Theorem fzoaddel 10433

Description: Translate membership in a half-open integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoaddel	⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)..^(𝐶 + 𝐷)))

Proof of Theorem fzoaddel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10380	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
3	2	zred 9602	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		elfzoelz 10382	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)
5	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	zred 9602	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
8	7	zred 9602	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℝ)
9		elfzole1 10391	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ≤ 𝐴)
10	9	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ≤ 𝐴)
11	3, 6, 8, 10	leadd1dd 8739	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐵 + 𝐷) ≤ (𝐴 + 𝐷))
12		elfzoel2 10381	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
13	12	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
14	13	zred 9602	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℝ)
15		elfzolt2 10392	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
16	15	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 < 𝐶)
17	6, 14, 8, 16	ltadd1dd 8736	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷))
18		zaddcl 9519	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℤ)
19	4, 18	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℤ)
20		zaddcl 9519	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℤ)
21	1, 20	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℤ)
22		zaddcl 9519	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℤ)
23	12, 22	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℤ)
24		elfzo 10384	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝐵 + 𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)..^(𝐶 + 𝐷)) ↔ ((𝐵 + 𝐷) ≤ (𝐴 + 𝐷) ∧ (𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷))))
25	19, 21, 23, 24	syl3anc 1273	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)..^(𝐶 + 𝐷)) ↔ ((𝐵 + 𝐷) ≤ (𝐴 + 𝐷) ∧ (𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷))))
26	11, 17, 25	mpbir2and 952	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)..^(𝐶 + 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018   + caddc 8035   < clt 8214   ≤ cle 8215  ℤcz 9479  ..^cfzo 10377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378

This theorem is referenced by:  fzo0addel  10434  fzoaddel2  10436  fzosubel  10440  fzofzp1  10473  fzostep1  10484