ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzo2 GIF version

Theorem elfzo2 10179
Description: Membership in a half-open integer interval. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzo2 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))

Proof of Theorem elfzo2
StepHypRef Expression
1 an4 586 . . 3 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)) ↔ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝐾) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
2 df-3an 982 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
32anbi1i 458 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)) ↔ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
4 eluz2 9563 . . . . 5 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾))
5 3ancoma 987 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾))
6 df-3an 982 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝐾))
74, 5, 63bitri 206 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝐾))
87anbi1i 458 . . 3 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)) ↔ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝐾) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
91, 3, 83bitr4i 212 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
10 elfzoelz 10176 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
11 elfzoel1 10174 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
12 elfzoel2 10175 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
1310, 11, 123jca 1179 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
14 elfzo 10178 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
1513, 14biadan2 456 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
16 3anass 984 . 2 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
179, 15, 163bitr4i 212 1 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105  w3a 980  wcel 2160   class class class wbr 4018  cfv 5235  (class class class)co 5895   < clt 8021  cle 8022  cz 9282  cuz 9557  ..^cfzo 10171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-ltadd 7956
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-inn 8949  df-n0 9206  df-z 9283  df-uz 9558  df-fz 10038  df-fzo 10172
This theorem is referenced by:  elfzouz  10180  fzolb  10182  elfzo3  10192  fzouzsplit  10208  elfzo0  10211  fzo1fzo0n0  10212  elfzo1  10219  eluzgtdifelfzo  10226  ssfzo12bi  10254  elfzonelfzo  10259  elfzomelpfzo  10260  iseqf1olemkle  10514  iseqf1olemklt  10515
  Copyright terms: Public domain W3C validator