Theorem addccncf 14779

Description: Adding a constant is a continuous function. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
addccncf.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
addccncf	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem addccncf

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3200	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		addcl 7999	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
3	2	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
4		addccncf.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝐴))
5	3, 4	fmptd 5713	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
6		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+))
8		oveq1 5926	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + 𝐴) = (𝑦 + 𝐴))
9		simprll 537	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℂ)
10		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℂ)
11	9, 10	addcld 8041	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ)
12	4, 8, 9, 11	fvmptd3 5652	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 + 𝐴))
13		oveq1 5926	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 + 𝐴) = (𝑧 + 𝐴))
14		simprlr 538	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ ℂ)
15	14, 10	addcld 8041	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝑧 + 𝐴) ∈ ℂ)
16	4, 13, 14, 15	fvmptd3 5652	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 + 𝐴))
17	12, 16	oveq12d 5937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧)) = ((𝑦 + 𝐴) − (𝑧 + 𝐴)))
18	9, 14, 10	pnpcan2d 8370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((𝑦 + 𝐴) − (𝑧 + 𝐴)) = (𝑦 − 𝑧))
19	17, 18	eqtrd 2226	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧)) = (𝑦 − 𝑧))
20	19	fveq2d 5559	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
21	20	breq1d 4040	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) < 𝑤 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑤))
22	21	exbiri 382	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) < 𝑤)))
23	5, 7, 22	elcncf1di 14758	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ)))
24	1, 1, 23	mp2ani 432	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3154   class class class wbr 4030   ↦ cmpt 4091  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℂcc 7872   + caddc 7877   < clt 8056   − cmin 8192  ℝ⁺crp 9722  abscabs 11144  –cn→ccncf 14749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-map 6706  df-sub 8194  df-cncf 14750

This theorem is referenced by: (None)