ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1arith2 GIF version

Theorem 1arith2 12943
Description: Fundamental theorem of arithmetic, where a prime factorization is represented as a finite monotonic 1-based sequence of primes. Every positive integer has a unique prime factorization. Theorem 1.10 in [ApostolNT] p. 17. This is Metamath 100 proof #80. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
1arith.1 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
1arith.2 𝑅 = {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑒 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
1arith2 𝑧 ∈ ℕ ∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑧) = 𝑔
Distinct variable groups:   𝑒,𝑔,𝑛,𝑝,𝑧   𝑒,𝑀,𝑔   𝑅,𝑔,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧,𝑒,𝑝)   𝑀(𝑧,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem 1arith2
StepHypRef Expression
1 1arith.1 . . . . . 6 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
2 1arith.2 . . . . . 6 𝑅 = {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑒 “ ℕ) ∈ Fin}
31, 21arith 12942 . . . . 5 𝑀:ℕ–1-1-onto𝑅
4 f1ocnv 5596 . . . . 5 (𝑀:ℕ–1-1-onto𝑅𝑀:𝑅1-1-onto→ℕ)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 𝑀:𝑅1-1-onto→ℕ
6 f1ofveu 6006 . . . 4 ((𝑀:𝑅1-1-onto→ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑔) = 𝑧)
75, 6mpan 424 . . 3 (𝑧 ∈ ℕ → ∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑔) = 𝑧)
8 f1ocnvfvb 5921 . . . . 5 ((𝑀:ℕ–1-1-onto𝑅𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑔𝑅) → ((𝑀𝑧) = 𝑔 ↔ (𝑀𝑔) = 𝑧))
93, 8mp3an1 1360 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑔𝑅) → ((𝑀𝑧) = 𝑔 ↔ (𝑀𝑔) = 𝑧))
109reubidva 2717 . . 3 (𝑧 ∈ ℕ → (∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑧) = 𝑔 ↔ ∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑔) = 𝑧))
117, 10mpbird 167 . 2 (𝑧 ∈ ℕ → ∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑧) = 𝑔)
1211rgen 2585 1 𝑧 ∈ ℕ ∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑧) = 𝑔
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 105   = wceq 1397  wcel 2202  wral 2510  ∃!wreu 2512  {crab 2514  cmpt 4150  ccnv 4724  cima 4728  1-1-ontowf1o 5325  cfv 5326  (class class class)co 6018  𝑚 cmap 6817  Fincfn 6909  cn 9143  0cn0 9402  cprime 12681   pCnt cpc 12859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-map 6819  df-en 6910  df-fin 6912  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-xnn0 9466  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-fl 10531  df-mod 10586  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561  df-dvds 12351  df-gcd 12527  df-prm 12682  df-pc 12860
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator