ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzomaxdiflem GIF version

Theorem fzomaxdiflem 10852
Description: Lemma for fzomaxdif 10853. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzomaxdiflem (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ (0..^(𝐷𝐶)))

Proof of Theorem fzomaxdiflem
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 9892 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐵 ∈ ℤ)
21adantl 275 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 elfzoelz 9892 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐴 ∈ ℤ)
43adantr 274 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐴 ∈ ℤ)
52, 4zsubcld 9146 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵𝐴) ∈ ℤ)
65zred 9141 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
76adantr 274 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
82zred 9141 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ)
94zred 9141 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
108, 9subge0d 8265 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (0 ≤ (𝐵𝐴) ↔ 𝐴𝐵))
1110biimpar 295 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → 0 ≤ (𝐵𝐴))
12 absid 10811 . . 3 (((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵𝐴)) → (abs‘(𝐵𝐴)) = (𝐵𝐴))
137, 11, 12syl2anc 408 . 2 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → (abs‘(𝐵𝐴)) = (𝐵𝐴))
14 elfzoel1 9890 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐶 ∈ ℤ)
1514adantl 275 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐶 ∈ ℤ)
1615zred 9141 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ)
178, 16resubcld 8111 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵𝐶) ∈ ℝ)
18 elfzoel2 9891 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
1918adantl 275 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐷 ∈ ℤ)
2019, 15zsubcld 9146 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐷𝐶) ∈ ℤ)
2120zred 9141 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐷𝐶) ∈ ℝ)
22 elfzole1 9900 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐶𝐴)
2322adantr 274 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐶𝐴)
2416, 9, 8, 23lesub2dd 8292 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵𝐴) ≤ (𝐵𝐶))
2519zred 9141 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
26 elfzolt2 9901 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐵 < 𝐷)
2726adantl 275 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐵 < 𝐷)
288, 25, 16, 27ltsub1dd 8287 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵𝐶) < (𝐷𝐶))
296, 17, 21, 24, 28lelttrd 7855 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵𝐴) < (𝐷𝐶))
3029adantr 274 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐴) < (𝐷𝐶))
31 0zd 9034 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 0 ∈ ℤ)
32 elfzo 9894 . . . . 5 (((𝐵𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝐷𝐶) ∈ ℤ) → ((𝐵𝐴) ∈ (0..^(𝐷𝐶)) ↔ (0 ≤ (𝐵𝐴) ∧ (𝐵𝐴) < (𝐷𝐶))))
335, 31, 20, 32syl3anc 1201 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐵𝐴) ∈ (0..^(𝐷𝐶)) ↔ (0 ≤ (𝐵𝐴) ∧ (𝐵𝐴) < (𝐷𝐶))))
3433adantr 274 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐵𝐴) ∈ (0..^(𝐷𝐶)) ↔ (0 ≤ (𝐵𝐴) ∧ (𝐵𝐴) < (𝐷𝐶))))
3511, 30, 34mpbir2and 913 . 2 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐴) ∈ (0..^(𝐷𝐶)))
3613, 35eqeltrd 2194 1 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ (0..^(𝐷𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1316  wcel 1465   class class class wbr 3899  cfv 5093  (class class class)co 5742  cr 7587  0cc0 7588   < clt 7768  cle 7769  cmin 7901  cz 9022  ..^cfzo 9887  abscabs 10737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-fz 9759  df-fzo 9888  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739
This theorem is referenced by:  fzomaxdif  10853
  Copyright terms: Public domain W3C validator