Theorem 1arith2 13130

Description: Fundamental theorem of arithmetic, where a prime factorization is represented as a finite monotonic 1-based sequence of primes. Every positive integer has a unique prime factorization. Theorem 1.10 in [ApostolNT] p. 17. This is Metamath 100 proof #80. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
1arith.1	⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
1arith.2	⊢ 𝑅 = {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 ℙ) ∣ (◡𝑒 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
1arith2	⊢ ∀𝑧 ∈ ℕ ∃!𝑔 ∈ 𝑅 (𝑀‘𝑧) = 𝑔

Distinct variable groups:   𝑒,𝑔,𝑛,𝑝,𝑧   𝑒,𝑀,𝑔   𝑅,𝑔,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧,𝑒,𝑝)   𝑀(𝑧,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem 1arith2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1arith.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
2		1arith.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 ℙ) ∣ (◡𝑒 “ ℕ) ∈ Fin}
3	1, 2	1arith 13129	. . . . 5 ⊢ 𝑀:ℕ–1-1-onto→𝑅
4		f1ocnv 5650	. . . . 5 ⊢ (𝑀:ℕ–1-1-onto→𝑅 → ◡𝑀:𝑅–1-1-onto→ℕ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ◡𝑀:𝑅–1-1-onto→ℕ
6		f1ofveu 6067	. . . 4 ⊢ ((◡𝑀:𝑅–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ∃!𝑔 ∈ 𝑅 (◡𝑀‘𝑔) = 𝑧)
7	5, 6	mpan 428	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ∃!𝑔 ∈ 𝑅 (◡𝑀‘𝑔) = 𝑧)
8		f1ocnvfvb 5980	. . . . 5 ⊢ ((𝑀:ℕ–1-1-onto→𝑅 ∧ 𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑔 ∈ 𝑅) → ((𝑀‘𝑧) = 𝑔 ↔ (◡𝑀‘𝑔) = 𝑧))
9	3, 8	mp3an1 1365	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑔 ∈ 𝑅) → ((𝑀‘𝑧) = 𝑔 ↔ (◡𝑀‘𝑔) = 𝑧))
10	9	reubidva 2736	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (∃!𝑔 ∈ 𝑅 (𝑀‘𝑧) = 𝑔 ↔ ∃!𝑔 ∈ 𝑅 (◡𝑀‘𝑔) = 𝑧))
11	7, 10	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ∃!𝑔 ∈ 𝑅 (𝑀‘𝑧) = 𝑔)
12	11	rgen 2603	1 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℕ ∃!𝑔 ∈ 𝑅 (𝑀‘𝑧) = 𝑔

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃!wreu 2530  {crab 2532   ↦ cmpt 4190  ^◡ccnv 4771   “ cima 4775  –1-1-onto→wf1o 5374  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079   ↑_𝑚 cmap 6916  Fincfn 7016  ℕcn 9287  ℕ₀cn0 9546  ℙcprime 12868   pCnt cpc 13046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-2o 6682  df-er 6801  df-map 6918  df-en 7017  df-fin 7019  df-sup 7318  df-inf 7319  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-xnn0 9614  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-fl 10688  df-mod 10743  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-dvds 12538  df-gcd 12714  df-prm 12869  df-pc 13047

This theorem is referenced by: (None)