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Theorem ennnfonelemk 12454
Description: Lemma for ennnfone 12479. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemk.f (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
ennnfonelemk.k (𝜑𝐾 ∈ ω)
ennnfonelemk.n (𝜑𝑁 ∈ ω)
ennnfonelemk.j (𝜑 → ∀𝑗 ∈ suc 𝑁(𝐹𝐾) ≠ (𝐹𝑗))
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemk (𝜑𝑁𝐾)
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑗)

Proof of Theorem ennnfonelemk
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . 2 ((𝜑𝑁𝐾) → 𝑁𝐾)
2 eqimss2 3225 . . . 4 (𝑁 = 𝐾𝐾𝑁)
32adantl 277 . . 3 ((𝜑𝑁 = 𝐾) → 𝐾𝑁)
4 eqid 2189 . . . . 5 (𝐹𝐾) = (𝐹𝐾)
5 fveq2 5534 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝐾 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝐾))
65neeq2d 2379 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐾 → ((𝐹𝐾) ≠ (𝐹𝑗) ↔ (𝐹𝐾) ≠ (𝐹𝐾)))
7 ennnfonelemk.j . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ suc 𝑁(𝐹𝐾) ≠ (𝐹𝑗))
87adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾𝑁) → ∀𝑗 ∈ suc 𝑁(𝐹𝐾) ≠ (𝐹𝑗))
9 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐾𝑁) → 𝐾𝑁)
10 ennnfonelemk.k . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ ω)
1110adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ ω)
12 ennnfonelemk.n . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ω)
1312adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ ω)
14 nnsucsssuc 6518 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (𝐾𝑁 ↔ suc 𝐾 ⊆ suc 𝑁))
1511, 13, 14syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐾𝑁) → (𝐾𝑁 ↔ suc 𝐾 ⊆ suc 𝑁))
169, 15mpbid 147 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐾𝑁) → suc 𝐾 ⊆ suc 𝑁)
17 peano2 4612 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ω → suc 𝑁 ∈ ω)
18 nnord 4629 . . . . . . . . . . 11 (suc 𝑁 ∈ ω → Ord suc 𝑁)
1913, 17, 183syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐾𝑁) → Ord suc 𝑁)
20 ordelsuc 4522 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ω ∧ Ord suc 𝑁) → (𝐾 ∈ suc 𝑁 ↔ suc 𝐾 ⊆ suc 𝑁))
2111, 19, 20syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐾𝑁) → (𝐾 ∈ suc 𝑁 ↔ suc 𝐾 ⊆ suc 𝑁))
2216, 21mpbird 167 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ suc 𝑁)
236, 8, 22rspcdva 2861 . . . . . . 7 ((𝜑𝐾𝑁) → (𝐹𝐾) ≠ (𝐹𝐾))
2423neneqd 2381 . . . . . 6 ((𝜑𝐾𝑁) → ¬ (𝐹𝐾) = (𝐹𝐾))
2524ex 115 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾𝑁 → ¬ (𝐹𝐾) = (𝐹𝐾)))
264, 25mt2i 645 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐾𝑁)
2726adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑁 = 𝐾) → ¬ 𝐾𝑁)
283, 27pm2.21dd 621 . 2 ((𝜑𝑁 = 𝐾) → 𝑁𝐾)
2912adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ ω)
30 nnon 4627 . . . . 5 (𝑁 ∈ ω → 𝑁 ∈ On)
3129, 30syl 14 . . . 4 ((𝜑𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ On)
32 simpr 110 . . . 4 ((𝜑𝐾𝑁) → 𝐾𝑁)
33 onelss 4405 . . . 4 (𝑁 ∈ On → (𝐾𝑁𝐾𝑁))
3431, 32, 33sylc 62 . . 3 ((𝜑𝐾𝑁) → 𝐾𝑁)
3526adantr 276 . . 3 ((𝜑𝐾𝑁) → ¬ 𝐾𝑁)
3634, 35pm2.21dd 621 . 2 ((𝜑𝐾𝑁) → 𝑁𝐾)
37 nntri3or 6519 . . 3 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐾 ∈ ω) → (𝑁𝐾𝑁 = 𝐾𝐾𝑁))
3812, 10, 37syl2anc 411 . 2 (𝜑 → (𝑁𝐾𝑁 = 𝐾𝐾𝑁))
391, 28, 36, 38mpjao3dan 1318 1 (𝜑𝑁𝐾)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  w3o 979   = wceq 1364  wcel 2160  wne 2360  wral 2468  wss 3144  Ord word 4380  Oncon0 4381  suc csuc 4383  ωcom 4607  ontowfo 5233  cfv 5235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-tr 4117  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-iota 5196  df-fv 5243
This theorem is referenced by:  ennnfonelemex  12468
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