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Theorem ennnfonelemk 11758
Description: Lemma for ennnfone 11783. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemk.f (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
ennnfonelemk.k (𝜑𝐾 ∈ ω)
ennnfonelemk.n (𝜑𝑁 ∈ ω)
ennnfonelemk.j (𝜑 → ∀𝑗 ∈ suc 𝑁(𝐹𝐾) ≠ (𝐹𝑗))
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemk (𝜑𝑁𝐾)
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑗)

Proof of Theorem ennnfonelemk
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . 2 ((𝜑𝑁𝐾) → 𝑁𝐾)
2 eqimss2 3118 . . . 4 (𝑁 = 𝐾𝐾𝑁)
32adantl 273 . . 3 ((𝜑𝑁 = 𝐾) → 𝐾𝑁)
4 eqid 2115 . . . . 5 (𝐹𝐾) = (𝐹𝐾)
5 fveq2 5375 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝐾 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝐾))
65neeq2d 2301 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐾 → ((𝐹𝐾) ≠ (𝐹𝑗) ↔ (𝐹𝐾) ≠ (𝐹𝐾)))
7 ennnfonelemk.j . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ suc 𝑁(𝐹𝐾) ≠ (𝐹𝑗))
87adantr 272 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾𝑁) → ∀𝑗 ∈ suc 𝑁(𝐹𝐾) ≠ (𝐹𝑗))
9 simpr 109 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐾𝑁) → 𝐾𝑁)
10 ennnfonelemk.k . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ ω)
1110adantr 272 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ ω)
12 ennnfonelemk.n . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ω)
1312adantr 272 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ ω)
14 nnsucsssuc 6342 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (𝐾𝑁 ↔ suc 𝐾 ⊆ suc 𝑁))
1511, 13, 14syl2anc 406 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐾𝑁) → (𝐾𝑁 ↔ suc 𝐾 ⊆ suc 𝑁))
169, 15mpbid 146 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐾𝑁) → suc 𝐾 ⊆ suc 𝑁)
17 peano2 4469 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ω → suc 𝑁 ∈ ω)
18 nnord 4485 . . . . . . . . . . 11 (suc 𝑁 ∈ ω → Ord suc 𝑁)
1913, 17, 183syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐾𝑁) → Ord suc 𝑁)
20 ordelsuc 4381 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ω ∧ Ord suc 𝑁) → (𝐾 ∈ suc 𝑁 ↔ suc 𝐾 ⊆ suc 𝑁))
2111, 19, 20syl2anc 406 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐾𝑁) → (𝐾 ∈ suc 𝑁 ↔ suc 𝐾 ⊆ suc 𝑁))
2216, 21mpbird 166 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ suc 𝑁)
236, 8, 22rspcdva 2765 . . . . . . 7 ((𝜑𝐾𝑁) → (𝐹𝐾) ≠ (𝐹𝐾))
2423neneqd 2303 . . . . . 6 ((𝜑𝐾𝑁) → ¬ (𝐹𝐾) = (𝐹𝐾))
2524ex 114 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾𝑁 → ¬ (𝐹𝐾) = (𝐹𝐾)))
264, 25mt2i 616 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐾𝑁)
2726adantr 272 . . 3 ((𝜑𝑁 = 𝐾) → ¬ 𝐾𝑁)
283, 27pm2.21dd 592 . 2 ((𝜑𝑁 = 𝐾) → 𝑁𝐾)
2912adantr 272 . . . . 5 ((𝜑𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ ω)
30 nnon 4483 . . . . 5 (𝑁 ∈ ω → 𝑁 ∈ On)
3129, 30syl 14 . . . 4 ((𝜑𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ On)
32 simpr 109 . . . 4 ((𝜑𝐾𝑁) → 𝐾𝑁)
33 onelss 4269 . . . 4 (𝑁 ∈ On → (𝐾𝑁𝐾𝑁))
3431, 32, 33sylc 62 . . 3 ((𝜑𝐾𝑁) → 𝐾𝑁)
3526adantr 272 . . 3 ((𝜑𝐾𝑁) → ¬ 𝐾𝑁)
3634, 35pm2.21dd 592 . 2 ((𝜑𝐾𝑁) → 𝑁𝐾)
37 nntri3or 6343 . . 3 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐾 ∈ ω) → (𝑁𝐾𝑁 = 𝐾𝐾𝑁))
3812, 10, 37syl2anc 406 . 2 (𝜑 → (𝑁𝐾𝑁 = 𝐾𝐾𝑁))
391, 28, 36, 38mpjao3dan 1268 1 (𝜑𝑁𝐾)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  w3o 944   = wceq 1314  wcel 1463  wne 2282  wral 2390  wss 3037  Ord word 4244  Oncon0 4245  suc csuc 4247  ωcom 4464  ontowfo 5079  cfv 5081
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-iinf 4462
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-tr 3987  df-iord 4248  df-on 4250  df-suc 4253  df-iom 4465  df-iota 5046  df-fv 5089
This theorem is referenced by:  ennnfonelemex  11772
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