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Theorem nninfsellemeq 14766
Description: Lemma for nninfsel 14769. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfsel.e 𝐸 = (π‘ž ∈ (2o β†‘π‘š β„•βˆž) ↦ (𝑛 ∈ Ο‰ ↦ if(βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘žβ€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o, 1o, βˆ…)))
nninfsel.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (2o β†‘π‘š β„•βˆž))
nninfsel.1 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(πΈβ€˜π‘„)) = 1o)
nninfsel.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ Ο‰)
nninfsel.qk (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑁 (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o)
nninfsel.qn (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, βˆ…))) = βˆ…)
Assertion
Ref Expression
nninfsellemeq (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘„) = (𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, βˆ…)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,π‘˜,𝑛   𝑄,𝑛,π‘˜,π‘ž   πœ‘,𝑖,𝑛   𝑖,π‘ž
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜,π‘ž)   𝑄(𝑖)   𝐸(𝑖,π‘˜,𝑛,π‘ž)   𝑁(π‘ž)

Proof of Theorem nninfsellemeq
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninfsel.e . . . . 5 𝐸 = (π‘ž ∈ (2o β†‘π‘š β„•βˆž) ↦ (𝑛 ∈ Ο‰ ↦ if(βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘žβ€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o, 1o, βˆ…)))
21nninfself 14765 . . . 4 𝐸:(2o β†‘π‘š β„•βˆž)βŸΆβ„•βˆž
32a1i 9 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸:(2o β†‘π‘š β„•βˆž)βŸΆβ„•βˆž)
4 nninfsel.q . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (2o β†‘π‘š β„•βˆž))
53, 4ffvelcdmd 5653 . 2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘„) ∈ β„•βˆž)
6 nninfsel.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ Ο‰)
7 fveq1 5515 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž = 𝑄 β†’ (π‘žβ€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))))
87eqeq1d 2186 . . . . . . . . . 10 (π‘ž = 𝑄 β†’ ((π‘žβ€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o ↔ (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o))
98ralbidv 2477 . . . . . . . . 9 (π‘ž = 𝑄 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘žβ€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o ↔ βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o))
109ifbid 3556 . . . . . . . 8 (π‘ž = 𝑄 β†’ if(βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘žβ€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o, 1o, βˆ…) = if(βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o, 1o, βˆ…))
1110mpteq2dv 4095 . . . . . . 7 (π‘ž = 𝑄 β†’ (𝑛 ∈ Ο‰ ↦ if(βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘žβ€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o, 1o, βˆ…)) = (𝑛 ∈ Ο‰ ↦ if(βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o, 1o, βˆ…)))
12 omex 4593 . . . . . . . 8 Ο‰ ∈ V
1312mptex 5743 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ Ο‰ ↦ if(βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o, 1o, βˆ…)) ∈ V
1411, 1, 13fvmpt 5594 . . . . . 6 (𝑄 ∈ (2o β†‘π‘š β„•βˆž) β†’ (πΈβ€˜π‘„) = (𝑛 ∈ Ο‰ ↦ if(βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o, 1o, βˆ…)))
154, 14syl 14 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘„) = (𝑛 ∈ Ο‰ ↦ if(βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o, 1o, βˆ…)))
1615adantr 276 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (πΈβ€˜π‘„) = (𝑛 ∈ Ο‰ ↦ if(βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o, 1o, βˆ…)))
17 simpr 110 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) β†’ 𝑛 = 𝑗)
18 simplr 528 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ 𝑁)
1917, 18eqeltrd 2254 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) β†’ 𝑛 ∈ 𝑁)
20 nnord 4612 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ Ο‰ β†’ Ord 𝑁)
21 vex 2741 . . . . . . . . . 10 𝑛 ∈ V
22 ordelsuc 4505 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ V ∧ Ord 𝑁) β†’ (𝑛 ∈ 𝑁 ↔ suc 𝑛 βŠ† 𝑁))
2321, 22mpan 424 . . . . . . . . 9 (Ord 𝑁 β†’ (𝑛 ∈ 𝑁 ↔ suc 𝑛 βŠ† 𝑁))
246, 20, 233syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑁 ↔ suc 𝑛 βŠ† 𝑁))
2524ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) β†’ (𝑛 ∈ 𝑁 ↔ suc 𝑛 βŠ† 𝑁))
2619, 25mpbid 147 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) β†’ suc 𝑛 βŠ† 𝑁)
27 nninfsel.qk . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑁 (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o)
2827ad2antrr 488 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑁 (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o)
29 ssralv 3220 . . . . . 6 (suc 𝑛 βŠ† 𝑁 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑁 (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o β†’ βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o))
3026, 28, 29sylc 62 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o)
3130iftrued 3542 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) β†’ if(βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o, 1o, βˆ…) = 1o)
