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Theorem nninfsellemeq 13137
Description: Lemma for nninfsel 13140. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfsel.e 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o𝑚) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
nninfsel.q (𝜑𝑄 ∈ (2o𝑚))
nninfsel.1 (𝜑 → (𝑄‘(𝐸𝑄)) = 1o)
nninfsel.n (𝜑𝑁 ∈ ω)
nninfsel.qk (𝜑 → ∀𝑘𝑁 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
nninfsel.qn (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))) = ∅)
Assertion
Ref Expression
nninfsellemeq (𝜑 → (𝐸𝑄) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑘,𝑛   𝑄,𝑛,𝑘,𝑞   𝜑,𝑖,𝑛   𝑖,𝑞
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑞)   𝑄(𝑖)   𝐸(𝑖,𝑘,𝑛,𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem nninfsellemeq
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninfsel.e . . . . 5 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o𝑚) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
21nninfself 13136 . . . 4 𝐸:(2o𝑚)⟶ℕ
32a1i 9 . . 3 (𝜑𝐸:(2o𝑚)⟶ℕ)
4 nninfsel.q . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (2o𝑚))
53, 4ffvelrnd 5524 . 2 (𝜑 → (𝐸𝑄) ∈ ℕ)
6 nninfsel.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ω)
7 fveq1 5388 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑄 → (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))))
87eqeq1d 2126 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = 𝑄 → ((𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
98ralbidv 2414 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑄 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
109ifbid 3463 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑄 → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
1110mpteq2dv 3989 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑄 → (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
12 omex 4477 . . . . . . . 8 ω ∈ V
1312mptex 5614 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) ∈ V
1411, 1, 13fvmpt 5466 . . . . . 6 (𝑄 ∈ (2o𝑚) → (𝐸𝑄) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
154, 14syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸𝑄) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
1615adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑁) → (𝐸𝑄) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
17 simpr 109 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → 𝑛 = 𝑗)
18 simplr 504 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → 𝑗𝑁)
1917, 18eqeltrd 2194 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → 𝑛𝑁)
20 nnord 4495 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ω → Ord 𝑁)
21 vex 2663 . . . . . . . . . 10 𝑛 ∈ V
22 ordelsuc 4391 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ V ∧ Ord 𝑁) → (𝑛𝑁 ↔ suc 𝑛𝑁))
2321, 22mpan 420 . . . . . . . . 9 (Ord 𝑁 → (𝑛𝑁 ↔ suc 𝑛𝑁))
246, 20, 233syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑛𝑁 ↔ suc 𝑛𝑁))
2524ad2antrr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → (𝑛𝑁 ↔ suc 𝑛𝑁))
2619, 25mpbid 146 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → suc 𝑛𝑁)
27 nninfsel.qk . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘𝑁 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
2827ad2antrr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → ∀𝑘𝑁 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
29 ssralv 3131 . . . . . 6 (suc 𝑛𝑁 → (∀𝑘𝑁 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o → ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
3026, 28, 29sylc 62 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
3130iftrued 3451 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = 1o)
32 simpr 109 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
336adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑁 ∈ ω)
34 elnn 4489 . . . . 5 ((𝑗𝑁𝑁 ∈ ω) → 𝑗 ∈ ω)
3532, 33, 34syl2anc 408 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑗 ∈ ω)
36 1onn 6384 . . . . 5 1o ∈ ω
3736a1i 9 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑁) → 1o ∈ ω)
3816, 31, 35, 37fvmptd 5470 . . 3 ((𝜑𝑗𝑁) → ((𝐸𝑄)‘𝑗) = 1o)
3938ralrimiva 2482 . 2 (𝜑 → ∀𝑗𝑁 ((𝐸𝑄)‘𝑗) = 1o)
4021sucid 4309 . . . . . . 7 𝑛 ∈ suc 𝑛
4140a1i 9 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → 𝑛 ∈ suc 𝑛)
42 1n0 6297 . . . . . . . 8 1o ≠ ∅
4342nesymi 2331 . . . . . . 7 ¬ ∅ = 1o
44 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑁)
4544eleq2d 2187 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → (𝑖𝑛𝑖𝑁))
4645ifbid 3463 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → if(𝑖𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖𝑁, 1o, ∅))
4746mpteq2dv 3989 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)))
4847fveq2d 5393 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))))
49 nninfsel.qn . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))) = ∅)
5049adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))) = ∅)
5148, 50eqtrd 2150 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = ∅)
5251eqeq1d 2126 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∅ = 1o))
5343, 52mtbiri 649 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o)
54 elequ2 1676 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → (𝑖𝑘𝑖𝑛))
5554ifbid 3463 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → if(𝑖𝑘, 1o, ∅) = if(𝑖𝑛, 1o, ∅))
5655mpteq2dv 3989 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))
5756fveq2d 5393 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))))
5857eqeq1d 2126 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o))
5958notbid 641 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o))
6059rspcev 2763 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ suc 𝑛 ∧ ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o) → ∃𝑘 ∈ suc 𝑛 ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
6141, 53, 60syl2anc 408 . . . . 5 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → ∃𝑘 ∈ suc 𝑛 ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
62 rexnalim 2404 . . . . 5 (∃𝑘 ∈ suc 𝑛 ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o → ¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
6361, 62syl 14 . . . 4 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → ¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
6463iffalsed 3454 . . 3 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = ∅)
65 peano1 4478 . . . 4 ∅ ∈ ω
6665a1i 9 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ ω)
6715, 64, 6, 66fvmptd 5470 . 2 (𝜑 → ((𝐸𝑄)‘𝑁) = ∅)
685, 6, 39, 67nninfalllemn 13129 1 (𝜑 → (𝐸𝑄) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1316  wcel 1465  wral 2393  wrex 2394  Vcvv 2660  wss 3041  c0 3333  ifcif 3444  cmpt 3959  Ord word 4254  suc csuc 4257  ωcom 4474  wf 5089  cfv 5093  (class class class)co 5742  1oc1o 6274  2oc2o 6275  𝑚 cmap 6510  xnninf 6973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1o 6281  df-2o 6282  df-map 6512  df-nninf 6975
This theorem is referenced by:  nninfsellemqall  13138
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