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Theorem nninfsellemeq 11552
Description: Lemma for nninfsel 11555. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfsel.e 𝐸 = (𝑞 ∈ (2𝑜𝑚) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅)))
nninfsel.q (𝜑𝑄 ∈ (2𝑜𝑚))
nninfsel.1 (𝜑 → (𝑄‘(𝐸𝑄)) = 1𝑜)
nninfsel.n (𝜑𝑁 ∈ ω)
nninfsel.qk (𝜑 → ∀𝑘𝑁 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
nninfsel.qn (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅))) = ∅)
Assertion
Ref Expression
nninfsellemeq (𝜑 → (𝐸𝑄) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑘,𝑛   𝑄,𝑛,𝑘,𝑞   𝜑,𝑖,𝑛   𝑖,𝑞
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑞)   𝑄(𝑖)   𝐸(𝑖,𝑘,𝑛,𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem nninfsellemeq
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninfsel.e . . . . 5 𝐸 = (𝑞 ∈ (2𝑜𝑚) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅)))
21nninfself 11551 . . . 4 𝐸:(2𝑜𝑚)⟶ℕ
32a1i 9 . . 3 (𝜑𝐸:(2𝑜𝑚)⟶ℕ)
4 nninfsel.q . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (2𝑜𝑚))
53, 4ffvelrnd 5419 . 2 (𝜑 → (𝐸𝑄) ∈ ℕ)
6 nninfsel.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ω)
7 fveq1 5288 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑄 → (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))))
87eqeq1d 2096 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = 𝑄 → ((𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜))
98ralbidv 2380 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑄 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜))
109ifbid 3408 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑄 → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅) = if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅))
1110mpteq2dv 3921 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑄 → (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅)) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅)))
12 omex 4398 . . . . . . . 8 ω ∈ V
1312mptex 5505 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅)) ∈ V
1411, 1, 13fvmpt 5365 . . . . . 6 (𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) → (𝐸𝑄) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅)))
154, 14syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸𝑄) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅)))
1615adantr 270 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑁) → (𝐸𝑄) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅)))
17 simpr 108 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → 𝑛 = 𝑗)
18 simplr 497 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → 𝑗𝑁)
1917, 18eqeltrd 2164 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → 𝑛𝑁)
20 nnord 4416 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ω → Ord 𝑁)
21 vex 2622 . . . . . . . . . 10 𝑛 ∈ V
22 ordelsuc 4312 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ V ∧ Ord 𝑁) → (𝑛𝑁 ↔ suc 𝑛𝑁))
2321, 22mpan 415 . . . . . . . . 9 (Ord 𝑁 → (𝑛𝑁 ↔ suc 𝑛𝑁))
246, 20, 233syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑛𝑁 ↔ suc 𝑛𝑁))
2524ad2antrr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → (𝑛𝑁 ↔ suc 𝑛𝑁))
2619, 25mpbid 145 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → suc 𝑛𝑁)
27 nninfsel.qk . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘𝑁 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
2827ad2antrr 472 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → ∀𝑘𝑁 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
29 ssralv 3083 . . . . . 6 (suc 𝑛𝑁 → (∀𝑘𝑁 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 → ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜))
3026, 28, 29sylc 61 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
3130iftrued 3396 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑁) ∧ 𝑛 = 𝑗) → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅) = 1𝑜)
32 simpr 108 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
336adantr 270 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑁 ∈ ω)
34 elnn 4410 . . . . 5 ((𝑗𝑁𝑁 ∈ ω) → 𝑗 ∈ ω)
3532, 33, 34syl2anc 403 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑗 ∈ ω)
36 1onn 6259 . . . . 5 1𝑜 ∈ ω
3736a1i 9 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑁) → 1𝑜 ∈ ω)
3816, 31, 35, 37fvmptd 5369 . . 3 ((𝜑𝑗𝑁) → ((𝐸𝑄)‘𝑗) = 1𝑜)
3938ralrimiva 2446 . 2 (𝜑 → ∀𝑗𝑁 ((𝐸𝑄)‘𝑗) = 1𝑜)
4021sucid 4235 . . . . . . 7 𝑛 ∈ suc 𝑛
4140a1i 9 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → 𝑛 ∈ suc 𝑛)
42 1n0 6179 . . . . . . . 8 1𝑜 ≠ ∅
4342nesymi 2301 . . . . . . 7 ¬ ∅ = 1𝑜
44 simpr 108 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑁)
4544eleq2d 2157 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → (𝑖𝑛𝑖𝑁))
4645ifbid 3408 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → if(𝑖𝑛, 1𝑜, ∅) = if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅))
4746mpteq2dv 3921 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1𝑜, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅)))
4847fveq2d 5293 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1𝑜, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅))))
49 nninfsel.qn . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅))) = ∅)
5049adantr 270 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅))) = ∅)
5148, 50eqtrd 2120 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1𝑜, ∅))) = ∅)
5251eqeq1d 2096 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ↔ ∅ = 1𝑜))
5343, 52mtbiri 635 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
54 elequ2 1648 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → (𝑖𝑘𝑖𝑛))
5554ifbid 3408 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅) = if(𝑖𝑛, 1𝑜, ∅))
5655mpteq2dv 3921 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1𝑜, ∅)))
5756fveq2d 5293 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1𝑜, ∅))))
5857eqeq1d 2096 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜))
5958notbid 627 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ↔ ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜))
6059rspcev 2722 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ suc 𝑛 ∧ ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜) → ∃𝑘 ∈ suc 𝑛 ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
6141, 53, 60syl2anc 403 . . . . 5 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → ∃𝑘 ∈ suc 𝑛 ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
62 rexnalim 2370 . . . . 5 (∃𝑘 ∈ suc 𝑛 ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 → ¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
6361, 62syl 14 . . . 4 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → ¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
6463iffalsed 3399 . . 3 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅) = ∅)
65 peano1 4399 . . . 4 ∅ ∈ ω
6665a1i 9 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ ω)
6715, 64, 6, 66fvmptd 5369 . 2 (𝜑 → ((𝐸𝑄)‘𝑁) = ∅)
685, 6, 39, 67nninfalllemn 11544 1 (𝜑 → (𝐸𝑄) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wcel 1438  wral 2359  wrex 2360  Vcvv 2619  wss 2997  c0 3284  ifcif 3389  cmpt 3891  Ord word 4180  suc csuc 4183  ωcom 4395  wf 4998  cfv 5002  (class class class)co 5634  1𝑜c1o 6156  2𝑜c2o 6157  𝑚 cmap 6385  xnninf 6768
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1o 6163  df-2o 6164  df-map 6387  df-nninf 6770
This theorem is referenced by:  nninfsellemqall  11553
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