Theorem fzomaxdiflem 11296

Description: Lemma for fzomaxdif 11297. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzomaxdiflem	⊢ (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ (0..^(𝐷 − 𝐶)))

Proof of Theorem fzomaxdiflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 10241	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐵 ∈ ℤ)
2	1	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		elfzoelz 10241	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐴 ∈ ℤ)
5	2, 4	zsubcld 9472	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
6	5	zred 9467	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
7	6	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
8	2	zred 9467	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	4	zred 9467	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	8, 9	subge0d 8581	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (0 ≤ (𝐵 − 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
11	10	biimpar 297	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 ≤ (𝐵 − 𝐴))
12		absid 11255	. . 3 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵 − 𝐴)) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
13	7, 11, 12	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
14		elfzoel1 10239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐶 ∈ ℤ)
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐶 ∈ ℤ)
16	15	zred 9467	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ)
17	8, 16	resubcld 8426	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ)
18		elfzoel2 10240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
19	18	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐷 ∈ ℤ)
20	19, 15	zsubcld 9472	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐷 − 𝐶) ∈ ℤ)
21	20	zred 9467	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐷 − 𝐶) ∈ ℝ)
22		elfzole1 10250	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐶 ≤ 𝐴)
23	22	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐶 ≤ 𝐴)
24	16, 9, 8, 23	lesub2dd 8608	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵 − 𝐴) ≤ (𝐵 − 𝐶))
25	19	zred 9467	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
26		elfzolt2 10251	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐵 < 𝐷)
27	26	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐵 < 𝐷)
28	8, 25, 16, 27	ltsub1dd 8603	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵 − 𝐶) < (𝐷 − 𝐶))
29	6, 17, 21, 24, 28	lelttrd 8170	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵 − 𝐴) < (𝐷 − 𝐶))
30	29	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) < (𝐷 − 𝐶))
31		0zd 9357	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 0 ∈ ℤ)
32		elfzo 10243	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℤ) → ((𝐵 − 𝐴) ∈ (0..^(𝐷 − 𝐶)) ↔ (0 ≤ (𝐵 − 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐴) < (𝐷 − 𝐶))))
33	5, 31, 20, 32	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐵 − 𝐴) ∈ (0..^(𝐷 − 𝐶)) ↔ (0 ≤ (𝐵 − 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐴) < (𝐷 − 𝐶))))
34	33	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐵 − 𝐴) ∈ (0..^(𝐷 − 𝐶)) ↔ (0 ≤ (𝐵 − 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐴) < (𝐷 − 𝐶))))
35	11, 30, 34	mpbir2and 946	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ (0..^(𝐷 − 𝐶)))
36	13, 35	eqeltrd 2273	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ (0..^(𝐷 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℝcr 7897  0cc0 7898   < clt 8080   ≤ cle 8081   − cmin 8216  ℤcz 9345  ..^cfzo 10236  abscabs 11181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-2 9068  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-fz 10103  df-fzo 10237  df-seqfrec 10559  df-exp 10650  df-cj 11026  df-re 11027  df-im 11028  df-rsqrt 11182  df-abs 11183

This theorem is referenced by:  fzomaxdif  11297