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Theorem ennnfonelemex 11772
Description: Lemma for ennnfone 11783. Extending the sequence (𝐻𝑃) to include an additional element. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
ennnfonelemh.ne (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
ennnfonelemh.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfonelemex.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemex (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻𝑃) ∈ dom (𝐻𝑖))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑗,𝐹,𝑘,𝑛   𝑥,𝐹,𝑦   𝑗,𝐺   𝑗,𝐻,𝑘,𝑛   𝑖,𝐻,𝑘   𝑥,𝐻,𝑦,𝑘   𝑗,𝐽   𝑗,𝑁,𝑘,𝑛   𝑖,𝑁   𝑥,𝑁,𝑦   𝑃,𝑗,𝑘,𝑛   𝑥,𝑃,𝑦   𝑃,𝑖   𝜑,𝑗,𝑘,𝑛   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐴(𝑖,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemex
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑞 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suceq 4284 . . . . 5 (𝑛 = (𝑁𝑃) → suc 𝑛 = suc (𝑁𝑃))
21raleqdv 2606 . . . 4 (𝑛 = (𝑁𝑃) → (∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗)))
32rexbidv 2412 . . 3 (𝑛 = (𝑁𝑃) → (∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗) ↔ ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗)))
4 ennnfonelemh.ne . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
5 ennnfonelemh.n . . . . . . 7 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
65frechashgf1o 10094 . . . . . 6 𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0
7 f1ocnv 5336 . . . . . 6 (𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0𝑁:ℕ01-1-onto→ω)
86, 7ax-mp 7 . . . . 5 𝑁:ℕ01-1-onto→ω
9 f1of 5323 . . . . 5 (𝑁:ℕ01-1-onto→ω → 𝑁:ℕ0⟶ω)
108, 9mp1i 10 . . . 4 (𝜑𝑁:ℕ0⟶ω)
11 ennnfonelemex.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
1210, 11ffvelrnd 5510 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑃) ∈ ω)
133, 4, 12rspcdva 2765 . 2 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
14 f1of 5323 . . . . 5 (𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0𝑁:ω⟶ℕ0)
156, 14mp1i 10 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → 𝑁:ω⟶ℕ0)
16 peano2 4469 . . . . 5 (𝑘 ∈ ω → suc 𝑘 ∈ ω)
1716ad2antrl 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → suc 𝑘 ∈ ω)
1815, 17ffvelrnd 5510 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → (𝑁‘suc 𝑘) ∈ ℕ0)
19 ennnfonelemh.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
2019ad2antrr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) ∧ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) → 𝐹:ω–onto𝐴)
21 fofun 5304 . . . . . . . 8 (𝐹:ω–onto𝐴 → Fun 𝐹)
2220, 21syl 14 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) ∧ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) → Fun 𝐹)
23 vex 2660 . . . . . . . . . 10 𝑘 ∈ V
2423sucid 4299 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ suc 𝑘
25 simprl 503 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → 𝑘 ∈ ω)
2625adantr 272 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) ∧ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) → 𝑘 ∈ ω)
27 fof 5303 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:ω–onto𝐴𝐹:ω⟶𝐴)
28 fdm 5236 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:ω⟶𝐴 → dom 𝐹 = ω)
2920, 27, 283syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) ∧ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) → dom 𝐹 = ω)
3026, 29eleqtrrd 2194 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) ∧ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
31 funfvima 5603 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐹𝑘 ∈ dom 𝐹) → (𝑘 ∈ suc 𝑘 → (𝐹𝑘) ∈ (𝐹 “ suc 𝑘)))
3222, 30, 31syl2anc 406 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) ∧ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) → (𝑘 ∈ suc 𝑘 → (𝐹𝑘) ∈ (𝐹 “ suc 𝑘)))
3324, 32mpi 15 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) ∧ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐹 “ suc 𝑘))
34 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) ∧ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) → dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)))
35 ennnfonelemh.dceq . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
3635adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
3719adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → 𝐹:ω–onto𝐴)
384adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
39 fveq2 5375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 = 𝑎 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑎))
4039neeq2d 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = 𝑎 → ((𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗) ↔ (𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑎)))
4140cbvralv 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗) ↔ ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑎))
4241rexbii 2416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗) ↔ ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑎))
43 fveq2 5375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑏 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑏))
4443neeq1d 2300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑏 → ((𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑎) ↔ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)))
