Theorem fzosubel 10196

Description: Translate membership in a half-open integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzosubel	⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐷) ∈ ((𝐵 − 𝐷)..^(𝐶 − 𝐷)))

Proof of Theorem fzosubel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl 9286	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → -𝐷 ∈ ℤ)
2		fzoaddel 10194	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ -𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 + -𝐷) ∈ ((𝐵 + -𝐷)..^(𝐶 + -𝐷)))
3	1, 2	sylan2 286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 + -𝐷) ∈ ((𝐵 + -𝐷)..^(𝐶 + -𝐷)))
4		elfzoelz 10149	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)
5	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 9378	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 9378	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℂ)
9	6, 8	negsubd 8276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 + -𝐷) = (𝐴 − 𝐷))
10		elfzoel1 10147	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
11	10	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 9378	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	12, 8	negsubd 8276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐵 + -𝐷) = (𝐵 − 𝐷))
14		elfzoel2 10148	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
15	14	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
16	15	zcnd 9378	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
17	16, 8	negsubd 8276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶 + -𝐷) = (𝐶 − 𝐷))
18	13, 17	oveq12d 5895	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐵 + -𝐷)..^(𝐶 + -𝐷)) = ((𝐵 − 𝐷)..^(𝐶 − 𝐷)))
19	3, 9, 18	3eltr3d 2260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐷) ∈ ((𝐵 − 𝐷)..^(𝐶 − 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5877   + caddc 7816   − cmin 8130  -cneg 8131  ℤcz 9255  ..^cfzo 10144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-fzo 10145

This theorem is referenced by:  fzosubel2  10197  fzocatel  10201