Theorem addccncf 15703

Description: Adding a constant is a continuous function. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
addccncf.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
addccncf	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem addccncf

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3268	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		addcl 8304	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
3	2	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
4		addccncf.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝐴))
5	3, 4	fmptd 5862	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
6		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+))
8		oveq1 6092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + 𝐴) = (𝑦 + 𝐴))
9		simprll 543	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℂ)
10		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℂ)
11	9, 10	addcld 8345	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ)
12	4, 8, 9, 11	fvmptd3 5799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 + 𝐴))
13		oveq1 6092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 + 𝐴) = (𝑧 + 𝐴))
14		simprlr 544	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ ℂ)
15	14, 10	addcld 8345	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝑧 + 𝐴) ∈ ℂ)
16	4, 13, 14, 15	fvmptd3 5799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 + 𝐴))
17	12, 16	oveq12d 6103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧)) = ((𝑦 + 𝐴) − (𝑧 + 𝐴)))
18	9, 14, 10	pnpcan2d 8675	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((𝑦 + 𝐴) − (𝑧 + 𝐴)) = (𝑦 − 𝑧))
19	17, 18	eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧)) = (𝑦 − 𝑧))
20	19	fveq2d 5699	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
21	20	breq1d 4140	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) < 𝑤 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑤))
22	21	exbiri 382	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) < 𝑤)))
23	5, 7, 22	elcncf1di 15682	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ)))
24	1, 1, 23	mp2ani 436	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8177   + caddc 8182   < clt 8360   − cmin 8497  ℝ⁺crp 10056  abscabs 11765  –cn→ccncf 15673

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-map 6924  df-sub 8499  df-cncf 15674

This theorem is used by: (None)