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Theorem nninfsellemeq 13012
Description: Lemma for nninfsel 13015. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfsel.e 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o𝑚) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
nninfsel.q (𝜑𝑄 ∈ (2o𝑚))
nninfsel.1 (𝜑 → (𝑄‘(𝐸𝑄)) = 1o)
nninfsel.n (𝜑𝑁 ∈ ω)
nninfsel.qk (𝜑 → ∀𝑘𝑁 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
nninfsel.qn (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))) = ∅)
Assertion
Ref Expression
nninfsellemeq (𝜑 → (𝐸𝑄) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑘,𝑛   𝑄,𝑛,𝑘,𝑞   𝜑,𝑖,𝑛   𝑖,𝑞
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑞)   𝑄(𝑖)   𝐸(𝑖,𝑘,𝑛,𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem nninfsellemeq
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninfsel.e . . . . 5 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o𝑚) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
21nninfself 13011 . . . 4 𝐸:(2o𝑚)⟶ℕ
32a1i 9 . . 3 (𝜑𝐸:(2o𝑚)⟶ℕ)
4 nninfsel.q . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (2o𝑚))
53, 4ffvelrnd 5522 . 2 (𝜑 → (𝐸𝑄) ∈ ℕ)
6 nninfsel.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ω)
7 fveq1 5386 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑄 → (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))))
87eqeq1d 2124 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = 𝑄 → ((𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
98ralbidv 2412 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑄 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
109ifbid 3461 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑄 → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
1110mpteq2dv 3987 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑄 → (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
12 omex 4475 . . . . . . . 8 ω ∈ V
1312mptex 5612 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) ∈ V
1411, 1, 13fvmpt 5464 . . . . . 6 (𝑄 ∈ (2o𝑚) → (𝐸𝑄) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
154, 14syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸𝑄) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
1615adantr 272 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑁) → (𝐸𝑄) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
17 simpr 109 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → 𝑛 = 𝑗)
18 simplr 502 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → 𝑗𝑁)
1917, 18eqeltrd 2192 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → 𝑛𝑁)
20 nnord 4493 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ω → Ord 𝑁)
21 vex 2661 . . . . . . . . . 10 𝑛 ∈ V
22 ordelsuc 4389 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ V ∧ Ord 𝑁) → (𝑛𝑁 ↔ suc 𝑛𝑁))
2321, 22mpan 418 . . . . . . . . 9 (Ord 𝑁 → (𝑛𝑁 ↔ suc 𝑛𝑁))
246, 20, 233syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑛𝑁 ↔ suc 𝑛𝑁))
2524ad2antrr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → (𝑛𝑁 ↔ suc 𝑛𝑁))
2619, 25mpbid 146 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → suc 𝑛𝑁)
27 nninfsel.qk . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘𝑁 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
2827ad2antrr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → ∀𝑘𝑁 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
29 ssralv 3129 . . . . . 6 (suc 𝑛𝑁 → (∀𝑘𝑁 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o → ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
3026, 28, 29sylc 62 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
3130iftrued 3449 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = 1o)
32 simpr 109 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
336adantr 272 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑁 ∈ ω)
34 elnn 4487 . . . . 5 ((𝑗𝑁𝑁 ∈ ω) → 𝑗 ∈ ω)
3532, 33, 34syl2anc 406 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑗 ∈ ω)
36 1onn 6382 . . . . 5 1o ∈ ω
3736a1i 9 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑁) → 1o ∈ ω)
3816, 31, 35, 37fvmptd 5468 . . 3 ((𝜑𝑗𝑁) → ((𝐸𝑄)‘𝑗) = 1o)
3938ralrimiva 2480 . 2 (𝜑 → ∀𝑗𝑁 ((𝐸𝑄)‘𝑗) = 1o)
4021sucid 4307 . . . . . . 7 𝑛 ∈ suc 𝑛
4140a1i 9 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → 𝑛 ∈ suc 𝑛)
42 1n0 6295 . . . . . . . 8 1o ≠ ∅
4342nesymi 2329 . . . . . . 7 ¬ ∅ = 1o
44 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑁)
4544eleq2d 2185 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → (𝑖𝑛𝑖𝑁))
4645ifbid 3461 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → if(𝑖𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖𝑁, 1o, ∅))
4746mpteq2dv 3987 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)))
4847fveq2d 5391 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))))
49 nninfsel.qn . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))) = ∅)
5049adantr 272 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))) = ∅)
5148, 50eqtrd 2148 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = ∅)
5251eqeq1d 2124 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∅ = 1o))
5343, 52mtbiri 647 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o)
54 elequ2 1674 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → (𝑖𝑘𝑖𝑛))
5554ifbid 3461 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → if(𝑖𝑘, 1o, ∅) = if(𝑖𝑛, 1o, ∅))
5655mpteq2dv 3987 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))
5756fveq2d 5391 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))))
5857eqeq1d 2124 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o))
5958notbid 639 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o))
6059rspcev 2761 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ suc 𝑛 ∧ ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o) → ∃𝑘 ∈ suc 𝑛 ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
6141, 53, 60syl2anc 406 . . . . 5 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → ∃𝑘 ∈ suc 𝑛 ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
62 rexnalim 2402 . . . . 5 (∃𝑘 ∈ suc 𝑛 ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o → ¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
6361, 62syl 14 . . . 4 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → ¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
6463iffalsed 3452 . . 3 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = ∅)
65 peano1 4476 . . . 4 ∅ ∈ ω
6665a1i 9 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ ω)
6715, 64, 6, 66fvmptd 5468 . 2 (𝜑 → ((𝐸𝑄)‘𝑁) = ∅)
685, 6, 39, 67nninfalllemn 13004 1 (𝜑 → (𝐸𝑄) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1314  wcel 1463  wral 2391  wrex 2392  Vcvv 2658  wss 3039  c0 3331  ifcif 3442  cmpt 3957  Ord word 4252  suc csuc 4255  ωcom 4472  wf 5087  cfv 5091  (class class class)co 5740  1oc1o 6272  2oc2o 6273  𝑚 cmap 6508  xnninf 6971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1o 6279  df-2o 6280  df-map 6510  df-nninf 6973
This theorem is referenced by:  nninfsellemqall  13013
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