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Theorem flqdiv 10320
Description: Cancellation of the embedded floor of a real divided by an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
flqdiv ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) = (⌊‘(𝐴 / 𝑁)))

Proof of Theorem flqdiv
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . . . . . . . 9 (⌊‘𝐴) = (⌊‘𝐴)
2 eqid 2177 . . . . . . . . 9 (𝐴 − (⌊‘𝐴)) = (𝐴 − (⌊‘𝐴))
31, 2intqfrac2 10318 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℚ → (0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∧ (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ∧ 𝐴 = ((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴)))))
43simp3d 1011 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = ((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))))
54adantr 276 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 = ((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))))
65oveq1d 5889 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) = (((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))) / 𝑁))
7 simpl 109 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℚ)
87flqcld 10276 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
98zcnd 9375 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
10 zq 9625 . . . . . . . 8 ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
118, 10syl 14 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
12 qsubcl 9637 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℚ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ)
13 qcn 9633 . . . . . . . 8 ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℂ)
1412, 13syl 14 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℚ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℂ)
1511, 14syldan 282 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℂ)
16 simpr 110 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
1716nncnd 8932 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
1816nnap0d 8964 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 # 0)
199, 15, 17, 18divdirapd 8785 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))) / 𝑁) = (((⌊‘𝐴) / 𝑁) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
206, 19eqtrd 2210 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) = (((⌊‘𝐴) / 𝑁) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
21 flqcl 10272 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
22 eqid 2177 . . . . . . . 8 (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))
23 eqid 2177 . . . . . . . 8 (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) = (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))
2422, 23intfracq 10319 . . . . . . 7 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∧ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ ((⌊‘𝐴) / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))))))
2524simp3d 1011 . . . . . 6 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘𝐴) / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))))
2621, 25sylan 283 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘𝐴) / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))))
2726oveq1d 5889 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) = (((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
28 znq 9623 . . . . . . . 8 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘𝐴) / 𝑁) ∈ ℚ)
2928flqcld 10276 . . . . . . 7 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ)
3021, 29sylan 283 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ)
3130zcnd 9375 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℂ)
328, 16, 28syl2anc 411 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘𝐴) / 𝑁) ∈ ℚ)
33 zq 9625 . . . . . . . 8 ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℚ)
3430, 33syl 14 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℚ)
35 qsubcl 9637 . . . . . . 7 ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) ∈ ℚ ∧ (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℚ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℚ)
3632, 34, 35syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℚ)
37 qcn 9633 . . . . . 6 ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℚ → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℂ)
3836, 37syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℂ)
3911, 12syldan 282 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ)
40 nnq 9632 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
4140adantl 277 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℚ)
4216nnne0d 8963 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
43 qdivcl 9642 . . . . . . 7 (((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℚ)
4439, 41, 42, 43syl3anc 1238 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℚ)
45 qcn 9633 . . . . . 6 (((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℚ → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℂ)
4644, 45syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℂ)
4731, 38, 46addassd 7979 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁))))
4820, 27, 473eqtrd 2214 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁))))
4948fveq2d 5519 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝑁)) = (⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))))
50 qre 9624 . . . . 5 ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℚ → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℝ)
5136, 50syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℝ)
52 qre 9624 . . . . . 6 ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
5339, 52syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
5453, 16nndivred 8968 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℝ)
5524simp1d 1009 . . . . 5 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))))
5621, 55sylan 283 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))))
5716nnrpd 9693 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
58 qfracge0 10280 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → 0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)))
5958adantr 276 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)))
6053, 57, 59divge0d 9736 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁))
6151, 54, 56, 60addge0d 8478 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
62 nnre 8925 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
63 peano2rem 8223 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
6462, 63syl 14 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
65 nnap0 8947 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 # 0)
6664, 62, 65redivclapd 8791 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
6766adantl 277 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
6816nnrecred 8965 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
6924simp2d 1010 . . . . . 6 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
7021, 69sylan 283 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
71 qfraclt1 10279 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1)
7271adantr 276 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1)
7316nnred 8931 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
7416nngt0d 8962 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
75 1re 7955 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
76 ltdiv1 8824 . . . . . . . 8 (((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁)))
7775, 76mp3an2 1325 . . . . . . 7 (((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁)))
7853, 73, 74, 77syl12anc 1236 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁)))
7972, 78mpbid 147 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁))
8051, 54, 67, 68, 70, 79leltaddd 8522 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
81 nncn 8926 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
82 npcan1 8334 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
8381, 82syl 14 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
8483oveq1d 5889 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (𝑁 / 𝑁))
8564recnd 7985 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
86 ax-1cn 7903 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
87 divdirap 8653 . . . . . . . 8 (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 # 0)) → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
8886, 87mp3an2 1325 . . . . . . 7 (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 # 0)) → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
8985, 81, 65, 88syl12anc 1236 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
9081, 65dividapd 8742 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝑁) = 1)
9184, 89, 903eqtr3d 2218 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)) = 1)
9291adantl 277 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)) = 1)
9380, 92breqtrd 4029 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < 1)
9432flqcld 10276 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ)
95 qaddcl 9634 . . . . 5 (((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℚ ∧ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℚ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∈ ℚ)
9636, 44, 95syl2anc 411 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∈ ℚ)
97 flqbi2 10290 . . . 4 (((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∈ ℚ) → ((⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ↔ (0 ≤ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∧ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < 1)))
9894, 96, 97syl2anc 411 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ↔ (0 ≤ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∧ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < 1)))
9961, 93, 98mpbir2and 944 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))
10049, 99eqtr2d 2211 1 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) = (⌊‘(𝐴 / 𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347   class class class wbr 4003  cfv 5216  (class class class)co 5874  cc 7808  cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   < clt 7991  cle 7992  cmin 8127   # cap 8537   / cdiv 8628  cn 8918  cz 9252  cq 9618  cfl 10267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-q 9619  df-rp 9653  df-fl 10269
This theorem is referenced by:  modqmulnn  10341
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