ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addccncf GIF version

Theorem addccncf 13380
Description: Adding a constant is a continuous function. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
addccncf.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝐴))
Assertion
Ref Expression
addccncf (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem addccncf
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3167 . 2 ℂ ⊆ ℂ
2 addcl 7899 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
32ancoms 266 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
4 addccncf.1 . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝐴))
53, 4fmptd 5650 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
6 simpr 109 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
76a1i 9 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+))
8 oveq1 5860 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + 𝐴) = (𝑦 + 𝐴))
9 simprll 532 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℂ)
10 simpl 108 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℂ)
119, 10addcld 7939 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ)
124, 8, 9, 11fvmptd3 5589 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝐹𝑦) = (𝑦 + 𝐴))
13 oveq1 5860 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 + 𝐴) = (𝑧 + 𝐴))
14 simprlr 533 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ ℂ)
1514, 10addcld 7939 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝑧 + 𝐴) ∈ ℂ)
164, 13, 14, 15fvmptd3 5589 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝐹𝑧) = (𝑧 + 𝐴))
1712, 16oveq12d 5871 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧)) = ((𝑦 + 𝐴) − (𝑧 + 𝐴)))
189, 14, 10pnpcan2d 8268 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((𝑦 + 𝐴) − (𝑧 + 𝐴)) = (𝑦𝑧))
1917, 18eqtrd 2203 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧)) = (𝑦𝑧))
2019fveq2d 5500 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) = (abs‘(𝑦𝑧)))
2120breq1d 3999 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑤 ↔ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑤))
2221exbiri 380 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑤)))
235, 7, 22elcncf1di 13360 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ)))
241, 1, 23mp2ani 430 1 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1348  wcel 2141  wss 3121   class class class wbr 3989  cmpt 4050  cfv 5198  (class class class)co 5853  cc 7772   + caddc 7777   < clt 7954  cmin 8090  +crp 9610  abscabs 10961  cnccncf 13351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-map 6628  df-sub 8092  df-cncf 13352
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator