Theorem ennnfonelemk 12333

Description: Lemma for ennnfone 12358. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemk.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemk.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ω)
ennnfonelemk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)
ennnfonelemk.j	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ suc 𝑁(𝐹‘𝐾) ≠ (𝐹‘𝑗))

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemk	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑗)

Proof of Theorem ennnfonelemk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝐾) → 𝑁 ∈ 𝐾)
2		eqimss2 3197	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 𝐾 → 𝐾 ⊆ 𝑁)
3	2	adantl 275	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝐾) → 𝐾 ⊆ 𝑁)
4		eqid 2165	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐾) = (𝐹‘𝐾)
5		fveq2 5486	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝐾))
6	5	neeq2d 2355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝐹‘𝐾) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ (𝐹‘𝐾) ≠ (𝐹‘𝐾)))
7		ennnfonelemk.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ suc 𝑁(𝐹‘𝐾) ≠ (𝐹‘𝑗))
8	7	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → ∀𝑗 ∈ suc 𝑁(𝐹‘𝐾) ≠ (𝐹‘𝑗))
9		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → 𝐾 ⊆ 𝑁)
10		ennnfonelemk.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ω)
11	10	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → 𝐾 ∈ ω)
12		ennnfonelemk.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)
13	12	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → 𝑁 ∈ ω)
14		nnsucsssuc 6460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (𝐾 ⊆ 𝑁 ↔ suc 𝐾 ⊆ suc 𝑁))
15	11, 13, 14	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → (𝐾 ⊆ 𝑁 ↔ suc 𝐾 ⊆ suc 𝑁))
16	9, 15	mpbid 146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → suc 𝐾 ⊆ suc 𝑁)
17		peano2 4572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ω → suc 𝑁 ∈ ω)
18		nnord 4589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (suc 𝑁 ∈ ω → Ord suc 𝑁)
19	13, 17, 18	3syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → Ord suc 𝑁)
20		ordelsuc 4482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ω ∧ Ord suc 𝑁) → (𝐾 ∈ suc 𝑁 ↔ suc 𝐾 ⊆ suc 𝑁))
21	11, 19, 20	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → (𝐾 ∈ suc 𝑁 ↔ suc 𝐾 ⊆ suc 𝑁))
22	16, 21	mpbird 166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → 𝐾 ∈ suc 𝑁)
23	6, 8, 22	rspcdva 2835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → (𝐹‘𝐾) ≠ (𝐹‘𝐾))
24	23	neneqd 2357	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → ¬ (𝐹‘𝐾) = (𝐹‘𝐾))
25	24	ex 114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊆ 𝑁 → ¬ (𝐹‘𝐾) = (𝐹‘𝐾)))
26	4, 25	mt2i 634	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ⊆ 𝑁)
27	26	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝐾) → ¬ 𝐾 ⊆ 𝑁)
28	3, 27	pm2.21dd 610	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝐾) → 𝑁 ∈ 𝐾)
29	12	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ ω)
30		nnon 4587	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ω → 𝑁 ∈ On)
31	29, 30	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ On)
32		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ 𝑁)
33		onelss 4365	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ On → (𝐾 ∈ 𝑁 → 𝐾 ⊆ 𝑁))
34	31, 32, 33	sylc 62	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐾 ⊆ 𝑁)
35	26	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ¬ 𝐾 ⊆ 𝑁)
36	34, 35	pm2.21dd 610	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ 𝐾)
37		nntri3or 6461	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐾 ∈ ω) → (𝑁 ∈ 𝐾 ∨ 𝑁 = 𝐾 ∨ 𝐾 ∈ 𝑁))
38	12, 10, 37	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐾 ∨ 𝑁 = 𝐾 ∨ 𝐾 ∈ 𝑁))
39	1, 28, 36, 38	mpjao3dan 1297	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ w3o 967   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336  ∀wral 2444   ⊆ wss 3116  Ord word 4340  Oncon0 4341  suc csuc 4343  ωcom 4567  –onto→wfo 5186  ‘cfv 5188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-tr 4081  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-iota 5153  df-fv 5196

This theorem is referenced by:  ennnfonelemex  12347