Theorem flqdiv 10256

Description: Cancellation of the embedded floor of a real divided by an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqdiv	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) = (⌊‘(𝐴 / 𝑁)))

Proof of Theorem flqdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2165	. . . . . . . . 9 ⊢ (⌊‘𝐴) = (⌊‘𝐴)
2		eqid 2165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 − (⌊‘𝐴)) = (𝐴 − (⌊‘𝐴))
3	1, 2	intqfrac2 10254	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∧ (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ∧ 𝐴 = ((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴)))))
4	3	simp3d 1001	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = ((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))))
5	4	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 = ((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))))
6	5	oveq1d 5857	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) = (((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))) / 𝑁))
7		simpl 108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℚ)
8	7	flqcld 10212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
9	8	zcnd 9314	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
10		zq 9564	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
11	8, 10	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
12		qsubcl 9576	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℚ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ)
13		qcn 9572	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℂ)
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℚ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℂ)
15	11, 14	syldan 280	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℂ)
16		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
17	16	nncnd 8871	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
18	16	nnap0d 8903	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 # 0)
19	9, 15, 17, 18	divdirapd 8725	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))) / 𝑁) = (((⌊‘𝐴) / 𝑁) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
20	6, 19	eqtrd 2198	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) = (((⌊‘𝐴) / 𝑁) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
21		flqcl 10208	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
22		eqid 2165	. . . . . . . 8 ⊢ (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))
23		eqid 2165	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) = (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))
24	22, 23	intfracq 10255	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∧ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ ((⌊‘𝐴) / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))))))
25	24	simp3d 1001	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘𝐴) / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))))
26	21, 25	sylan 281	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘𝐴) / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))))
27	26	oveq1d 5857	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) = (((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
28		znq 9562	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘𝐴) / 𝑁) ∈ ℚ)
29	28	flqcld 10212	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ)
30	21, 29	sylan 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ)
31	30	zcnd 9314	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℂ)
32	8, 16, 28	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘𝐴) / 𝑁) ∈ ℚ)
33		zq 9564	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℚ)
34	30, 33	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℚ)
35		qsubcl 9576	. . . . . . 7 ⊢ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) ∈ ℚ ∧ (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℚ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℚ)
36	32, 34, 35	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℚ)
37		qcn 9572	. . . . . 6 ⊢ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℚ → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℂ)
38	36, 37	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℂ)
39	11, 12	syldan 280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ)
40		nnq 9571	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
41	40	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℚ)
42	16	nnne0d 8902	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
43		qdivcl 9581	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℚ)
44	39, 41, 42, 43	syl3anc 1228	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℚ)
45		qcn 9572	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℚ → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℂ)
46	44, 45	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℂ)
47	31, 38, 46	addassd 7921	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁))))
48	20, 27, 47	3eqtrd 2202	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁))))
49	48	fveq2d 5490	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝑁)) = (⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))))
50		qre 9563	. . . . 5 ⊢ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℚ → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℝ)
51	36, 50	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℝ)
52		qre 9563	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
53	39, 52	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
54	53, 16	nndivred 8907	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℝ)
55	24	simp1d 999	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))))
56	21, 55	sylan 281	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))))
57	16	nnrpd 9630	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
58		qfracge0 10216	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)))
59	58	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)))
60	53, 57, 59	divge0d 9673	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁))
61	51, 54, 56, 60	addge0d 8420	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
62		nnre 8864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
63		peano2rem 8165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
64	62, 63	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
65		nnap0 8886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 # 0)
66	64, 62, 65	redivclapd 8731	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
67	66	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
68	16	nnrecred 8904	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
69	24	simp2d 1000	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
70	21, 69	sylan 281	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
71		qfraclt1 10215	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1)
72	71	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1)
73	16	nnred 8870	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
74	16	nngt0d 8901	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
75		1re 7898	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
76		ltdiv1 8763	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁)))
77	75, 76	mp3an2 1315	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁)))
78	53, 73, 74, 77	syl12anc 1226	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁)))
79	72, 78	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁))
80	51, 54, 67, 68, 70, 79	leltaddd 8464	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
81		nncn 8865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
82		npcan1 8276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
83	81, 82	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
84	83	oveq1d 5857	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (𝑁 / 𝑁))
85	64	recnd 7927	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
86		ax-1cn 7846	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
87		divdirap 8593	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 # 0)) → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
88	86, 87	mp3an2 1315	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 # 0)) → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
89	85, 81, 65, 88	syl12anc 1226	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
90	81, 65	dividapd 8682	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝑁) = 1)
91	84, 89, 90	3eqtr3d 2206	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)) = 1)
92	91	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)) = 1)
93	80, 92	breqtrd 4008	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < 1)
94	32	flqcld 10212	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ)
95		qaddcl 9573	. . . . 5 ⊢ (((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℚ ∧ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℚ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∈ ℚ)
96	36, 44, 95	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∈ ℚ)
97		flqbi2 10226	. . . 4 ⊢ (((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∈ ℚ) → ((⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ↔ (0 ≤ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∧ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < 1)))
98	94, 96, 97	syl2anc 409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ↔ (0 ≤ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∧ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < 1)))
99	61, 93, 98	mpbir2and 934	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))
100	49, 99	eqtr2d 2199	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) = (⌊‘(𝐴 / 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336   class class class wbr 3982  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  ℝcr 7752  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   < clt 7933   ≤ cle 7934   − cmin 8069   # cap 8479   / cdiv 8568  ℕcn 8857  ℤcz 9191  ℚcq 9557  ⌊cfl 10203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-q 9558  df-rp 9590  df-fl 10205

This theorem is referenced by:  modqmulnn  10277