Theorem ennnfonelemdm 12353

Description: Lemma for ennnfone 12358. The function 𝐿 is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfone.l	⊢ 𝐿 = ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemdm	⊢ (𝜑 → dom 𝐿 = ω)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑗,𝐹,𝑘,𝑛   𝑥,𝐹,𝑦,𝑘   𝑗,𝐺   𝑖,𝐻,𝑗,𝑘,𝑛   𝑥,𝐻,𝑦,𝑖   𝑗,𝐽   𝑖,𝐿,𝑗,𝑥,𝑦   𝑗,𝑁,𝑘,𝑛   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑛   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝐿(𝑘,𝑛)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem ennnfonelemdm

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfone.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖)
2	1	dmeqi 4805	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom 𝐿 = dom ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖)
3		dmiun 4813	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖)
4	2, 3	eqtri 2186	. . . . . . . . 9 ⊢ dom 𝐿 = ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖)
5	4	eleq2i 2233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ dom 𝐿 ↔ 𝑚 ∈ ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖))
6	5	biimpi 119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ dom 𝐿 → 𝑚 ∈ ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖))
7	6	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) → 𝑚 ∈ ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖))
8		eliun 3870	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))
9	7, 8	sylib 121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))
10		simprr 522	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))) → 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))
11		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
12	11	ad2antrr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
13		ennnfonelemh.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
14	13	ad2antrr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))) → 𝐹:ω–onto→𝐴)
15		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
16	15	ad2antrr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
17		ennnfonelemh.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
18		ennnfonelemh.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
19		ennnfonelemh.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
20		ennnfonelemh.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
21		simprl 521	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
22	12, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21	ennnfonelemom 12341	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))) → dom (𝐻‘𝑖) ∈ ω)
23		elnn 4583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ ω) → 𝑚 ∈ ω)
24	10, 22, 23	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))) → 𝑚 ∈ ω)
25	9, 24	rexlimddv 2588	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) → 𝑚 ∈ ω)
26	25	ex 114	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ dom 𝐿 → 𝑚 ∈ ω))
27	26	ssrdv 3148	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐿 ⊆ ω)
28	11	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ω) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
29	13	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝐹:ω–onto→𝐴)
30	15	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ω) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
31		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝑚 ∈ ω)
32	28, 29, 30, 17, 18, 19, 20, 31	ennnfonelemhom 12348	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ω) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))
33	32, 8	sylibr 133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝑚 ∈ ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖))
34	33, 4	eleqtrrdi 2260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝑚 ∈ dom 𝐿)
35	27, 34	eqelssd 3161	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐿 = ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  DECID wdc 824   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336  ∀wral 2444  ∃wrex 2445   ∪ cun 3114  ∅c0 3409  ifcif 3520  {csn 3576  ⟨cop 3579  ∪ ciun 3866   ↦ cmpt 4043  suc csuc 4343  ωcom 4567  ^◡ccnv 4603  dom cdm 4604   “ cima 4607  –onto→wfo 5186  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842   ∈ cmpo 5844  freccfrec 6358   ↑_pm cpm 6615  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   − cmin 8069  ℕ₀cn0 9114  ℤcz 9191  seqcseq 10380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pm 6617  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-seqfrec 10381

This theorem is referenced by:  ennnfonelemen  12354