Theorem f1ocnvfv2 5918

Description: The value of the converse value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfv2	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝐶)) = 𝐶)

Proof of Theorem f1ocnvfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ococnv2 5610	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
2	1	fveq1d 5641	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ((𝐹 ∘ ◡𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐵)‘𝐶))
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∘ ◡𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐵)‘𝐶))
4		f1ocnv 5596	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
5		f1of 5583	. . . 4 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
7		fvco3 5717	. . 3 ⊢ ((◡𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∘ ◡𝐹)‘𝐶) = (𝐹‘(◡𝐹‘𝐶)))
8	6, 7	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∘ ◡𝐹)‘𝐶) = (𝐹‘(◡𝐹‘𝐶)))
9		fvresi 5846	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
10	9	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
11	3, 8, 10	3eqtr3d 2272	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝐶)) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   I cid 4385  ^◡ccnv 4724   ↾ cres 4727   ∘ ccom 4729  ⟶wf 5322  –1-1-onto→wf1o 5325  ‘cfv 5326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334

This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb  5920  isocnv  5951  f1oiso2  5967  ordiso2  7233  enomnilem  7336  enmkvlem  7359  enwomnilem  7367  frecuzrdglem  10672  frecuzrdgsuc  10675  frecuzrdgdomlem  10678  frecuzrdgsuctlem  10684  frecfzennn  10687  iseqf1olemkle  10758  iseqf1olemklt  10759  iseqf1olemnab  10762  seq3f1olemqsumkj  10772  seqf1oglem1  10780  seqf1oglem2  10781  hashfz1  11044  seq3coll  11105  summodclem3  11940  summodclem2a  11941  prodmodclem3  12135  prodmodclem2a  12136  nninfctlemfo  12610  sqpweven  12746  2sqpwodd  12747  phimullem  12796  eulerthlemth  12803  ennnfonelemkh  13032  ennnfonelemhf1o  13033  ennnfonelemex  13034  ennnfonelemnn0  13042  ctinfomlemom  13047  ctiunctlemfo  13059  mhmf1o  13552  ghmf1o  13861  gsumfzreidx  13923  reeflog  15586  isomninnlem  16634  iswomninnlem  16653  ismkvnnlem  16656  gfsumval  16680