Theorem fmptd 5809

Description: Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
fmptd.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fmptd	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmptd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptd.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2	1	ralrimiva 2606	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶)
3		fmptd.2	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	fmpt 5805	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐶)
5	2, 4	sylib 122	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511   ↦ cmpt 4155  ⟶wf 5329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341

This theorem is referenced by:  fmpttd  5810  fmptco  5821  fliftrel  5943  off  6257  caofinvl  6270  fdiagfn  6904  mapxpen  7077  xpmapenlem  7078  updjudhf  7321  enumctlemm  7356  fodjuf  7387  nninfwlporlem  7415  nninfwlpoimlemg  7417  cc2lem  7528  caucvgsrlemf  8055  caucvgsrlemofff  8060  axcaucvglemf  8159  monoord2  10794  iseqf1olemqf  10812  cvg1nlemf  11606  resqrexlemsqa  11647  climcvg1nlem  11972  summodclem2a  12005  crth  12859  eulerthlem1  12862  4sqlem11  13037  ctiunctlemf  13122  mulgnngsum  13777  conjghm  13926  conjnmz  13929  qusghm  13932  gsumfzmptfidmadd  13989  mulgghm2  14687  psr1clfi  14772  txcnmpt  15067  txlm  15073  mulc1cncf  15383  addccncf  15394  negcncf  15399  lgsfcl2  15808  lgseisenlem1  15872  nnsf  16714  nninfself  16722