Theorem fzoval 10240

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10237	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ))
3		elfzel1 10116	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ))
5		peano2zm 9381	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
6		fzf 10104	. . . . . . . 8 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
7	6	fovcl 6032	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ)
8	5, 7	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ)
9		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑀 → 𝑦 = 𝑀)
10		oveq1 5932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (𝑧 − 1) = (𝑁 − 1))
11	9, 10	oveqan12d 5944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = 𝑀 ∧ 𝑧 = 𝑁) → (𝑦...(𝑧 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
12		df-fzo 10235	. . . . . . 7 ⊢ ..^ = (𝑦 ∈ ℤ, 𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑦...(𝑧 − 1)))
13	11, 12	ovmpoga 6056	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
14	8, 13	mpd3an3 1349	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
15	14	eleq2d 2266	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
16	15	expcom 116	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))))
17	2, 4, 16	pm5.21ndd 706	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
18	17	eqrdv 2194	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  𝒫 cpw 3606  (class class class)co 5925  1c1 7897   − cmin 8214  ℤcz 9343  ...cfz 10100  ..^cfzo 10234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101  df-fzo 10235

This theorem is referenced by:  elfzo  10241  fzodcel  10245  fzon  10259  fzoss1  10264  fzoss2  10265  fzval3  10297  fzo0to2pr  10311  fzo0to3tp  10312  fzo0to42pr  10313  fzoend  10315  fzofzp1b  10321  elfzom1b  10322  peano2fzor  10325  fzoshftral  10331  zmodfzo  10456  zmodidfzo  10462  fzofig  10541  hashfzo  10931  wrdffz  10973  fzosump1  11599  telfsumo  11648  fsumparts  11652  geoserap  11689  geo2sum2  11697  dfphi2  12413  reumodprminv  12447  gsumwsubmcl  13198  gsumwmhm  13200