32 simpr 110 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ 𝑗 ∈ 𝑁)
336adantr 276 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ Ο‰)
34 elnn 4606 . . . . 5 ((𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ Ο‰) β†’ 𝑗 ∈ Ο‰)
3532, 33, 34syl2anc 411 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ 𝑗 ∈ Ο‰)
36 1onn 6521 . . . . 5 1o ∈ Ο‰
3736a1i 9 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ 1o ∈ Ο‰)
3816, 31, 35, 37fvmptd 5598 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ ((πΈβ€˜π‘„)β€˜π‘—) = 1o)
3938ralrimiva 2550 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((πΈβ€˜π‘„)β€˜π‘—) = 1o)
4021sucid 4418 . . . . . . 7 𝑛 ∈ suc 𝑛
4140a1i 9 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑁) β†’ 𝑛 ∈ suc 𝑛)
42 1n0 6433 . . . . . . . 8 1o β‰  βˆ…
4342nesymi 2393 . . . . . . 7 Β¬ βˆ… = 1o
44 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑁) β†’ 𝑛 = 𝑁)
4544eleq2d 2247 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑁) β†’ (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑁))
4645ifbid 3556 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑁) β†’ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, βˆ…) = if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, βˆ…))
4746mpteq2dv 4095 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑁) β†’ (𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, βˆ…)) = (𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, βˆ…)))
4847fveq2d 5520 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑁) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, βˆ…))) = (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, βˆ…))))
49 nninfsel.qn . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, βˆ…))) = βˆ…)
5049adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑁) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, βˆ…))) = βˆ…)
5148, 50eqtrd 2210 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑁) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, βˆ…))) = βˆ…)
5251eqeq1d 2186 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑁) β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, βˆ…))) = 1o ↔ βˆ… = 1o))
5343, 52mtbiri 675 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑁) β†’ Β¬ (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, βˆ…))) = 1o)
54 elequ2 2153 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (𝑖 ∈ π‘˜ ↔ 𝑖 ∈ 𝑛))
5554ifbid 3556 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑛 β†’ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…) = if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, βˆ…))
5655mpteq2dv 4095 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…)) = (𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, βˆ…)))
5756fveq2d 5520 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, βˆ…))))
5857eqeq1d 2186 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o ↔ (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, βˆ…))) = 1o))
5958notbid 667 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (Β¬ (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o ↔ Β¬ (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, βˆ…))) = 1o))
6059rspcev 2842 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ suc 𝑛 ∧ Β¬ (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, βˆ…))) = 1o) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ suc 𝑛 Β¬ (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o)
6141, 53, 60syl2anc 411 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑁) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ suc 𝑛 Β¬ (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o)
62 rexnalim 2466 . . . . 5 (βˆƒπ‘˜ ∈ suc 𝑛 Β¬ (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o β†’ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o)
6361, 62syl 14 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑁) β†’ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o)
6463iffalsed 3545 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑁) β†’ if(βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o, 1o, βˆ…) = βˆ…)
65 peano1 4594 . . . 4 βˆ… ∈ Ο‰
6665a1i 9 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ Ο‰)
6715, 64, 6, 66fvmptd 5598 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΈβ€˜π‘„)β€˜π‘) = βˆ…)
685, 6, 39, 67nnnninfeq 7126 1 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘„) = (𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, βˆ…)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456  Vcvv 2738   βŠ† wss 3130  βˆ…c0 3423  ifcif 3535   ↦ cmpt 4065  Ord word 4363  suc csuc 4366  Ο‰com 4590  βŸΆwf 5213  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  1oc1o 6410  2oc2o 6411   β†‘π‘š cmap 6648  β„•βˆžxnninf 7118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1o 6417  df-2o 6418  df-map 6650  df-nninf 7119
This theorem is referenced by:  nninfsellemqall  14767
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