4544ralbidv 2411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑏 → (∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑎) ↔ ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)))
4645cbvrexv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∃𝑘 ∈ ω ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑎) ↔ ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎))
4742, 46bitri 183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗) ↔ ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎))
4847ralbii 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗) ↔ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎))
4938, 48sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎))
50 ennnfonelemh.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
51 ennnfonelemh.j . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
52 ennnfonelemh.h . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
5336, 37, 49, 50, 5, 51, 52, 18ennnfonelemhf1o 11771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)):dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁‘(𝑁‘suc 𝑘))))
54 f1ofun 5325 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)):dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁‘(𝑁‘suc 𝑘))) → Fun (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)))
5553, 54syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → Fun (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)))
5655ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) ∧ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) ∧ 𝑠 ∈ dom (𝐻𝑃)) → Fun (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)))
5711adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
586, 14mp1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ω) → 𝑁:ω⟶ℕ0)
5916adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ω) → suc 𝑘 ∈ ω)
6058, 59ffvelrnd 5510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ω) → (𝑁‘suc 𝑘) ∈ ℕ0)
6160adantrr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → (𝑁‘suc 𝑘) ∈ ℕ0)
6257nn0red 8935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → 𝑃 ∈ ℝ)
6361nn0red 8935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → (𝑁‘suc 𝑘) ∈ ℝ)
64 f1ocnvfv2 5633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑁‘(𝑁𝑃)) = 𝑃)
656, 57, 64sylancr 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → (𝑁‘(𝑁𝑃)) = 𝑃)
6612adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → (𝑁𝑃) ∈ ω)
67 simprr 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
6837, 25, 66, 67ennnfonelemk 11758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → (𝑁𝑃) ∈ 𝑘)
69 elelsuc 4291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁𝑃) ∈ 𝑘 → (𝑁𝑃) ∈ suc 𝑘)
7068, 69syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → (𝑁𝑃) ∈ suc 𝑘)
71 0zd 8970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → 0 ∈ ℤ)
7271, 5, 66, 17frec2uzltd 10069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → ((𝑁𝑃) ∈ suc 𝑘 → (𝑁‘(𝑁𝑃)) < (𝑁‘suc 𝑘)))
7370, 72mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → (𝑁‘(𝑁𝑃)) < (𝑁‘suc 𝑘))
7465, 73eqbrtrrd 3917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → 𝑃 < (𝑁‘suc 𝑘))
7562, 63, 74ltled 7804 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → 𝑃 ≤ (𝑁‘suc 𝑘))
7636, 37, 38, 50, 5, 51, 52, 57, 61, 75ennnfoneleminc 11769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)))
7776ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) ∧ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) ∧ 𝑠 ∈ dom (𝐻𝑃)) → (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)))
78 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) ∧ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) ∧ 𝑠 ∈ dom (𝐻𝑃)) → 𝑠 ∈ dom (𝐻𝑃))
79 funssfv 5401 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)) ∧ (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)) ∧ 𝑠 ∈ dom (𝐻𝑃)) → ((𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))‘𝑠) = ((𝐻𝑃)‘𝑠))
8056, 77, 78, 79syl3anc 1199 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) ∧ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) ∧ 𝑠 ∈ dom (𝐻𝑃)) → ((𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))‘𝑠) = ((𝐻𝑃)‘𝑠))
8180eqcomd 2120 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) ∧ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) ∧ 𝑠 ∈ dom (𝐻𝑃)) → ((𝐻𝑃)‘𝑠) = ((𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))‘𝑠))
8281ralrimiva 2479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) ∧ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) → ∀𝑠 ∈ dom (𝐻𝑃)((𝐻𝑃)‘𝑠) = ((𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))‘𝑠))
8336, 37, 49, 50, 5, 51, 52, 57ennnfonelemhf1o 11771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → (𝐻𝑃):dom (𝐻𝑃)–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁𝑃)))
84 f1ofun 5325 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐻𝑃):dom (𝐻𝑃)–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁𝑃)) → Fun (𝐻𝑃))
8583, 84syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → Fun (𝐻𝑃))
86 eqfunfv 5477 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun (𝐻𝑃) ∧ Fun (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) → ((𝐻𝑃) = (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)) ↔ (dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)) ∧ ∀𝑠 ∈ dom (𝐻𝑃)((𝐻𝑃)‘𝑠) = ((𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))‘𝑠))))
