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Theorem flqdiv 9791
Description: Cancellation of the embedded floor of a real divided by an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
flqdiv ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) = (⌊‘(𝐴 / 𝑁)))

Proof of Theorem flqdiv
StepHypRef Expression
1 eqid 2089 . . . . . . . . 9 (⌊‘𝐴) = (⌊‘𝐴)
2 eqid 2089 . . . . . . . . 9 (𝐴 − (⌊‘𝐴)) = (𝐴 − (⌊‘𝐴))
31, 2intqfrac2 9789 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℚ → (0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∧ (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ∧ 𝐴 = ((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴)))))
43simp3d 958 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = ((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))))
54adantr 271 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 = ((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))))
65oveq1d 5683 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) = (((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))) / 𝑁))
7 simpl 108 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℚ)
87flqcld 9747 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
98zcnd 8932 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
10 zq 9174 . . . . . . . 8 ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
118, 10syl 14 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
12 qsubcl 9186 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℚ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ)
13 qcn 9182 . . . . . . . 8 ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℂ)
1412, 13syl 14 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℚ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℂ)
1511, 14syldan 277 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℂ)
16 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
1716nncnd 8499 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
1816nnap0d 8531 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 # 0)
199, 15, 17, 18divdirapd 8359 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))) / 𝑁) = (((⌊‘𝐴) / 𝑁) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
206, 19eqtrd 2121 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) = (((⌊‘𝐴) / 𝑁) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
21 flqcl 9743 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
22 eqid 2089 . . . . . . . 8 (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))
23 eqid 2089 . . . . . . . 8 (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) = (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))
2422, 23intfracq 9790 . . . . . . 7 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∧ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ ((⌊‘𝐴) / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))))))
2524simp3d 958 . . . . . 6 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘𝐴) / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))))
2621, 25sylan 278 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘𝐴) / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))))
2726oveq1d 5683 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) = (((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
28 znq 9172 . . . . . . . 8 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘𝐴) / 𝑁) ∈ ℚ)
2928flqcld 9747 . . . . . . 7 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ)
3021, 29sylan 278 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ)
3130zcnd 8932 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℂ)
328, 16, 28syl2anc 404 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘𝐴) / 𝑁) ∈ ℚ)
33 zq 9174 . . . . . . . 8 ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℚ)
3430, 33syl 14 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℚ)
35 qsubcl 9186 . . . . . . 7 ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) ∈ ℚ ∧ (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℚ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℚ)
3632, 34, 35syl2anc 404 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℚ)
37 qcn 9182 . . . . . 6 ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℚ → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℂ)
3836, 37syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℂ)
3911, 12syldan 277 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ)
40 nnq 9181 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
4140adantl 272 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℚ)
4216nnne0d 8530 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
43 qdivcl 9191 . . . . . . 7 (((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℚ)
4439, 41, 42, 43syl3anc 1175 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℚ)
45 qcn 9182 . . . . . 6 (((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℚ → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℂ)
4644, 45syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℂ)
4731, 38, 46addassd 7573 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁))))
4820, 27, 473eqtrd 2125 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁))))
4948fveq2d 5324 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝑁)) = (⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))))
50 qre 9173 . . . . 5 ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℚ → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℝ)
5136, 50syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℝ)
52 qre 9173 . . . . . 6 ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
5339, 52syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
5453, 16nndivred 8535 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℝ)
5524simp1d 956 . . . . 5 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))))
5621, 55sylan 278 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))))
5716nnrpd 9235 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
58 qfracge0 9751 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → 0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)))
5958adantr 271 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)))
6053, 57, 59divge0d 9277 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁))
6151, 54, 56, 60addge0d 8062 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
62 nnre 8492 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
63 peano2rem 7812 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
6462, 63syl 14 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
65 nnap0 8514 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 # 0)
6664, 62, 65redivclapd 8364 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
6766adantl 272 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
6816nnrecred 8532 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
6924simp2d 957 . . . . . 6 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
7021, 69sylan 278 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
71 qfraclt1 9750 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1)
7271adantr 271 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1)
7316nnred 8498 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
7416nngt0d 8529 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
75 1re 7550 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
76 ltdiv1 8392 . . . . . . . 8 (((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁)))
7775, 76mp3an2 1262 . . . . . . 7 (((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁)))
7853, 73, 74, 77syl12anc 1173 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁)))
7972, 78mpbid 146 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁))
8051, 54, 67, 68, 70, 79leltaddd 8106 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
81 nncn 8493 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
82 npcan1 7919 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
8381, 82syl 14 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
8483oveq1d 5683 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (𝑁 / 𝑁))
8564recnd 7579 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
86 ax-1cn 7501 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
87 divdirap 8227 . . . . . . . 8 (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 # 0)) → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
8886, 87mp3an2 1262 . . . . . . 7 (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 # 0)) → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
8985, 81, 65, 88syl12anc 1173 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
9081, 65dividapd 8316 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝑁) = 1)
9184, 89, 903eqtr3d 2129 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)) = 1)
9291adantl 272 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)) = 1)
9380, 92breqtrd 3877 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < 1)
9432flqcld 9747 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ)
95 qaddcl 9183 . . . . 5 (((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℚ ∧ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℚ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∈ ℚ)
9636, 44, 95syl2anc 404 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∈ ℚ)
97 flqbi2 9761 . . . 4 (((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∈ ℚ) → ((⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ↔ (0 ≤ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∧ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < 1)))
9894, 96, 97syl2anc 404 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ↔ (0 ≤ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∧ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < 1)))
9961, 93, 98mpbir2and 891 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))
10049, 99eqtr2d 2122 1 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) = (⌊‘(𝐴 / 𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1290  wcel 1439  wne 2256   class class class wbr 3853  cfv 5030  (class class class)co 5668  cc 7411  cr 7412  0cc0 7413  1c1 7414   + caddc 7416   < clt 7585  cle 7586  cmin 7716   # cap 8121   / cdiv 8202  cn 8485  cz 8813  cq 9167  cfl 9738
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-n0 8737  df-z 8814  df-q 9168  df-rp 9198  df-fl 9740
This theorem is referenced by:  modqmulnn  9812
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