Theorem ennnfonelemdm 11778

Description: Lemma for ennnfone 11783. The function 𝐿 is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfone.l	⊢ 𝐿 = ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemdm	⊢ (𝜑 → dom 𝐿 = ω)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑗,𝐹,𝑘,𝑛   𝑥,𝐹,𝑦,𝑘   𝑗,𝐺   𝑖,𝐻,𝑗,𝑘,𝑛   𝑥,𝐻,𝑦,𝑖   𝑗,𝐽   𝑖,𝐿,𝑗,𝑥,𝑦   𝑗,𝑁,𝑘,𝑛   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑛   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝐿(𝑘,𝑛)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem ennnfonelemdm

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfone.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖)
2	1	dmeqi 4700	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom 𝐿 = dom ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖)
3		dmiun 4708	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖)
4	2, 3	eqtri 2135	. . . . . . . . 9 ⊢ dom 𝐿 = ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖)
5	4	eleq2i 2181	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ dom 𝐿 ↔ 𝑚 ∈ ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖))
6	5	biimpi 119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ dom 𝐿 → 𝑚 ∈ ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖))
7	6	adantl 273	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) → 𝑚 ∈ ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖))
8		eliun 3783	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))
9	7, 8	sylib 121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))
10		simprr 504	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))) → 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))
11		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
12	11	ad2antrr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
13		ennnfonelemh.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
14	13	ad2antrr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))) → 𝐹:ω–onto→𝐴)
15		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
16	15	ad2antrr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
17		ennnfonelemh.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
18		ennnfonelemh.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
19		ennnfonelemh.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
20		ennnfonelemh.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
21		simprl 503	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
22	12, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21	ennnfonelemom 11766	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))) → dom (𝐻‘𝑖) ∈ ω)
23		elnn 4479	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ ω) → 𝑚 ∈ ω)
24	10, 22, 23	syl2anc 406	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))) → 𝑚 ∈ ω)
25	9, 24	rexlimddv 2528	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) → 𝑚 ∈ ω)
26	25	ex 114	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ dom 𝐿 → 𝑚 ∈ ω))
27	26	ssrdv 3069	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐿 ⊆ ω)
28	11	adantr 272	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ω) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
29	13	adantr 272	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝐹:ω–onto→𝐴)
30	15	adantr 272	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ω) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
31		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝑚 ∈ ω)
32	28, 29, 30, 17, 18, 19, 20, 31	ennnfonelemhom 11773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ω) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))
33	32, 8	sylibr 133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝑚 ∈ ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖))
34	33, 4	syl6eleqr 2208	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝑚 ∈ dom 𝐿)
35	27, 34	eqelssd 3082	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐿 = ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  DECID wdc 802   = wceq 1314   ∈ wcel 1463   ≠ wne 2282  ∀wral 2390  ∃wrex 2391   ∪ cun 3035  ∅c0 3329  ifcif 3440  {csn 3493  ⟨cop 3496  ∪ ciun 3779   ↦ cmpt 3949  suc csuc 4247  ωcom 4464  ^◡ccnv 4498  dom cdm 4499   “ cima 4502  –onto→wfo 5079  ‘cfv 5081  (class class class)co 5728   ∈ cmpo 5730  freccfrec 6241   ↑_pm cpm 6497  0cc0 7547  1c1 7548   + caddc 7550   − cmin 7856  ℕ₀cn0 8881  ℤcz 8958  seqcseq 10111

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-ltadd 7661

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-pm 6499  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-seqfrec 10112

This theorem is referenced by:  ennnfonelemen  11779