8785, 55, 86syl2anc 406 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → ((𝐻𝑃) = (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)) ↔ (dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)) ∧ ∀𝑠 ∈ dom (𝐻𝑃)((𝐻𝑃)‘𝑠) = ((𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))‘𝑠))))
8887adantr 272 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) ∧ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) → ((𝐻𝑃) = (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)) ↔ (dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)) ∧ ∀𝑠 ∈ dom (𝐻𝑃)((𝐻𝑃)‘𝑠) = ((𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))‘𝑠))))
8934, 82, 88mpbir2and 911 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) ∧ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) → (𝐻𝑃) = (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)))
9089rneqd 4728 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) ∧ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) → ran (𝐻𝑃) = ran (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)))
91 dff1o5 5332 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻𝑃):dom (𝐻𝑃)–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁𝑃)) ↔ ((𝐻𝑃):dom (𝐻𝑃)–1-1→(𝐹 “ (𝑁𝑃)) ∧ ran (𝐻𝑃) = (𝐹 “ (𝑁𝑃))))
9283, 91sylib 121 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → ((𝐻𝑃):dom (𝐻𝑃)–1-1→(𝐹 “ (𝑁𝑃)) ∧ ran (𝐻𝑃) = (𝐹 “ (𝑁𝑃))))
9392simprd 113 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → ran (𝐻𝑃) = (𝐹 “ (𝑁𝑃)))
9493adantr 272 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) ∧ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) → ran (𝐻𝑃) = (𝐹 “ (𝑁𝑃)))
95 f1ocnvfv1 5632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ suc 𝑘 ∈ ω) → (𝑁‘(𝑁‘suc 𝑘)) = suc 𝑘)
966, 17, 95sylancr 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → (𝑁‘(𝑁‘suc 𝑘)) = suc 𝑘)
9796imaeq2d 4839 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → (𝐹 “ (𝑁‘(𝑁‘suc 𝑘))) = (𝐹 “ suc 𝑘))
98 f1oeq3 5316 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 “ (𝑁‘(𝑁‘suc 𝑘))) = (𝐹 “ suc 𝑘) → ((𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)):dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁‘(𝑁‘suc 𝑘))) ↔ (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)):dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))–1-1-onto→(𝐹 “ suc 𝑘)))
9997, 98syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → ((𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)):dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁‘(𝑁‘suc 𝑘))) ↔ (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)):dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))–1-1-onto→(𝐹 “ suc 𝑘)))
10053, 99mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)):dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))–1-1-onto→(𝐹 “ suc 𝑘))
101 dff1o5 5332 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)):dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))–1-1-onto→(𝐹 “ suc 𝑘) ↔ ((𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)):dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))–1-1→(𝐹 “ suc 𝑘) ∧ ran (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)) = (𝐹 “ suc 𝑘)))
102100, 101sylib 121 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → ((𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)):dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))–1-1→(𝐹 “ suc 𝑘) ∧ ran (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)) = (𝐹 “ suc 𝑘)))
103102simprd 113 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → ran (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)) = (𝐹 “ suc 𝑘))
104103adantr 272 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) ∧ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) → ran (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)) = (𝐹 “ suc 𝑘))
10590, 94, 1043eqtr3d 2155 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) ∧ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) → (𝐹 “ (𝑁𝑃)) = (𝐹 “ suc 𝑘))
10633, 105eleqtrrd 2194 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) ∧ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃)))
107 fvelima 5427 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃))) → ∃𝑞 ∈ (𝑁𝑃)(𝐹𝑞) = (𝐹𝑘))
10822, 106, 107syl2anc 406 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) ∧ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) → ∃𝑞 ∈ (𝑁𝑃)(𝐹𝑞) = (𝐹𝑘))
109 simprr 504 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) ∧ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) ∧ (𝑞 ∈ (𝑁𝑃) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑘))) → (𝐹𝑞) = (𝐹𝑘))
110 fveq2 5375 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑞 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑞))
111110neeq2d 2301 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑞 → ((𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗) ↔ (𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑞)))
11267ad2antrr 477 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) ∧ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) ∧ (𝑞 ∈ (𝑁𝑃) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑘))) → ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
113 elelsuc 4291 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ∈ (𝑁𝑃) → 𝑞 ∈ suc (𝑁𝑃))
