Theorem addccncf 14089

Description: Adding a constant is a continuous function. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
addccncf.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
addccncf	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem addccncf

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3176	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		addcl 7936	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
3	2	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
4		addccncf.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝐴))
5	3, 4	fmptd 5671	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
6		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+))
8		oveq1 5882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + 𝐴) = (𝑦 + 𝐴))
9		simprll 537	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℂ)
10		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℂ)
11	9, 10	addcld 7977	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ)
12	4, 8, 9, 11	fvmptd3 5610	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 + 𝐴))
13		oveq1 5882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 + 𝐴) = (𝑧 + 𝐴))
14		simprlr 538	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ ℂ)
15	14, 10	addcld 7977	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝑧 + 𝐴) ∈ ℂ)
16	4, 13, 14, 15	fvmptd3 5610	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 + 𝐴))
17	12, 16	oveq12d 5893	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧)) = ((𝑦 + 𝐴) − (𝑧 + 𝐴)))
18	9, 14, 10	pnpcan2d 8306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((𝑦 + 𝐴) − (𝑧 + 𝐴)) = (𝑦 − 𝑧))
19	17, 18	eqtrd 2210	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧)) = (𝑦 − 𝑧))
20	19	fveq2d 5520	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
21	20	breq1d 4014	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) < 𝑤 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑤))
22	21	exbiri 382	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) < 𝑤)))
23	5, 7, 22	elcncf1di 14069	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ)))
24	1, 1, 23	mp2ani 432	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ⊆ wss 3130   class class class wbr 4004   ↦ cmpt 4065  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  ℂcc 7809   + caddc 7814   < clt 7992   − cmin 8128  ℝ⁺crp 9653  abscabs 11006  –cn→ccncf 14060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-map 6650  df-sub 8130  df-cncf 14061

This theorem is referenced by: (None)