Theorem fmptd 5528

Description: Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
fmptd.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fmptd	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmptd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptd.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2	1	ralrimiva 2479	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶)
3		fmptd.2	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	fmpt 5524	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐶)
5	2, 4	sylib 121	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1314   ∈ wcel 1463  ∀wral 2390   ↦ cmpt 3949  ⟶wf 5077

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089

This theorem is referenced by:  fmpttd  5529  fmptco  5540  fliftrel  5647  off  5948  caofinvl  5958  fdiagfn  6540  mapxpen  6695  xpmapenlem  6696  updjudhf  6916  enumctlemm  6951  fodjuf  6967  nnnninf  6973  caucvgsrlemf  7534  caucvgsrlemofff  7539  axcaucvglemf  7631  monoord2  10143  iseqf1olemqf  10157  cvg1nlemf  10647  resqrexlemsqa  10688  climcvg1nlem  11010  summodclem2a  11042  crth  11745  ctiunctlemf  11794  txcnmpt  12284  txlm  12290  mulc1cncf  12562  addccncf  12572  negcncf  12574  nnsf  12889  nninfself  12899