Theorem 1arith2 13149

Description: Fundamental theorem of arithmetic, where a prime factorization is represented as a finite monotonic 1-based sequence of primes. Every positive integer has a unique prime factorization. Theorem 1.10 in [ApostolNT] p. 17. This is Metamath 100 proof #80. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
1arith.1	⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
1arith.2	⊢ 𝑅 = {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 ℙ) ∣ (◡𝑒 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
1arith2	⊢ ∀𝑧 ∈ ℕ ∃!𝑔 ∈ 𝑅 (𝑀‘𝑧) = 𝑔

Distinct variable groups:   𝑒,𝑔,𝑛,𝑝,𝑧   𝑒,𝑀,𝑔   𝑅,𝑔,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧, 𝑒, 𝑝)   𝑀(𝑧, 𝑛, 𝑝)

Proof of Theorem 1arith2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1arith.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
2		1arith.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 ℙ) ∣ (◡𝑒 “ ℕ) ∈ Fin}
3	1, 2	1arith 13148	. . . . 5 ⊢ 𝑀:ℕ–1-1-onto→𝑅
4		f1ocnv 5652	. . . . 5 ⊢ (𝑀:ℕ–1-1-onto→𝑅 → ◡𝑀:𝑅–1-1-onto→ℕ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ◡𝑀:𝑅–1-1-onto→ℕ
6		f1ofveu 6073	. . . 4 ⊢ ((◡𝑀:𝑅–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ∃!𝑔 ∈ 𝑅 (◡𝑀‘𝑔) = 𝑧)
7	5, 6	mpan 428	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ∃!𝑔 ∈ 𝑅 (◡𝑀‘𝑔) = 𝑧)
8		f1ocnvfvb 5986	. . . . 5 ⊢ ((𝑀:ℕ–1-1-onto→𝑅 ∧ 𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑔 ∈ 𝑅) → ((𝑀‘𝑧) = 𝑔 ↔ (◡𝑀‘𝑔) = 𝑧))
9	3, 8	mp3an1 1365	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑔 ∈ 𝑅) → ((𝑀‘𝑧) = 𝑔 ↔ (◡𝑀‘𝑔) = 𝑧))
10	9	reubidva 2736	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (∃!𝑔 ∈ 𝑅 (𝑀‘𝑧) = 𝑔 ↔ ∃!𝑔 ∈ 𝑅 (◡𝑀‘𝑔) = 𝑧))
11	7, 10	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ∃!𝑔 ∈ 𝑅 (𝑀‘𝑧) = 𝑔)
12	11	rgen 2603	1 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℕ ∃!𝑔 ∈ 𝑅 (𝑀‘𝑧) = 𝑔

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃!wreu 2530  {crab 2532   ↦ cmpt 4192  ^◡ccnv 4773   “ cima 4777  –1-1-onto→wf1o 5376  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   ↑_𝑚 cmap 6922  Fincfn 7022  ℕcn 9305  ℕ₀cn0 9565  ℙcprime 12887   pCnt cpc 13065

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-fin 7025  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-n0 9566  df-xnn0 9633  df-z 9647  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-fz 10414  df-fzo 10552  df-fl 10707  df-mod 10762  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611  df-rsqrt 11766  df-abs 11767  df-dvds 12557  df-gcd 12733  df-prm 12888  df-pc 13066

This theorem is used by: (None)