ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzostep1 GIF version

Theorem fzostep1 9907
Description: Two possibilities for a number one greater than a number in a half-open range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzostep1 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → ((𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^𝐶) ∨ (𝐴 + 1) = 𝐶))

Proof of Theorem fzostep1
StepHypRef Expression
1 elfzoel1 9815 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2 uzid 9242 . . . 4 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ (ℤ𝐵))
3 peano2uz 9280 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐵) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ𝐵))
4 fzoss1 9841 . . . 4 ((𝐵 + 1) ∈ (ℤ𝐵) → ((𝐵 + 1)..^(𝐶 + 1)) ⊆ (𝐵..^(𝐶 + 1)))
51, 2, 3, 44syl 18 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → ((𝐵 + 1)..^(𝐶 + 1)) ⊆ (𝐵..^(𝐶 + 1)))
6 1z 8984 . . . 4 1 ∈ ℤ
7 fzoaddel 9862 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴 + 1) ∈ ((𝐵 + 1)..^(𝐶 + 1)))
86, 7mpan2 419 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐴 + 1) ∈ ((𝐵 + 1)..^(𝐶 + 1)))
95, 8sseldd 3064 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^(𝐶 + 1)))
10 elfzoel2 9816 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
11 elfzolt3 9827 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
12 zre 8962 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
13 zre 8962 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
14 ltle 7774 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶𝐵𝐶))
1512, 13, 14syl2an 285 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐶𝐵𝐶))
161, 10, 15syl2anc 406 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 < 𝐶𝐵𝐶))
1711, 16mpd 13 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵𝐶)
18 eluz2 9234 . . . 4 (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐶))
191, 10, 17, 18syl3anbrc 1148 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐵))
20 fzosplitsni 9905 . . 3 (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) → ((𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^(𝐶 + 1)) ↔ ((𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^𝐶) ∨ (𝐴 + 1) = 𝐶)))
2119, 20syl 14 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → ((𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^(𝐶 + 1)) ↔ ((𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^𝐶) ∨ (𝐴 + 1) = 𝐶)))
229, 21mpbid 146 1 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → ((𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^𝐶) ∨ (𝐴 + 1) = 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104  wo 680   = wceq 1314  wcel 1463  wss 3037   class class class wbr 3895  cfv 5081  (class class class)co 5728  cr 7546  1c1 7548   + caddc 7550   < clt 7724  cle 7725  cz 8958  cuz 9228  ..^cfzo 9812
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-fz 9684  df-fzo 9813
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator