Theorem addccncf 15282

Description: Adding a constant is a continuous function. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
addccncf.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
addccncf	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem addccncf

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3244	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		addcl 8132	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
3	2	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
4		addccncf.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝐴))
5	3, 4	fmptd 5791	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
6		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+))
8		oveq1 6014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + 𝐴) = (𝑦 + 𝐴))
9		simprll 537	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℂ)
10		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℂ)
11	9, 10	addcld 8174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ)
12	4, 8, 9, 11	fvmptd3 5730	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 + 𝐴))
13		oveq1 6014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 + 𝐴) = (𝑧 + 𝐴))
14		simprlr 538	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ ℂ)
15	14, 10	addcld 8174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝑧 + 𝐴) ∈ ℂ)
16	4, 13, 14, 15	fvmptd3 5730	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 + 𝐴))
17	12, 16	oveq12d 6025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧)) = ((𝑦 + 𝐴) − (𝑧 + 𝐴)))
18	9, 14, 10	pnpcan2d 8503	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((𝑦 + 𝐴) − (𝑧 + 𝐴)) = (𝑦 − 𝑧))
19	17, 18	eqtrd 2262	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧)) = (𝑦 − 𝑧))
20	19	fveq2d 5633	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
21	20	breq1d 4093	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) < 𝑤 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑤))
22	21	exbiri 382	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) < 𝑤)))
23	5, 7, 22	elcncf1di 15261	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ)))
24	1, 1, 23	mp2ani 432	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197   class class class wbr 4083   ↦ cmpt 4145  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℂcc 8005   + caddc 8010   < clt 8189   − cmin 8325  ℝ⁺crp 9857  abscabs 11516  –cn→ccncf 15252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-map 6805  df-sub 8327  df-cncf 15253

This theorem is referenced by: (None)