ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1arith2 GIF version

Theorem 1arith2 12500
Description: Fundamental theorem of arithmetic, where a prime factorization is represented as a finite monotonic 1-based sequence of primes. Every positive integer has a unique prime factorization. Theorem 1.10 in [ApostolNT] p. 17. This is Metamath 100 proof #80. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
1arith.1 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
1arith.2 𝑅 = {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑒 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
1arith2 𝑧 ∈ ℕ ∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑧) = 𝑔
Distinct variable groups:   𝑒,𝑔,𝑛,𝑝,𝑧   𝑒,𝑀,𝑔   𝑅,𝑔,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧,𝑒,𝑝)   𝑀(𝑧,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem 1arith2
StepHypRef Expression
1 1arith.1 . . . . . 6 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
2 1arith.2 . . . . . 6 𝑅 = {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑒 “ ℕ) ∈ Fin}
31, 21arith 12499 . . . . 5 𝑀:ℕ–1-1-onto𝑅
4 f1ocnv 5509 . . . . 5 (𝑀:ℕ–1-1-onto𝑅𝑀:𝑅1-1-onto→ℕ)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 𝑀:𝑅1-1-onto→ℕ
6 f1ofveu 5902 . . . 4 ((𝑀:𝑅1-1-onto→ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑔) = 𝑧)
75, 6mpan 424 . . 3 (𝑧 ∈ ℕ → ∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑔) = 𝑧)
8 f1ocnvfvb 5819 . . . . 5 ((𝑀:ℕ–1-1-onto𝑅𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑔𝑅) → ((𝑀𝑧) = 𝑔 ↔ (𝑀𝑔) = 𝑧))
93, 8mp3an1 1335 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑔𝑅) → ((𝑀𝑧) = 𝑔 ↔ (𝑀𝑔) = 𝑧))
109reubidva 2677 . . 3 (𝑧 ∈ ℕ → (∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑧) = 𝑔 ↔ ∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑔) = 𝑧))
117, 10mpbird 167 . 2 (𝑧 ∈ ℕ → ∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑧) = 𝑔)
1211rgen 2547 1 𝑧 ∈ ℕ ∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑧) = 𝑔
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 105   = wceq 1364  wcel 2164  wral 2472  ∃!wreu 2474  {crab 2476  cmpt 4090  ccnv 4656  cima 4660  1-1-ontowf1o 5249  cfv 5250  (class class class)co 5914  𝑚 cmap 6697  Fincfn 6789  cn 8976  0cn0 9234  cprime 12239   pCnt cpc 12416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4567  ax-iinf 4618  ax-cnex 7957  ax-resscn 7958  ax-1cn 7959  ax-1re 7960  ax-icn 7961  ax-addcl 7962  ax-addrcl 7963  ax-mulcl 7964  ax-mulrcl 7965  ax-addcom 7966  ax-mulcom 7967  ax-addass 7968  ax-mulass 7969  ax-distr 7970  ax-i2m1 7971  ax-0lt1 7972  ax-1rid 7973  ax-0id 7974  ax-rnegex 7975  ax-precex 7976  ax-cnre 7977  ax-pre-ltirr 7978  ax-pre-ltwlin 7979  ax-pre-lttrn 7980  ax-pre-apti 7981  ax-pre-ltadd 7982  ax-pre-mulgt0 7983  ax-pre-mulext 7984  ax-arch 7985  ax-caucvg 7986
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4322  df-po 4325  df-iso 4326  df-iord 4395  df-on 4397  df-ilim 4398  df-suc 4400  df-iom 4621  df-xp 4663  df-rel 4664  df-cnv 4665  df-co 4666  df-dm 4667  df-rn 4668  df-res 4669  df-ima 4670  df-iota 5211  df-fun 5252  df-fn 5253  df-f 5254  df-f1 5255  df-fo 5256  df-f1o 5257  df-fv 5258  df-isom 5259  df-riota 5869  df-ov 5917  df-oprab 5918  df-mpo 5919  df-1st 6188  df-2nd 6189  df-recs 6353  df-frec 6439  df-1o 6464  df-2o 6465  df-er 6582  df-map 6699  df-en 6790  df-fin 6792  df-sup 7037  df-inf 7038  df-pnf 8050  df-mnf 8051  df-xr 8052  df-ltxr 8053  df-le 8054  df-sub 8186  df-neg 8187  df-reap 8588  df-ap 8595  df-div 8686  df-inn 8977  df-2 9035  df-3 9036  df-4 9037  df-n0 9235  df-xnn0 9298  df-z 9312  df-uz 9587  df-q 9679  df-rp 9714  df-fz 10069  df-fzo 10203  df-fl 10333  df-mod 10388  df-seqfrec 10513  df-exp 10604  df-cj 10980  df-re 10981  df-im 10982  df-rsqrt 11136  df-abs 11137  df-dvds 11925  df-gcd 12074  df-prm 12240  df-pc 12417
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator