Theorem flqdiv 10395

Description: Cancellation of the embedded floor of a real divided by an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqdiv	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) = (⌊‘(𝐴 / 𝑁)))

Proof of Theorem flqdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . . . . . . . 9 ⊢ (⌊‘𝐴) = (⌊‘𝐴)
2		eqid 2193	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 − (⌊‘𝐴)) = (𝐴 − (⌊‘𝐴))
3	1, 2	intqfrac2 10393	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∧ (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ∧ 𝐴 = ((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴)))))
4	3	simp3d 1013	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = ((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))))
5	4	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 = ((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))))
6	5	oveq1d 5934	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) = (((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))) / 𝑁))
7		simpl 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℚ)
8	7	flqcld 10349	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
9	8	zcnd 9443	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
10		zq 9694	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
11	8, 10	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
12		qsubcl 9706	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℚ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ)
13		qcn 9702	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℂ)
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℚ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℂ)
15	11, 14	syldan 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℂ)
16		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
17	16	nncnd 8998	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
18	16	nnap0d 9030	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 # 0)
19	9, 15, 17, 18	divdirapd 8850	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))) / 𝑁) = (((⌊‘𝐴) / 𝑁) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
20	6, 19	eqtrd 2226	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) = (((⌊‘𝐴) / 𝑁) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
21		flqcl 10345	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
22		eqid 2193	. . . . . . . 8 ⊢ (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))
23		eqid 2193	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) = (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))
24	22, 23	intfracq 10394	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∧ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ ((⌊‘𝐴) / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))))))
25	24	simp3d 1013	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘𝐴) / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))))
26	21, 25	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘𝐴) / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))))
27	26	oveq1d 5934	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) = (((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
28		znq 9692	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘𝐴) / 𝑁) ∈ ℚ)
29	28	flqcld 10349	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ)
30	21, 29	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ)
31	30	zcnd 9443	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℂ)
32	8, 16, 28	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘𝐴) / 𝑁) ∈ ℚ)
33		zq 9694	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℚ)
34	30, 33	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℚ)
35		qsubcl 9706	. . . . . . 7 ⊢ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) ∈ ℚ ∧ (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℚ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℚ)
36	32, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℚ)
37		qcn 9702	. . . . . 6 ⊢ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℚ → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℂ)
38	36, 37	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℂ)
39	11, 12	syldan 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ)
40		nnq 9701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
41	40	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℚ)
42	16	nnne0d 9029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
43		qdivcl 9711	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℚ)
44	39, 41, 42, 43	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℚ)
45		qcn 9702	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℚ → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℂ)
46	44, 45	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℂ)
47	31, 38, 46	addassd 8044	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁))))
48	20, 27, 47	3eqtrd 2230	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁))))
49	48	fveq2d 5559	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝑁)) = (⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))))
50		qre 9693	. . . . 5 ⊢ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℚ → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℝ)
51	36, 50	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℝ)
52		qre 9693	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
53	39, 52	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
54	53, 16	nndivred 9034	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℝ)
55	24	simp1d 1011	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))))
56	21, 55	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))))
57	16	nnrpd 9763	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
58		qfracge0 10353	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)))
59	58	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)))
60	53, 57, 59	divge0d 9806	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁))
61	51, 54, 56, 60	addge0d 8543	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
62		nnre 8991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
63		peano2rem 8288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
64	62, 63	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
65		nnap0 9013	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 # 0)
66	64, 62, 65	redivclapd 8856	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
67	66	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
68	16	nnrecred 9031	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
69	24	simp2d 1012	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
70	21, 69	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
71		qfraclt1 10352	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1)
72	71	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1)
73	16	nnred 8997	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
74	16	nngt0d 9028	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
75		1re 8020	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
76		ltdiv1 8889	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁)))
77	75, 76	mp3an2 1336	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁)))
78	53, 73, 74, 77	syl12anc 1247	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁)))
79	72, 78	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁))
80	51, 54, 67, 68, 70, 79	leltaddd 8587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
81		nncn 8992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
82		npcan1 8399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
83	81, 82	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
84	83	oveq1d 5934	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (𝑁 / 𝑁))
85	64	recnd 8050	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
86		ax-1cn 7967	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
87		divdirap 8718	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 # 0)) → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
88	86, 87	mp3an2 1336	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 # 0)) → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
89	85, 81, 65, 88	syl12anc 1247	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
90	81, 65	dividapd 8807	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝑁) = 1)
91	84, 89, 90	3eqtr3d 2234	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)) = 1)
92	91	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)) = 1)
93	80, 92	breqtrd 4056	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < 1)
94	32	flqcld 10349	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ)
95		qaddcl 9703	. . . . 5 ⊢ (((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℚ ∧ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℚ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∈ ℚ)
96	36, 44, 95	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∈ ℚ)
97		flqbi2 10363	. . . 4 ⊢ (((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∈ ℚ) → ((⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ↔ (0 ≤ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∧ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < 1)))
98	94, 96, 97	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ↔ (0 ≤ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∧ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < 1)))
99	61, 93, 98	mpbir2and 946	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))
100	49, 99	eqtr2d 2227	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) = (⌊‘(𝐴 / 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364   class class class wbr 4030  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  ℝcr 7873  0cc0 7874  1c1 7875   + caddc 7877   < clt 8056   ≤ cle 8057   − cmin 8192   # cap 8602   / cdiv 8693  ℕcn 8984  ℤcz 9320  ℚcq 9687  ⌊cfl 10340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-q 9688  df-rp 9723  df-fl 10342

This theorem is referenced by:  modqmulnn  10416