ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1ocnvfvb GIF version

Theorem f1ocnvfvb 5681
Description: Relationship between the value of a one-to-one onto function and the value of its converse. (Contributed by NM, 20-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnvfvb ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴𝐷𝐵) → ((𝐹𝐶) = 𝐷 ↔ (𝐹𝐷) = 𝐶))

Proof of Theorem f1ocnvfvb
StepHypRef Expression
1 f1ocnvfv 5680 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐶) = 𝐷 → (𝐹𝐷) = 𝐶))
213adant3 1001 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴𝐷𝐵) → ((𝐹𝐶) = 𝐷 → (𝐹𝐷) = 𝐶))
3 fveq2 5421 . . . . 5 (𝐶 = (𝐹𝐷) → (𝐹𝐶) = (𝐹‘(𝐹𝐷)))
43eqcoms 2142 . . . 4 ((𝐹𝐷) = 𝐶 → (𝐹𝐶) = (𝐹‘(𝐹𝐷)))
5 f1ocnvfv2 5679 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐷𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝐷)) = 𝐷)
65eqeq2d 2151 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐷𝐵) → ((𝐹𝐶) = (𝐹‘(𝐹𝐷)) ↔ (𝐹𝐶) = 𝐷))
74, 6syl5ib 153 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐷𝐵) → ((𝐹𝐷) = 𝐶 → (𝐹𝐶) = 𝐷))
873adant2 1000 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴𝐷𝐵) → ((𝐹𝐷) = 𝐶 → (𝐹𝐶) = 𝐷))
92, 8impbid 128 1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴𝐷𝐵) → ((𝐹𝐶) = 𝐷 ↔ (𝐹𝐷) = 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  ccnv 4538  1-1-ontowf1o 5122  cfv 5123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131
This theorem is referenced by:  f1ofveu  5762  f1ocnvfv3  5763  seq3f1olemstep  10286  ennnfonelem1  11931  txhmeo  12502
  Copyright terms: Public domain W3C validator