Theorem fzoaddel 10285

Description: Translate membership in a half-open integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoaddel	⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)..^(𝐶 + 𝐷)))

Proof of Theorem fzoaddel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10237	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
3	2	zred 9465	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		elfzoelz 10239	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)
5	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	zred 9465	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
8	7	zred 9465	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℝ)
9		elfzole1 10248	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ≤ 𝐴)
10	9	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ≤ 𝐴)
11	3, 6, 8, 10	leadd1dd 8603	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐵 + 𝐷) ≤ (𝐴 + 𝐷))
12		elfzoel2 10238	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
13	12	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
14	13	zred 9465	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℝ)
15		elfzolt2 10249	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
16	15	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 < 𝐶)
17	6, 14, 8, 16	ltadd1dd 8600	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷))
18		zaddcl 9383	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℤ)
19	4, 18	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℤ)
20		zaddcl 9383	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℤ)
21	1, 20	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℤ)
22		zaddcl 9383	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℤ)
23	12, 22	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℤ)
24		elfzo 10241	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝐵 + 𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)..^(𝐶 + 𝐷)) ↔ ((𝐵 + 𝐷) ≤ (𝐴 + 𝐷) ∧ (𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷))))
25	19, 21, 23, 24	syl3anc 1249	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)..^(𝐶 + 𝐷)) ↔ ((𝐵 + 𝐷) ≤ (𝐴 + 𝐷) ∧ (𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷))))
26	11, 17, 25	mpbir2and 946	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)..^(𝐶 + 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925   + caddc 7899   < clt 8078   ≤ cle 8079  ℤcz 9343  ..^cfzo 10234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101  df-fzo 10235

This theorem is referenced by:  fzoaddel2  10286  fzosubel  10287  fzofzp1  10320  fzostep1  10330