Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzocongeq GIF version

Theorem fzocongeq 11742
 Description: Two different elements of a half-open range are not congruent mod its length. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzocongeq ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷𝐶) ∥ (𝐴𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem fzocongeq
StepHypRef Expression
1 elfzoel2 10038 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
2 elfzoel1 10037 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐶 ∈ ℤ)
31, 2zsubcld 9285 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → (𝐷𝐶) ∈ ℤ)
43adantl 275 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐷𝐶) ∈ ℤ)
5 elfzoelz 10039 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐴 ∈ ℤ)
6 elfzoelz 10039 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐵 ∈ ℤ)
7 zsubcl 9202 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
85, 6, 7syl2an 287 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
9 dvdsabsb 11698 . . . 4 (((𝐷𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) → ((𝐷𝐶) ∥ (𝐴𝐵) ↔ (𝐷𝐶) ∥ (abs‘(𝐴𝐵))))
104, 8, 9syl2anc 409 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷𝐶) ∥ (𝐴𝐵) ↔ (𝐷𝐶) ∥ (abs‘(𝐴𝐵))))
11 fzomaxdif 11006 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ (0..^(𝐷𝐶)))
12 fzo0dvdseq 11741 . . . 4 ((abs‘(𝐴𝐵)) ∈ (0..^(𝐷𝐶)) → ((𝐷𝐶) ∥ (abs‘(𝐴𝐵)) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) = 0))
1311, 12syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷𝐶) ∥ (abs‘(𝐴𝐵)) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) = 0))
1410, 13bitrd 187 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷𝐶) ∥ (𝐴𝐵) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) = 0))
155zcnd 9281 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
166zcnd 9281 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐵 ∈ ℂ)
17 subcl 8068 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
1815, 16, 17syl2an 287 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
1918abs00ad 10958 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((abs‘(𝐴𝐵)) = 0 ↔ (𝐴𝐵) = 0))
20 subeq0 8095 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
2115, 16, 20syl2an 287 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
2219, 21bitrd 187 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((abs‘(𝐴𝐵)) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
2314, 22bitrd 187 1 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷𝐶) ∥ (𝐴𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3965  ‘cfv 5169  (class class class)co 5821  ℂcc 7724  0cc0 7726   − cmin 8040  ℤcz 9161  ..^cfzo 10034  abscabs 10890   ∥ cdvds 11676 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844  ax-arch 7845  ax-caucvg 7846 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-frec 6335  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-2 8886  df-3 8887  df-4 8888  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-q 9522  df-rp 9554  df-fz 9906  df-fzo 10035  df-seqfrec 10338  df-exp 10412  df-cj 10735  df-re 10736  df-im 10737  df-rsqrt 10891  df-abs 10892  df-dvds 11677 This theorem is referenced by:  addmodlteqALT  11743
 Copyright terms: Public domain W3C validator