Theorem f1ocnvfvb 5861

Description: Relationship between the value of a one-to-one onto function and the value of its converse. (Contributed by NM, 20-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfvb	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝐶) = 𝐷 ↔ (◡𝐹‘𝐷) = 𝐶))

Proof of Theorem f1ocnvfvb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnvfv 5860	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐶) = 𝐷 → (◡𝐹‘𝐷) = 𝐶))
2	1	3adant3 1020	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝐶) = 𝐷 → (◡𝐹‘𝐷) = 𝐶))
3		fveq2 5588	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = (◡𝐹‘𝐷) → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘(◡𝐹‘𝐷)))
4	3	eqcoms 2209	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹‘𝐷) = 𝐶 → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘(◡𝐹‘𝐷)))
5		f1ocnvfv2 5859	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝐷)) = 𝐷)
6	5	eqeq2d 2218	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘(◡𝐹‘𝐷)) ↔ (𝐹‘𝐶) = 𝐷))
7	4, 6	imbitrid 154	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → ((◡𝐹‘𝐷) = 𝐶 → (𝐹‘𝐶) = 𝐷))
8	7	3adant2 1019	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → ((◡𝐹‘𝐷) = 𝐶 → (𝐹‘𝐶) = 𝐷))
9	2, 8	impbid 129	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝐶) = 𝐷 ↔ (◡𝐹‘𝐷) = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ^◡ccnv 4681  –1-1-onto→wf1o 5278  ‘cfv 5279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-sbc 3003  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-br 4051  df-opab 4113  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287

This theorem is referenced by:  f1ofveu  5944  f1ocnvfv3  5945  seq3f1olemstep  10676  1arith2  12761  ennnfonelem1  12848  txhmeo  14861