Theorem fzostep1 10403

Description: Two possibilities for a number one greater than a number in a half-open range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzostep1	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → ((𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^𝐶) ∨ (𝐴 + 1) = 𝐶))

Proof of Theorem fzostep1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10302	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2		uzid 9697	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
3		peano2uz 9739	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐵) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐵))
4		fzoss1 10330	. . . 4 ⊢ ((𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐵) → ((𝐵 + 1)..^(𝐶 + 1)) ⊆ (𝐵..^(𝐶 + 1)))
5	1, 2, 3, 4	4syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → ((𝐵 + 1)..^(𝐶 + 1)) ⊆ (𝐵..^(𝐶 + 1)))
6		1z 9433	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		fzoaddel 10353	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴 + 1) ∈ ((𝐵 + 1)..^(𝐶 + 1)))
8	6, 7	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐴 + 1) ∈ ((𝐵 + 1)..^(𝐶 + 1)))
9	5, 8	sseldd 3202	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^(𝐶 + 1)))
10		elfzoel2 10303	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
11		elfzolt3 10315	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
12		zre 9411	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
13		zre 9411	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
14		ltle 8195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐵 ≤ 𝐶))
15	12, 13, 14	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐵 ≤ 𝐶))
16	1, 10, 15	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐵 ≤ 𝐶))
17	11, 16	mpd 13	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ≤ 𝐶)
18		eluz2 9689	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
19	1, 10, 17, 18	syl3anbrc 1184	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
20		fzosplitsni 10401	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) → ((𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^(𝐶 + 1)) ↔ ((𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^𝐶) ∨ (𝐴 + 1) = 𝐶)))
21	19, 20	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → ((𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^(𝐶 + 1)) ↔ ((𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^𝐶) ∨ (𝐴 + 1) = 𝐶)))
22	9, 21	mpbid 147	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → ((𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^𝐶) ∨ (𝐴 + 1) = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 710   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   ⊆ wss 3174   class class class wbr 4059  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  ℝcr 7959  1c1 7961   + caddc 7963   < clt 8142   ≤ cle 8143  ℤcz 9407  ℤ_≥cuz 9683  ..^cfzo 10299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-fzo 10300

This theorem is referenced by: (None)