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Theorem nninfsellemeq 14386
Description: Lemma for nninfsel 14389. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfsel.e 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o𝑚) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
nninfsel.q (𝜑𝑄 ∈ (2o𝑚))
nninfsel.1 (𝜑 → (𝑄‘(𝐸𝑄)) = 1o)
nninfsel.n (𝜑𝑁 ∈ ω)
nninfsel.qk (𝜑 → ∀𝑘𝑁 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
nninfsel.qn (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))) = ∅)
Assertion
Ref Expression
nninfsellemeq (𝜑 → (𝐸𝑄) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑘,𝑛   𝑄,𝑛,𝑘,𝑞   𝜑,𝑖,𝑛   𝑖,𝑞
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑞)   𝑄(𝑖)   𝐸(𝑖,𝑘,𝑛,𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem nninfsellemeq
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninfsel.e . . . . 5 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o𝑚) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
21nninfself 14385 . . . 4 𝐸:(2o𝑚)⟶ℕ
32a1i 9 . . 3 (𝜑𝐸:(2o𝑚)⟶ℕ)
4 nninfsel.q . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (2o𝑚))
53, 4ffvelcdmd 5647 . 2 (𝜑 → (𝐸𝑄) ∈ ℕ)
6 nninfsel.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ω)
7 fveq1 5509 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑄 → (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))))
87eqeq1d 2186 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = 𝑄 → ((𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
98ralbidv 2477 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑄 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
109ifbid 3555 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑄 → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
1110mpteq2dv 4091 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑄 → (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
12 omex 4588 . . . . . . . 8 ω ∈ V
1312mptex 5737 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) ∈ V
1411, 1, 13fvmpt 5588 . . . . . 6 (𝑄 ∈ (2o𝑚) → (𝐸𝑄) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
154, 14syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸𝑄) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
1615adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑁) → (𝐸𝑄) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
17 simpr 110 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → 𝑛 = 𝑗)
18 simplr 528 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → 𝑗𝑁)
1917, 18eqeltrd 2254 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → 𝑛𝑁)
20 nnord 4607 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ω → Ord 𝑁)
21 vex 2740 . . . . . . . . . 10 𝑛 ∈ V
22 ordelsuc 4500 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ V ∧ Ord 𝑁) → (𝑛𝑁 ↔ suc 𝑛𝑁))
2321, 22mpan 424 . . . . . . . . 9 (Ord 𝑁 → (𝑛𝑁 ↔ suc 𝑛𝑁))
246, 20, 233syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑛𝑁 ↔ suc 𝑛𝑁))
2524ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → (𝑛𝑁 ↔ suc 𝑛𝑁))
2619, 25mpbid 147 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → suc 𝑛𝑁)
27 nninfsel.qk . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘𝑁 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
2827ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → ∀𝑘𝑁 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
29 ssralv 3219 . . . . . 6 (suc 𝑛𝑁 → (∀𝑘𝑁 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o → ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
3026, 28, 29sylc 62 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
3130iftrued 3541 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = 1o)
32 simpr 110 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
336adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑁 ∈ ω)
34 elnn 4601 . . . . 5 ((𝑗𝑁𝑁 ∈ ω) → 𝑗 ∈ ω)
3532, 33, 34syl2anc 411 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑗 ∈ ω)
36 1onn 6514 . . . . 5 1o ∈ ω
3736a1i 9 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑁) → 1o ∈ ω)
3816, 31, 35, 37fvmptd 5592 . . 3 ((𝜑𝑗𝑁) → ((𝐸𝑄)‘𝑗) = 1o)
3938ralrimiva 2550 . 2 (𝜑 → ∀𝑗𝑁 ((𝐸𝑄)‘𝑗) = 1o)
4021sucid 4413 . . . . . . 7 𝑛 ∈ suc 𝑛
4140a1i 9 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → 𝑛 ∈ suc 𝑛)
42 1n0 6426 . . . . . . . 8 1o ≠ ∅
4342nesymi 2393 . . . . . . 7 ¬ ∅ = 1o
44 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑁)
4544eleq2d 2247 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → (𝑖𝑛𝑖𝑁))
4645ifbid 3555 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → if(𝑖𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖𝑁, 1o, ∅))
4746mpteq2dv 4091 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)))
4847fveq2d 5514 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))))
49 nninfsel.qn . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))) = ∅)
5049adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))) = ∅)
5148, 50eqtrd 2210 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = ∅)
5251eqeq1d 2186 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∅ = 1o))
5343, 52mtbiri 675 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o)
54 elequ2 2153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → (𝑖𝑘𝑖𝑛))
5554ifbid 3555 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → if(𝑖𝑘, 1o, ∅) = if(𝑖𝑛, 1o, ∅))
5655mpteq2dv 4091 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))
5756fveq2d 5514 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))))
5857eqeq1d 2186 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o))
5958notbid 667 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o))
6059rspcev 2841 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ suc 𝑛 ∧ ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o) → ∃𝑘 ∈ suc 𝑛 ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
6141, 53, 60syl2anc 411 . . . . 5 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → ∃𝑘 ∈ suc 𝑛 ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
62 rexnalim 2466 . . . . 5 (∃𝑘 ∈ suc 𝑛 ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o → ¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
6361, 62syl 14 . . . 4 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → ¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
6463iffalsed 3544 . . 3 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = ∅)
65 peano1 4589 . . . 4 ∅ ∈ ω
6665a1i 9 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ ω)
6715, 64, 6, 66fvmptd 5592 . 2 (𝜑 → ((𝐸𝑄)‘𝑁) = ∅)
685, 6, 39, 67nnnninfeq 7119 1 (𝜑 → (𝐸𝑄) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  Vcvv 2737  wss 3129  c0 3422  ifcif 3534  cmpt 4061  Ord word 4358  suc csuc 4361  ωcom 4585  wf 5207  cfv 5211  (class class class)co 5868  1oc1o 6403  2oc2o 6404  𝑚 cmap 6641  xnninf 7111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-iord 4362  df-on 4364  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1o 6410  df-2o 6411  df-map 6643  df-nninf 7112
This theorem is referenced by:  nninfsellemqall  14387
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