Theorem addccncf 15684

Description: Adding a constant is a continuous function. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
addccncf.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
addccncf	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem addccncf

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3268	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		addcl 8298	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
3	2	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
4		addccncf.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝐴))
5	3, 4	fmptd 5856	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
6		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+))
8		oveq1 6086	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + 𝐴) = (𝑦 + 𝐴))
9		simprll 543	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℂ)
10		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℂ)
11	9, 10	addcld 8339	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ)
12	4, 8, 9, 11	fvmptd3 5796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 + 𝐴))
13		oveq1 6086	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 + 𝐴) = (𝑧 + 𝐴))
14		simprlr 544	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ ℂ)
15	14, 10	addcld 8339	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝑧 + 𝐴) ∈ ℂ)
16	4, 13, 14, 15	fvmptd3 5796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 + 𝐴))
17	12, 16	oveq12d 6097	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧)) = ((𝑦 + 𝐴) − (𝑧 + 𝐴)))
18	9, 14, 10	pnpcan2d 8669	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((𝑦 + 𝐴) − (𝑧 + 𝐴)) = (𝑦 − 𝑧))
19	17, 18	eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧)) = (𝑦 − 𝑧))
20	19	fveq2d 5697	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
21	20	breq1d 4138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) < 𝑤 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑤))
22	21	exbiri 382	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) < 𝑤)))
23	5, 7, 22	elcncf1di 15663	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ)))
24	1, 1, 23	mp2ani 436	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4128   ↦ cmpt 4190  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℂcc 8171   + caddc 8176   < clt 8354   − cmin 8491  ℝ⁺crp 10037  abscabs 11746  –cn→ccncf 15654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-map 6918  df-sub 8493  df-cncf 15655

This theorem is referenced by: (None)