Theorem ennnfonelemk 12617

Description: Lemma for ennnfone 12642. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemk.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemk.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ω)
ennnfonelemk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)
ennnfonelemk.j	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ suc 𝑁(𝐹‘𝐾) ≠ (𝐹‘𝑗))

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemk	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑗)

Proof of Theorem ennnfonelemk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝐾) → 𝑁 ∈ 𝐾)
2		eqimss2 3238	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 𝐾 → 𝐾 ⊆ 𝑁)
3	2	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝐾) → 𝐾 ⊆ 𝑁)
4		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐾) = (𝐹‘𝐾)
5		fveq2 5558	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝐾))
6	5	neeq2d 2386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝐹‘𝐾) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ (𝐹‘𝐾) ≠ (𝐹‘𝐾)))
7		ennnfonelemk.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ suc 𝑁(𝐹‘𝐾) ≠ (𝐹‘𝑗))
8	7	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → ∀𝑗 ∈ suc 𝑁(𝐹‘𝐾) ≠ (𝐹‘𝑗))
9		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → 𝐾 ⊆ 𝑁)
10		ennnfonelemk.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ω)
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → 𝐾 ∈ ω)
12		ennnfonelemk.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → 𝑁 ∈ ω)
14		nnsucsssuc 6550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (𝐾 ⊆ 𝑁 ↔ suc 𝐾 ⊆ suc 𝑁))
15	11, 13, 14	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → (𝐾 ⊆ 𝑁 ↔ suc 𝐾 ⊆ suc 𝑁))
16	9, 15	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → suc 𝐾 ⊆ suc 𝑁)
17		peano2 4631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ω → suc 𝑁 ∈ ω)
18		nnord 4648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (suc 𝑁 ∈ ω → Ord suc 𝑁)
19	13, 17, 18	3syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → Ord suc 𝑁)
20		ordelsuc 4541	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ω ∧ Ord suc 𝑁) → (𝐾 ∈ suc 𝑁 ↔ suc 𝐾 ⊆ suc 𝑁))
21	11, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → (𝐾 ∈ suc 𝑁 ↔ suc 𝐾 ⊆ suc 𝑁))
22	16, 21	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → 𝐾 ∈ suc 𝑁)
23	6, 8, 22	rspcdva 2873	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → (𝐹‘𝐾) ≠ (𝐹‘𝐾))
24	23	neneqd 2388	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ⊆ 𝑁) → ¬ (𝐹‘𝐾) = (𝐹‘𝐾))
25	24	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊆ 𝑁 → ¬ (𝐹‘𝐾) = (𝐹‘𝐾)))
26	4, 25	mt2i 645	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ⊆ 𝑁)
27	26	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝐾) → ¬ 𝐾 ⊆ 𝑁)
28	3, 27	pm2.21dd 621	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝐾) → 𝑁 ∈ 𝐾)
29	12	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ ω)
30		nnon 4646	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ω → 𝑁 ∈ On)
31	29, 30	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ On)
32		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ 𝑁)
33		onelss 4422	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ On → (𝐾 ∈ 𝑁 → 𝐾 ⊆ 𝑁))
34	31, 32, 33	sylc 62	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐾 ⊆ 𝑁)
35	26	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ¬ 𝐾 ⊆ 𝑁)
36	34, 35	pm2.21dd 621	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ 𝐾)
37		nntri3or 6551	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐾 ∈ ω) → (𝑁 ∈ 𝐾 ∨ 𝑁 = 𝐾 ∨ 𝐾 ∈ 𝑁))
38	12, 10, 37	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐾 ∨ 𝑁 = 𝐾 ∨ 𝐾 ∈ 𝑁))
39	1, 28, 36, 38	mpjao3dan 1318	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∀wral 2475   ⊆ wss 3157  Ord word 4397  Oncon0 4398  suc csuc 4400  ωcom 4626  –onto→wfo 5256  ‘cfv 5258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-tr 4132  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-iota 5219  df-fv 5266

This theorem is referenced by:  ennnfonelemex  12631