ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1ocnvfv2 GIF version

Theorem f1ocnvfv2 5571
Description: The value of the converse value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnvfv2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝐶)) = 𝐶)

Proof of Theorem f1ocnvfv2
StepHypRef Expression
1 f1ococnv2 5293 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
21fveq1d 5320 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐵)‘𝐶))
32adantr 271 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐵)‘𝐶))
4 f1ocnv 5279 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
5 f1of 5266 . . . 4 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴𝐹:𝐵𝐴)
64, 5syl 14 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵𝐴)
7 fvco3 5388 . . 3 ((𝐹:𝐵𝐴𝐶𝐵) → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
86, 7sylan 278 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
9 fvresi 5504 . . 3 (𝐶𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
109adantl 272 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
113, 8, 103eqtr3d 2129 1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝐶)) = 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1290  wcel 1439   I cid 4124  ccnv 4451  cres 4454  ccom 4456  wf 5024  1-1-ontowf1o 5027  cfv 5028
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-sbc 2842  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036
This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb  5573  isocnv  5604  f1oiso2  5620  ordiso2  6782  enomnilem  6855  frecuzrdglem  9879  frecuzrdgsuc  9882  frecuzrdgdomlem  9885  frecuzrdgsuctlem  9891  frecfzennn  9894  iseqf1olemkle  9974  iseqf1olemklt  9975  iseqf1olemnab  9978  seq3f1olemqsumkj  9988  hashfz1  10252  iseqcoll  10308  isummolem3  10831  isummolem2a  10832  sqpweven  11492  2sqpwodd  11493  phimullem  11540
  Copyright terms: Public domain W3C validator