114113ad2antrl 479 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) ∧ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) ∧ (𝑞 ∈ (𝑁𝑃) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑘))) → 𝑞 ∈ suc (𝑁𝑃))
115111, 112, 114rspcdva 2765 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) ∧ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) ∧ (𝑞 ∈ (𝑁𝑃) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑘))) → (𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑞))
116115necomd 2368 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) ∧ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) ∧ (𝑞 ∈ (𝑁𝑃) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑘))) → (𝐹𝑞) ≠ (𝐹𝑘))
117109, 116pm2.21ddne 2365 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) ∧ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) ∧ (𝑞 ∈ (𝑁𝑃) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑘))) → ⊥)
118108, 117rexlimddv 2528 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) ∧ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) → ⊥)
119118inegd 1333 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → ¬ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)))
120 dmss 4698 . . . . . 6 ((𝐻𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)) → dom (𝐻𝑃) ⊆ dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)))
12176, 120syl 14 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → dom (𝐻𝑃) ⊆ dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)))
12235, 19, 4, 50, 5, 51, 52, 11ennnfonelemom 11766 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝐻𝑃) ∈ ω)
123122adantr 272 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → dom (𝐻𝑃) ∈ ω)
12442a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → (∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗) ↔ ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑎)))
125124ralbidv 2411 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → (∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗) ↔ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑎)))
12638, 125mpbid 146 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑎))
12736, 37, 126, 50, 5, 51, 52, 61ennnfonelemom 11766 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)) ∈ ω)
128 nntri1 6346 . . . . . 6 ((dom (𝐻𝑃) ∈ ω ∧ dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)) ∈ ω) → (dom (𝐻𝑃) ⊆ dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)) ↔ ¬ dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)) ∈ dom (𝐻𝑃)))
129123, 127, 128syl2anc 406 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → (dom (𝐻𝑃) ⊆ dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)) ↔ ¬ dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)) ∈ dom (𝐻𝑃)))
130121, 129mpbid 146 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → ¬ dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)) ∈ dom (𝐻𝑃))
131 nntri3or 6343 . . . . 5 ((dom (𝐻𝑃) ∈ ω ∧ dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)) ∈ ω) → (dom (𝐻𝑃) ∈ dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)) ∨ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)) ∨ dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)) ∈ dom (𝐻𝑃)))
132123, 127, 131syl2anc 406 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → (dom (𝐻𝑃) ∈ dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)) ∨ dom (𝐻𝑃) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)) ∨ dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)) ∈ dom (𝐻𝑃)))
133119, 130, 132ecase23d 1311 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → dom (𝐻𝑃) ∈ dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)))
134 fveq2 5375 . . . . . 6 (𝑖 = (𝑁‘suc 𝑘) → (𝐻𝑖) = (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)))
135134dmeqd 4701 . . . . 5 (𝑖 = (𝑁‘suc 𝑘) → dom (𝐻𝑖) = dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘)))
136135eleq2d 2184 . . . 4 (𝑖 = (𝑁‘suc 𝑘) → (dom (𝐻𝑃) ∈ dom (𝐻𝑖) ↔ dom (𝐻𝑃) ∈ dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))))
137136rspcev 2760 . . 3 (((𝑁‘suc 𝑘) ∈ ℕ0 ∧ dom (𝐻𝑃) ∈ dom (𝐻‘(𝑁‘suc 𝑘))) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻𝑃) ∈ dom (𝐻𝑖))
13818, 133, 137syl2anc 406 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑗 ∈ suc (𝑁𝑃)(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻𝑃) ∈ dom (𝐻𝑖))
13913, 138rexlimddv 2528 1 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 dom (𝐻𝑃) ∈ dom (𝐻𝑖))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  DECID wdc 802  w3o 944   = wceq 1314  wfal 1319  wcel 1463  wne 2282  wral 2390  wrex 2391  cun 3035  wss 3037  c0 3329  ifcif 3440  {csn 3493  cop 3496   class class class wbr 3895  cmpt 3949  suc csuc 4247  ωcom 4464  ccnv 4498  dom cdm 4499  ran crn 4500  cima 4502  Fun wfun 5075  wf 5077  1-1wf1 5078  ontowfo 5079  1-1-ontowf1o 5080  cfv 5081  (class class class)co 5728  cmpo 5730  freccfrec 6241  pm cpm 6497  0cc0 7547  1c1 7548   + caddc 7550   < clt 7724  cmin 7856  0cn0 8881  cz 8958  seqcseq 10111
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-ltadd 7661
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-pm 6499  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-seqfrec 10112
This theorem is referenced by:  ennnfonelemhom  11773
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