Theorem ennnfonelemdm 12637

Description: Lemma for ennnfone 12642. The function 𝐿 is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfone.l	⊢ 𝐿 = ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemdm	⊢ (𝜑 → dom 𝐿 = ω)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑗,𝐹,𝑘,𝑛   𝑥,𝐹,𝑦,𝑘   𝑗,𝐺   𝑖,𝐻,𝑗,𝑘,𝑛   𝑥,𝐻,𝑦,𝑖   𝑗,𝐽   𝑖,𝐿,𝑗,𝑥,𝑦   𝑗,𝑁,𝑘,𝑛   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑛   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝐿(𝑘,𝑛)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem ennnfonelemdm

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfone.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖)
2	1	dmeqi 4867	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom 𝐿 = dom ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖)
3		dmiun 4875	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖)
4	2, 3	eqtri 2217	. . . . . . . . 9 ⊢ dom 𝐿 = ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖)
5	4	eleq2i 2263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ dom 𝐿 ↔ 𝑚 ∈ ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖))
6	5	biimpi 120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ dom 𝐿 → 𝑚 ∈ ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖))
7	6	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) → 𝑚 ∈ ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖))
8		eliun 3920	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))
9	7, 8	sylib 122	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))
10		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))) → 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))
11		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
12	11	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
13		ennnfonelemh.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
14	13	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))) → 𝐹:ω–onto→𝐴)
15		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
16	15	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
17		ennnfonelemh.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
18		ennnfonelemh.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
19		ennnfonelemh.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
20		ennnfonelemh.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
21		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
22	12, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21	ennnfonelemom 12625	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))) → dom (𝐻‘𝑖) ∈ ω)
23		elnn 4642	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ ω) → 𝑚 ∈ ω)
24	10, 22, 23	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))) → 𝑚 ∈ ω)
25	9, 24	rexlimddv 2619	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) → 𝑚 ∈ ω)
26	25	ex 115	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ dom 𝐿 → 𝑚 ∈ ω))
27	26	ssrdv 3189	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐿 ⊆ ω)
28	11	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ω) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
29	13	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝐹:ω–onto→𝐴)
30	15	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ω) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
31		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝑚 ∈ ω)
32	28, 29, 30, 17, 18, 19, 20, 31	ennnfonelemhom 12632	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ω) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))
33	32, 8	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝑚 ∈ ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖))
34	33, 4	eleqtrrdi 2290	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝑚 ∈ dom 𝐿)
35	27, 34	eqelssd 3202	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐿 = ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∀wral 2475  ∃wrex 2476   ∪ cun 3155  ∅c0 3450  ifcif 3561  {csn 3622  ⟨cop 3625  ∪ ciun 3916   ↦ cmpt 4094  suc csuc 4400  ωcom 4626  ^◡ccnv 4662  dom cdm 4663   “ cima 4666  –onto→wfo 5256  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922   ∈ cmpo 5924  freccfrec 6448   ↑_pm cpm 6708  0cc0 7879  1c1 7880   + caddc 7882   − cmin 8197  ℕ₀cn0 9249  ℤcz 9326  seqcseq 10539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pm 6710  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-seqfrec 10540

This theorem is referenced by:  ennnfonelemen  12638