzsumwsubmcl  13860  gzsumwmhm  13862