ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzomaxdiflem GIF version

Theorem fzomaxdiflem 11114
Description: Lemma for fzomaxdif 11115. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzomaxdiflem (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ (0..^(𝐷𝐶)))

Proof of Theorem fzomaxdiflem
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 10142 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐵 ∈ ℤ)
21adantl 277 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 elfzoelz 10142 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐴 ∈ ℤ)
43adantr 276 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐴 ∈ ℤ)
52, 4zsubcld 9376 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵𝐴) ∈ ℤ)
65zred 9371 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
76adantr 276 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
82zred 9371 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ)
94zred 9371 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
108, 9subge0d 8488 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (0 ≤ (𝐵𝐴) ↔ 𝐴𝐵))
1110biimpar 297 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → 0 ≤ (𝐵𝐴))
12 absid 11073 . . 3 (((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵𝐴)) → (abs‘(𝐵𝐴)) = (𝐵𝐴))
137, 11, 12syl2anc 411 . 2 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → (abs‘(𝐵𝐴)) = (𝐵𝐴))
14 elfzoel1 10140 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐶 ∈ ℤ)
1514adantl 277 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐶 ∈ ℤ)
1615zred 9371 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ)
178, 16resubcld 8334 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵𝐶) ∈ ℝ)
18 elfzoel2 10141 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
1918adantl 277 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐷 ∈ ℤ)
2019, 15zsubcld 9376 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐷𝐶) ∈ ℤ)
2120zred 9371 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐷𝐶) ∈ ℝ)
22 elfzole1 10150 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐶𝐴)
2322adantr 276 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐶𝐴)
2416, 9, 8, 23lesub2dd 8515 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵𝐴) ≤ (𝐵𝐶))
2519zred 9371 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
26 elfzolt2 10151 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐵 < 𝐷)
2726adantl 277 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐵 < 𝐷)
288, 25, 16, 27ltsub1dd 8510 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵𝐶) < (𝐷𝐶))
296, 17, 21, 24, 28lelttrd 8078 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵𝐴) < (𝐷𝐶))
3029adantr 276 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐴) < (𝐷𝐶))
31 0zd 9261 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 0 ∈ ℤ)
32 elfzo 10144 . . . . 5 (((𝐵𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝐷𝐶) ∈ ℤ) → ((𝐵𝐴) ∈ (0..^(𝐷𝐶)) ↔ (0 ≤ (𝐵𝐴) ∧ (𝐵𝐴) < (𝐷𝐶))))
335, 31, 20, 32syl3anc 1238 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐵𝐴) ∈ (0..^(𝐷𝐶)) ↔ (0 ≤ (𝐵𝐴) ∧ (𝐵𝐴) < (𝐷𝐶))))
3433adantr 276 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐵𝐴) ∈ (0..^(𝐷𝐶)) ↔ (0 ≤ (𝐵𝐴) ∧ (𝐵𝐴) < (𝐷𝐶))))
3511, 30, 34mpbir2and 944 . 2 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐴) ∈ (0..^(𝐷𝐶)))
3613, 35eqeltrd 2254 1 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ (0..^(𝐷𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4002  cfv 5215  (class class class)co 5872  cr 7807  0cc0 7808   < clt 7988  cle 7989  cmin 8124  cz 9249  ..^cfzo 10137  abscabs 10999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925  ax-pre-mulext 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-frec 6389  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-ap 8535  df-div 8626  df-inn 8916  df-2 8974  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-fz 10005  df-fzo 10138  df-seqfrec 10441  df-exp 10515  df-cj 10844  df-re 10845  df-im 10846  df-rsqrt 11000  df-abs 11001
This theorem is referenced by:  fzomaxdif  11115
  Copyright terms: Public domain W3C validator