Theorem fzocongeq 11866

Description: Two different elements of a half-open range are not congruent mod its length. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzocongeq	⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷 − 𝐶) ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem fzocongeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel2 10148	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
2		elfzoel1 10147	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐶 ∈ ℤ)
3	1, 2	zsubcld 9382	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → (𝐷 − 𝐶) ∈ ℤ)
4	3	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐷 − 𝐶) ∈ ℤ)
5		elfzoelz 10149	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐴 ∈ ℤ)
6		elfzoelz 10149	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐵 ∈ ℤ)
7		zsubcl 9296	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
8	5, 6, 7	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
9		dvdsabsb 11819	. . . 4 ⊢ (((𝐷 − 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → ((𝐷 − 𝐶) ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ (𝐷 − 𝐶) ∥ (abs‘(𝐴 − 𝐵))))
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷 − 𝐶) ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ (𝐷 − 𝐶) ∥ (abs‘(𝐴 − 𝐵))))
11		fzomaxdif 11124	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (0..^(𝐷 − 𝐶)))
12		fzo0dvdseq 11865	. . . 4 ⊢ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (0..^(𝐷 − 𝐶)) → ((𝐷 − 𝐶) ∥ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = 0))
13	11, 12	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷 − 𝐶) ∥ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = 0))
14	10, 13	bitrd 188	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷 − 𝐶) ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = 0))
15	5	zcnd 9378	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
16	6	zcnd 9378	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐵 ∈ ℂ)
17		subcl 8158	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
18	15, 16, 17	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
19	18	abs00ad 11076	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 − 𝐵) = 0))
20		subeq0 8185	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
21	15, 16, 20	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
22	19, 21	bitrd 188	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
23	14, 22	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷 − 𝐶) ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  ℂcc 7811  0cc0 7813   − cmin 8130  ℤcz 9255  ..^cfzo 10144  abscabs 11008   ∥ cdvds 11796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-dvds 11797

This theorem is referenced by:  addmodlteqALT  11867