Theorem idcncf 14755

Description: The identity function is a continuous function on ℂ. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Moved into main set.mm as cncfmptid 14751 and may be deleted by mathbox owner, JM. --MC 12-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
idcncf.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
idcncf	⊢ 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ)

Proof of Theorem idcncf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idcncf.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)
2		ssid 3199	. . 3 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
3		cncfmptid 14751	. . 3 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
4	2, 2, 3	mp2an 426	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
5	1, 4	eqeltri 2266	1 ⊢ 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ)

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3153   ↦ cmpt 4090  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  –cn→ccncf 14725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-map 6704  df-cncf 14726

This theorem is referenced by:  sub1cncf  14756  sub2cncf  14757