ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzostep1 GIF version

Theorem fzostep1 10269
Description: Two possibilities for a number one greater than a number in a half-open range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzostep1 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → ((𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^𝐶) ∨ (𝐴 + 1) = 𝐶))

Proof of Theorem fzostep1
StepHypRef Expression
1 elfzoel1 10177 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2 uzid 9573 . . . 4 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ (ℤ𝐵))
3 peano2uz 9615 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐵) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ𝐵))
4 fzoss1 10203 . . . 4 ((𝐵 + 1) ∈ (ℤ𝐵) → ((𝐵 + 1)..^(𝐶 + 1)) ⊆ (𝐵..^(𝐶 + 1)))
51, 2, 3, 44syl 18 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → ((𝐵 + 1)..^(𝐶 + 1)) ⊆ (𝐵..^(𝐶 + 1)))
6 1z 9310 . . . 4 1 ∈ ℤ
7 fzoaddel 10224 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴 + 1) ∈ ((𝐵 + 1)..^(𝐶 + 1)))
86, 7mpan2 425 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐴 + 1) ∈ ((𝐵 + 1)..^(𝐶 + 1)))
95, 8sseldd 3171 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^(𝐶 + 1)))
10 elfzoel2 10178 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
11 elfzolt3 10189 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
12 zre 9288 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
13 zre 9288 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
14 ltle 8076 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶𝐵𝐶))
1512, 13, 14syl2an 289 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐶𝐵𝐶))
161, 10, 15syl2anc 411 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 < 𝐶𝐵𝐶))
1711, 16mpd 13 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵𝐶)
18 eluz2 9565 . . . 4 (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐶))
191, 10, 17, 18syl3anbrc 1183 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐵))
20 fzosplitsni 10267 . . 3 (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) → ((𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^(𝐶 + 1)) ↔ ((𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^𝐶) ∨ (𝐴 + 1) = 𝐶)))
2119, 20syl 14 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → ((𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^(𝐶 + 1)) ↔ ((𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^𝐶) ∨ (𝐴 + 1) = 𝐶)))
229, 21mpbid 147 1 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → ((𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^𝐶) ∨ (𝐴 + 1) = 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105  wo 709   = wceq 1364  wcel 2160  wss 3144   class class class wbr 4018  cfv 5235  (class class class)co 5897  cr 7841  1c1 7843   + caddc 7845   < clt 8023  cle 8024  cz 9284  cuz 9559  ..^cfzo 10174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-fz 10041  df-fzo 10175
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator