Theorem 1arith2 13059

Description: Fundamental theorem of arithmetic, where a prime factorization is represented as a finite monotonic 1-based sequence of primes. Every positive integer has a unique prime factorization. Theorem 1.10 in [ApostolNT] p. 17. This is Metamath 100 proof #80. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
1arith.1	⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
1arith.2	⊢ 𝑅 = {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 ℙ) ∣ (◡𝑒 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
1arith2	⊢ ∀𝑧 ∈ ℕ ∃!𝑔 ∈ 𝑅 (𝑀‘𝑧) = 𝑔

Distinct variable groups:   𝑒,𝑔,𝑛,𝑝,𝑧   𝑒,𝑀,𝑔   𝑅,𝑔,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧,𝑒,𝑝)   𝑀(𝑧,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem 1arith2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1arith.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
2		1arith.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 ℙ) ∣ (◡𝑒 “ ℕ) ∈ Fin}
3	1, 2	1arith 13058	. . . . 5 ⊢ 𝑀:ℕ–1-1-onto→𝑅
4		f1ocnv 5626	. . . . 5 ⊢ (𝑀:ℕ–1-1-onto→𝑅 → ◡𝑀:𝑅–1-1-onto→ℕ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ◡𝑀:𝑅–1-1-onto→ℕ
6		f1ofveu 6037	. . . 4 ⊢ ((◡𝑀:𝑅–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ∃!𝑔 ∈ 𝑅 (◡𝑀‘𝑔) = 𝑧)
7	5, 6	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ∃!𝑔 ∈ 𝑅 (◡𝑀‘𝑔) = 𝑧)
8		f1ocnvfvb 5952	. . . . 5 ⊢ ((𝑀:ℕ–1-1-onto→𝑅 ∧ 𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑔 ∈ 𝑅) → ((𝑀‘𝑧) = 𝑔 ↔ (◡𝑀‘𝑔) = 𝑧))
9	3, 8	mp3an1 1361	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑔 ∈ 𝑅) → ((𝑀‘𝑧) = 𝑔 ↔ (◡𝑀‘𝑔) = 𝑧))
10	9	reubidva 2727	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (∃!𝑔 ∈ 𝑅 (𝑀‘𝑧) = 𝑔 ↔ ∃!𝑔 ∈ 𝑅 (◡𝑀‘𝑔) = 𝑧))
11	7, 10	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ∃!𝑔 ∈ 𝑅 (𝑀‘𝑧) = 𝑔)
12	11	rgen 2595	1 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℕ ∃!𝑔 ∈ 𝑅 (𝑀‘𝑧) = 𝑔

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  ∃!wreu 2522  {crab 2524   ↦ cmpt 4170  ^◡ccnv 4747   “ cima 4751  –1-1-onto→wf1o 5350  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049   ↑_𝑚 cmap 6881  Fincfn 6974  ℕcn 9233  ℕ₀cn0 9492  ℙcprime 12797   pCnt cpc 12975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241  ax-arch 8242  ax-caucvg 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-1o 6646  df-2o 6647  df-er 6766  df-map 6883  df-en 6975  df-fin 6977  df-sup 7274  df-inf 7275  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-n0 9493  df-xnn0 9560  df-z 9574  df-uz 9850  df-q 9948  df-rp 9983  df-fz 10339  df-fzo 10473  df-fl 10626  df-mod 10681  df-seqfrec 10806  df-exp 10897  df-cj 11520  df-re 11521  df-im 11522  df-rsqrt 11676  df-abs 11677  df-dvds 12467  df-gcd 12643  df-prm 12798  df-pc 12976

This theorem is referenced by: (None)