ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzoaddel GIF version

Theorem fzoaddel 9969
Description: Translate membership in a half-open integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzoaddel ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)..^(𝐶 + 𝐷)))

Proof of Theorem fzoaddel
StepHypRef Expression
1 elfzoel1 9922 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
21adantr 274 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
32zred 9173 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 elfzoelz 9924 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)
54adantr 274 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
65zred 9173 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
7 simpr 109 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
87zred 9173 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℝ)
9 elfzole1 9932 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵𝐴)
109adantr 274 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵𝐴)
113, 6, 8, 10leadd1dd 8321 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐵 + 𝐷) ≤ (𝐴 + 𝐷))
12 elfzoel2 9923 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
1312adantr 274 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
1413zred 9173 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℝ)
15 elfzolt2 9933 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
1615adantr 274 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 < 𝐶)
176, 14, 8, 16ltadd1dd 8318 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷))
18 zaddcl 9094 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℤ)
194, 18sylan 281 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℤ)
20 zaddcl 9094 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℤ)
211, 20sylan 281 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℤ)
22 zaddcl 9094 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℤ)
2312, 22sylan 281 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℤ)
24 elfzo 9926 . . 3 (((𝐴 + 𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝐵 + 𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)..^(𝐶 + 𝐷)) ↔ ((𝐵 + 𝐷) ≤ (𝐴 + 𝐷) ∧ (𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷))))
2519, 21, 23, 24syl3anc 1216 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)..^(𝐶 + 𝐷)) ↔ ((𝐵 + 𝐷) ≤ (𝐴 + 𝐷) ∧ (𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷))))
2611, 17, 25mpbir2and 928 1 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)..^(𝐶 + 𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   + caddc 7623   < clt 7800  cle 7801  cz 9054  ..^cfzo 9919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791  df-fzo 9920
This theorem is referenced by:  fzoaddel2  9970  fzosubel  9971  fzofzp1  10004  fzostep1  10014
  Copyright terms: Public domain W3C validator