Theorem ennnfonelemdm 12580

Description: Lemma for ennnfone 12585. The function 𝐿 is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfone.l	⊢ 𝐿 = ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemdm	⊢ (𝜑 → dom 𝐿 = ω)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑗,𝐹,𝑘,𝑛   𝑥,𝐹,𝑦,𝑘   𝑗,𝐺   𝑖,𝐻,𝑗,𝑘,𝑛   𝑥,𝐻,𝑦,𝑖   𝑗,𝐽   𝑖,𝐿,𝑗,𝑥,𝑦   𝑗,𝑁,𝑘,𝑛   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑛   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝐿(𝑘,𝑛)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem ennnfonelemdm

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfone.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖)
2	1	dmeqi 4864	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom 𝐿 = dom ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖)
3		dmiun 4872	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖)
4	2, 3	eqtri 2214	. . . . . . . . 9 ⊢ dom 𝐿 = ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖)
5	4	eleq2i 2260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ dom 𝐿 ↔ 𝑚 ∈ ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖))
6	5	biimpi 120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ dom 𝐿 → 𝑚 ∈ ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖))
7	6	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) → 𝑚 ∈ ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖))
8		eliun 3917	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))
9	7, 8	sylib 122	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))
10		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))) → 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))
11		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
12	11	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
13		ennnfonelemh.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
14	13	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))) → 𝐹:ω–onto→𝐴)
15		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
16	15	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
17		ennnfonelemh.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
18		ennnfonelemh.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
19		ennnfonelemh.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
20		ennnfonelemh.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
21		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
22	12, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21	ennnfonelemom 12568	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))) → dom (𝐻‘𝑖) ∈ ω)
23		elnn 4639	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ ω) → 𝑚 ∈ ω)
24	10, 22, 23	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))) → 𝑚 ∈ ω)
25	9, 24	rexlimddv 2616	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ dom 𝐿) → 𝑚 ∈ ω)
26	25	ex 115	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ dom 𝐿 → 𝑚 ∈ ω))
27	26	ssrdv 3186	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐿 ⊆ ω)
28	11	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ω) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
29	13	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝐹:ω–onto→𝐴)
30	15	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ω) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
31		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝑚 ∈ ω)
32	28, 29, 30, 17, 18, 19, 20, 31	ennnfonelemhom 12575	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ω) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑚 ∈ dom (𝐻‘𝑖))
33	32, 8	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝑚 ∈ ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖))
34	33, 4	eleqtrrdi 2287	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝑚 ∈ dom 𝐿)
35	27, 34	eqelssd 3199	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐿 = ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  ∀wral 2472  ∃wrex 2473   ∪ cun 3152  ∅c0 3447  ifcif 3558  {csn 3619  ⟨cop 3622  ∪ ciun 3913   ↦ cmpt 4091  suc csuc 4397  ωcom 4623  ^◡ccnv 4659  dom cdm 4660   “ cima 4663  –onto→wfo 5253  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919   ∈ cmpo 5921  freccfrec 6445   ↑_pm cpm 6705  0cc0 7874  1c1 7875   + caddc 7877   − cmin 8192  ℕ₀cn0 9243  ℤcz 9320  seqcseq 10521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pm 6707  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-seqfrec 10522

This theorem is referenced by:  ennnfonelemen  12581