Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ennnfonelemdm GIF version

Theorem ennnfonelemdm 11989
 Description: Lemma for ennnfone 11994. The function 𝐿 is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
ennnfonelemh.ne (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
ennnfonelemh.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfone.l 𝐿 = 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻𝑖)
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemdm (𝜑 → dom 𝐿 = ω)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑗,𝐹,𝑘,𝑛   𝑥,𝐹,𝑦,𝑘   𝑗,𝐺   𝑖,𝐻,𝑗,𝑘,𝑛   𝑥,𝐻,𝑦,𝑖   𝑗,𝐽   𝑖,𝐿,𝑗,𝑥,𝑦   𝑗,𝑁,𝑘,𝑛   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑛   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝐿(𝑘,𝑛)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem ennnfonelemdm
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ennnfone.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻𝑖)
21dmeqi 4749 . . . . . . . . . 10 dom 𝐿 = dom 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻𝑖)
3 dmiun 4757 . . . . . . . . . 10 dom 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻𝑖) = 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻𝑖)
42, 3eqtri 2161 . . . . . . . . 9 dom 𝐿 = 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻𝑖)
54eleq2i 2207 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ dom 𝐿𝑚 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻𝑖))
65biimpi 119 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ dom 𝐿𝑚 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻𝑖))
76adantl 275 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ dom 𝐿) → 𝑚 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻𝑖))
8 eliun 3826 . . . . . 6 (𝑚 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑚 ∈ dom (𝐻𝑖))
97, 8sylib 121 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ dom 𝐿) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑚 ∈ dom (𝐻𝑖))
10 simprr 522 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0𝑚 ∈ dom (𝐻𝑖))) → 𝑚 ∈ dom (𝐻𝑖))
11 ennnfonelemh.dceq . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
1211ad2antrr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0𝑚 ∈ dom (𝐻𝑖))) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
13 ennnfonelemh.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
1413ad2antrr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0𝑚 ∈ dom (𝐻𝑖))) → 𝐹:ω–onto𝐴)
15 ennnfonelemh.ne . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
1615ad2antrr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0𝑚 ∈ dom (𝐻𝑖))) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
17 ennnfonelemh.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
18 ennnfonelemh.n . . . . . . 7 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
19 ennnfonelemh.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
20 ennnfonelemh.h . . . . . . 7 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
21 simprl 521 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0𝑚 ∈ dom (𝐻𝑖))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
2212, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21ennnfonelemom 11977 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0𝑚 ∈ dom (𝐻𝑖))) → dom (𝐻𝑖) ∈ ω)
23 elnn 4528 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ dom (𝐻𝑖) ∧ dom (𝐻𝑖) ∈ ω) → 𝑚 ∈ ω)
2410, 22, 23syl2anc 409 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0𝑚 ∈ dom (𝐻𝑖))) → 𝑚 ∈ ω)
259, 24rexlimddv 2558 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ dom 𝐿) → 𝑚 ∈ ω)
2625ex 114 . . 3 (𝜑 → (𝑚 ∈ dom 𝐿𝑚 ∈ ω))
2726ssrdv 3109 . 2 (𝜑 → dom 𝐿 ⊆ ω)
2811adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ω) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2913adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ω) → 𝐹:ω–onto𝐴)
3015adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ω) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
31 simpr 109 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ω) → 𝑚 ∈ ω)
3228, 29, 30, 17, 18, 19, 20, 31ennnfonelemhom 11984 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ω) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑚 ∈ dom (𝐻𝑖))
3332, 8sylibr 133 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ω) → 𝑚 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻𝑖))
3433, 4eleqtrrdi 2234 . 2 ((𝜑𝑚 ∈ ω) → 𝑚 ∈ dom 𝐿)
3527, 34eqelssd 3122 1 (𝜑 → dom 𝐿 = ω)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  DECID wdc 820   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ≠ wne 2309  ∀wral 2417  ∃wrex 2418   ∪ cun 3075  ∅c0 3369  ifcif 3480  {csn 3533  ⟨cop 3536  ∪ ciun 3822   ↦ cmpt 3998  suc csuc 4296  ωcom 4513  ◡ccnv 4547  dom cdm 4548   “ cima 4551  –onto→wfo 5130  ‘cfv 5132  (class class class)co 5783   ∈ cmpo 5785  freccfrec 6296   ↑pm cpm 6552  0cc0 7664  1c1 7665   + caddc 7667   − cmin 7977  ℕ0cn0 9021  ℤcz 9098  seqcseq 10269 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-addcom 7764  ax-addass 7766  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-ltadd 7780 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-recs 6211  df-frec 6297  df-pm 6554  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-inn 8765  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-seqfrec 10270 This theorem is referenced by:  ennnfonelemen  11990
 Copyright terms: Public domain W3C validator