Theorem leltadd 8406

Description: Adding both sides of two orderings. (Contributed by NM, 15-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
leltadd	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)))

Proof of Theorem leltadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltleadd 8405	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((𝐵 < 𝐷 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → (𝐵 + 𝐴) < (𝐷 + 𝐶)))
2	1	ancomsd 269	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷) → (𝐵 + 𝐴) < (𝐷 + 𝐶)))
3	2	ancom2s 566	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷) → (𝐵 + 𝐴) < (𝐷 + 𝐶)))
4	3	ancom1s 569	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷) → (𝐵 + 𝐴) < (𝐷 + 𝐶)))
5		recn 7946	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
6		recn 7946	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
7		addcom 8096	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
8	5, 6, 7	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
9		recn 7946	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
10		recn 7946	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → 𝐷 ∈ ℂ)
11		addcom 8096	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
12	9, 10, 11	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
13	8, 12	breqan12d 4021	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐵 + 𝐴) < (𝐷 + 𝐶)))
14	4, 13	sylibrd 169	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  ℂcc 7811  ℝcr 7812   + caddc 7816   < clt 7994   ≤ cle 7995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-cnv 4636  df-iota 5180  df-fv 5226  df-ov 5880  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000

This theorem is referenced by:  addgegt0  8408  leltaddd  8525