Theorem ennnfonelemk 13101

Description: Lemma for ennnfone 13126. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemk.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemk.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ω)
ennnfonelemk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)
ennnfonelemk.j	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ suc 𝑁(𝐹‘𝐾) ≠ (𝐹‘𝑗))

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemk	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑗)

Proof of Theorem ennnfonelemk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝐾) → 𝑁 ∈ 𝐾)
2		eqimss2 3283	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 𝐾 → 𝐾 ⊆ 𝑁)
3	2	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝐾) → 𝐾 ⊆ 𝑁)
4		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐾) = (𝐹‘𝐾)
5		fveq2 5648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝐾))
6	5	neeq2d 2422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝐹‘𝐾) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ (𝐹‘𝐾) ≠ (𝐹‘𝐾)))
7		ennnfonelemk.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ suc 𝑁(𝐹‘𝐾) ≠ (𝐹‘𝑗))
8	7	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → ∀𝑗 ∈ suc 𝑁(𝐹‘𝐾) ≠ (𝐹‘𝑗))
9		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → 𝐾 ⊆ 𝑁)
10		ennnfonelemk.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ω)
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → 𝐾 ∈ ω)
12		ennnfonelemk.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → 𝑁 ∈ ω)
14		nnsucsssuc 6703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (𝐾 ⊆ 𝑁 ↔ suc 𝐾 ⊆ suc 𝑁))
15	11, 13, 14	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → (𝐾 ⊆ 𝑁 ↔ suc 𝐾 ⊆ suc 𝑁))
16	9, 15	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → suc 𝐾 ⊆ suc 𝑁)
17		peano2 4699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ω → suc 𝑁 ∈ ω)
18		nnord 4716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (suc 𝑁 ∈ ω → Ord suc 𝑁)
19	13, 17, 18	3syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → Ord suc 𝑁)
20		ordelsuc 4609	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ω ∧ Ord suc 𝑁) → (𝐾 ∈ suc 𝑁 ↔ suc 𝐾 ⊆ suc 𝑁))
21	11, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → (𝐾 ∈ suc 𝑁 ↔ suc 𝐾 ⊆ suc 𝑁))
22	16, 21	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → 𝐾 ∈ suc 𝑁)
23	6, 8, 22	rspcdva 2916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → (𝐹‘𝐾) ≠ (𝐹‘𝐾))
24	23	neneqd 2424	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → ¬ (𝐹‘𝐾) = (𝐹‘𝐾))
25	24	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊆ 𝑁 → ¬ (𝐹‘𝐾) = (𝐹‘𝐾)))
26	4, 25	mt2i 649	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ⊆ 𝑁)
27	26	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝐾) → ¬ 𝐾 ⊆ 𝑁)
28	3, 27	pm2.21dd 625	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝐾) → 𝑁 ∈ 𝐾)
29	12	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ ω)
30		nnon 4714	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ω → 𝑁 ∈ On)
31	29, 30	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ On)
32		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ 𝑁)
33		onelss 4490	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ On → (𝐾 ∈ 𝑁 → 𝐾 ⊆ 𝑁))
34	31, 32, 33	sylc 62	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐾 ⊆ 𝑁)
35	26	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ¬ 𝐾 ⊆ 𝑁)
36	34, 35	pm2.21dd 625	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ 𝐾)
37		nntri3or 6704	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐾 ∈ ω) → (𝑁 ∈ 𝐾 ∨ 𝑁 = 𝐾 ∨ 𝐾 ∈ 𝑁))
38	12, 10, 37	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐾 ∨ 𝑁 = 𝐾 ∨ 𝐾 ∈ 𝑁))
39	1, 28, 36, 38	mpjao3dan 1344	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 1004   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403  ∀wral 2511   ⊆ wss 3201  Ord word 4465  Oncon0 4466  suc csuc 4468  ωcom 4694  –onto→wfo 5331  ‘cfv 5333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-tr 4193  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-iota 5293  df-fv 5341

This theorem is referenced by:  ennnfonelemex  13115