Theorem isgrpi 13812

Description: Properties that determine a group. 𝑁 (negative) is normally dependent on 𝑥 i.e. read it as 𝑁(𝑥). (Contributed by NM, 3-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
isgrpi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
isgrpi.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
isgrpi.c	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
isgrpi.a	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
isgrpi.z	⊢ 0 ∈ 𝐵
isgrpi.i	⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
isgrpi.n	⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ 𝐵)
isgrpi.j	⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑁 + 𝑥) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
isgrpi	⊢ 𝐺 ∈ Grp

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝑦,𝑁   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥, 0 ,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem isgrpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgrpi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐵 = (Base‘𝐺))
3		isgrpi.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → + = (+g‘𝐺))
5		isgrpi.c	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
6	5	3adant1 1046	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
7		isgrpi.a	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
8	7	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
9		isgrpi.z	. . . 4 ⊢ 0 ∈ 𝐵
10	9	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 ∈ 𝐵)
11		isgrpi.i	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
12	11	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
13		isgrpi.n	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ 𝐵)
14	13	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ 𝐵)
15		isgrpi.j	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑁 + 𝑥) = 0 )
16	15	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑁 + 𝑥) = 0 )
17	2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16	isgrpd 13811	. 2 ⊢ (⊤ → 𝐺 ∈ Grp)
18	17	mptru 1411	1 ⊢ 𝐺 ∈ Grp

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Basecbs 13335  +_gcplusg 13414  Grpcgrp 13788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-inn 9288  df-2 9346  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-plusg 13427  df-0g 13595  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791

This theorem is referenced by:  cncrng  14889