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Theorem nninfsellemeq 13404
 Description: Lemma for nninfsel 13407. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfsel.e 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o𝑚) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
nninfsel.q (𝜑𝑄 ∈ (2o𝑚))
nninfsel.1 (𝜑 → (𝑄‘(𝐸𝑄)) = 1o)
nninfsel.n (𝜑𝑁 ∈ ω)
nninfsel.qk (𝜑 → ∀𝑘𝑁 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
nninfsel.qn (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))) = ∅)
Assertion
Ref Expression
nninfsellemeq (𝜑 → (𝐸𝑄) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑘,𝑛   𝑄,𝑛,𝑘,𝑞   𝜑,𝑖,𝑛   𝑖,𝑞
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑞)   𝑄(𝑖)   𝐸(𝑖,𝑘,𝑛,𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem nninfsellemeq
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninfsel.e . . . . 5 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o𝑚) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
21nninfself 13403 . . . 4 𝐸:(2o𝑚)⟶ℕ
32a1i 9 . . 3 (𝜑𝐸:(2o𝑚)⟶ℕ)
4 nninfsel.q . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (2o𝑚))
53, 4ffvelrnd 5565 . 2 (𝜑 → (𝐸𝑄) ∈ ℕ)
6 nninfsel.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ω)
7 fveq1 5429 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑄 → (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))))
87eqeq1d 2149 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = 𝑄 → ((𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
98ralbidv 2439 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑄 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
109ifbid 3499 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑄 → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
1110mpteq2dv 4028 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑄 → (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
12 omex 4516 . . . . . . . 8 ω ∈ V
1312mptex 5655 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) ∈ V
1411, 1, 13fvmpt 5507 . . . . . 6 (𝑄 ∈ (2o𝑚) → (𝐸𝑄) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
154, 14syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸𝑄) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
1615adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑁) → (𝐸𝑄) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
17 simpr 109 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → 𝑛 = 𝑗)
18 simplr 520 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → 𝑗𝑁)
1917, 18eqeltrd 2217 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → 𝑛𝑁)
20 nnord 4534 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ω → Ord 𝑁)
21 vex 2693 . . . . . . . . . 10 𝑛 ∈ V
22 ordelsuc 4430 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ V ∧ Ord 𝑁) → (𝑛𝑁 ↔ suc 𝑛𝑁))
2321, 22mpan 421 . . . . . . . . 9 (Ord 𝑁 → (𝑛𝑁 ↔ suc 𝑛𝑁))
246, 20, 233syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑛𝑁 ↔ suc 𝑛𝑁))
2524ad2antrr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → (𝑛𝑁 ↔ suc 𝑛𝑁))
2619, 25mpbid 146 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → suc 𝑛𝑁)
27 nninfsel.qk . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘𝑁 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
2827ad2antrr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → ∀𝑘𝑁 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
29 ssralv 3167 . . . . . 6 (suc 𝑛𝑁 → (∀𝑘𝑁 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o → ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
3026, 28, 29sylc 62 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
3130iftrued 3487 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = 1o)
32 simpr 109 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
336adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑁 ∈ ω)
34 elnn 4528 . . . . 5 ((𝑗𝑁𝑁 ∈ ω) → 𝑗 ∈ ω)
3532, 33, 34syl2anc 409 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑗 ∈ ω)
36 1onn 6425 . . . . 5 1o ∈ ω
3736a1i 9 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑁) → 1o ∈ ω)
3816, 31, 35, 37fvmptd 5511 . . 3 ((𝜑𝑗𝑁) → ((𝐸𝑄)‘𝑗) = 1o)
3938ralrimiva 2509 . 2 (𝜑 → ∀𝑗𝑁 ((𝐸𝑄)‘𝑗) = 1o)
4021sucid 4348 . . . . . . 7 𝑛 ∈ suc 𝑛
4140a1i 9 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → 𝑛 ∈ suc 𝑛)
42 1n0 6338 . . . . . . . 8 1o ≠ ∅
4342nesymi 2355 . . . . . . 7 ¬ ∅ = 1o
44 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑁)
4544eleq2d 2210 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → (𝑖𝑛𝑖𝑁))
4645ifbid 3499 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → if(𝑖𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖𝑁, 1o, ∅))
4746mpteq2dv 4028 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)))
4847fveq2d 5434 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))))
49 nninfsel.qn . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))) = ∅)
5049adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))) = ∅)
5148, 50eqtrd 2173 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = ∅)
5251eqeq1d 2149 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∅ = 1o))
5343, 52mtbiri 665 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o)
54 elequ2 1692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → (𝑖𝑘𝑖𝑛))
5554ifbid 3499 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → if(𝑖𝑘, 1o, ∅) = if(𝑖𝑛, 1o, ∅))
5655mpteq2dv 4028 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))
5756fveq2d 5434 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))))
5857eqeq1d 2149 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o))
5958notbid 657 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o))
6059rspcev 2794 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ suc 𝑛 ∧ ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o) → ∃𝑘 ∈ suc 𝑛 ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
6141, 53, 60syl2anc 409 . . . . 5 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → ∃𝑘 ∈ suc 𝑛 ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
62 rexnalim 2428 . . . . 5 (∃𝑘 ∈ suc 𝑛 ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o → ¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
6361, 62syl 14 . . . 4 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → ¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
6463iffalsed 3490 . . 3 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = ∅)
65 peano1 4517 . . . 4 ∅ ∈ ω
6665a1i 9 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ ω)
6715, 64, 6, 66fvmptd 5511 . 2 (𝜑 → ((𝐸𝑄)‘𝑁) = ∅)
685, 6, 39, 67nninfalllemn 13396 1 (𝜑 → (𝐸𝑄) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  ∃wrex 2418  Vcvv 2690   ⊆ wss 3077  ∅c0 3369  ifcif 3480   ↦ cmpt 3998  Ord word 4293  suc csuc 4296  ωcom 4513  ⟶wf 5128  ‘cfv 5132  (class class class)co 5783  1oc1o 6315  2oc2o 6316   ↑𝑚 cmap 6551  ℕ∞xnninf 7015 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-iord 4297  df-on 4299  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1o 6322  df-2o 6323  df-map 6553  df-nninf 7017 This theorem is referenced by:  nninfsellemqall  13405
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